基于唯物辯證法的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程思政建設(shè)與實踐

張麗靜， 趙魯濤， 李 娜

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京100083)

1 引 言

為貫徹和落實習(xí)近平總書記在全國教育工作會議和全國高校思想政治工作會議上的講話精神，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面.各高校積極開展課程思政教學(xué)改革，把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)[1-2]，對課程思政建設(shè)存在的問題進(jìn)行分析[3]，研究課程思政的實施途徑[4-5]及課程思政教學(xué)體系的構(gòu)建[6-7]等.

目前針對高校理工科本科生的必修課之一——概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程思政的研究較少.在這些研究中，其核心內(nèi)容是將思政元素滲入到課程思政中[8-9]，通過不同的方法或途徑達(dá)到課程思政的目的.

文章對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程思政建設(shè)與實踐進(jìn)行了深入的研究，著重將唯物辯證法的認(rèn)識論和方法論潤物無聲地融入到教學(xué)過程中，以點(diǎn)帶面，橫向展開，縱向深入，結(jié)合大量具體的應(yīng)用案例，將普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)、質(zhì)量互變規(guī)律、現(xiàn)象和本質(zhì)、原因和結(jié)果以及偶然性和必然性的辯證關(guān)系融入教學(xué)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，樹立正確的人生觀、價值觀和世界觀.此外，在教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)實踐性，通過學(xué)生親自動手，收集資料，撰寫論文，運(yùn)用與本課程相關(guān)的知識解決實際問題，從而達(dá)到課程思政的目的，提高學(xué)生獨(dú)立思考能力、創(chuàng)新思維能力以及解決復(fù)雜問題的綜合能力.

2 用“普遍聯(lián)系”的觀點(diǎn)講解知識點(diǎn)

唯物辯證法用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)看待世界和事物.認(rèn)為世界是一個有機(jī)的整體，一切事物都相互影響、相互作用和相互制約.這種聯(lián)系具有客觀性、普遍性和多樣性.

由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程內(nèi)容的復(fù)雜性，知識點(diǎn)之間的聯(lián)系有的偶露端倪，有的深藏不露，這就需要我們在教學(xué)過程中不斷啟發(fā)學(xué)生有意識地去發(fā)現(xiàn)問題，深入思考.聯(lián)系的“客觀性、普遍性和多樣性”為揭示知識點(diǎn)之間的聯(lián)系提供了有效的研究方法和途徑，學(xué)生不是孤立片面地局限于每個知識點(diǎn)地理解，而是學(xué)會從聯(lián)系的角度去把握概念的本質(zhì)，多方面的分析問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及理性思辨能力.

2.1 泊松分布與指數(shù)分布的聯(lián)系

泊松分布作為描述大量試驗中稀有事件出現(xiàn)次數(shù)的一種概率模型，在現(xiàn)實生活中有許多實際應(yīng)用.比如，急救臺一晝夜接到的呼喚次數(shù)，某一批產(chǎn)品中的次品數(shù)，一年內(nèi)保險的某種理賠次數(shù)等.

指數(shù)分布是描述泊松過程中事件間隔時間的概率分布，是伽馬分布的特殊情況.指數(shù)分布應(yīng)用廣泛，許多電子產(chǎn)品壽命、復(fù)雜系統(tǒng)壽命都服從或近似服從指數(shù)分布.因此它在可靠性研究中是最常用的一種概率分布.

泊松分布與指數(shù)分布分別對應(yīng)不同類型的隨機(jī)變量，即離散型和連續(xù)型，解決的實際問題也完全不同.引導(dǎo)學(xué)生思考，它們之間會不會有某種聯(lián)系？如果有，如何定量描述？結(jié)合下面的應(yīng)用案例，啟發(fā)學(xué)生分析尋找它們之間的密切關(guān)系，幫助學(xué)生從已學(xué)過的泊松分布過渡到指數(shù)分布，從離散型隨機(jī)變量切換到連續(xù)型隨機(jī)變量，對于加強(qiáng)學(xué)生對這兩種概率分布的理解有著非常重要的意義[10].

應(yīng)用案例1 嬰兒出生問題

假設(shè)某醫(yī)院在時間(0，t)內(nèi)出生的嬰兒數(shù)N(t)服從泊松分布，即

其中，λ表示一小時平均出生的嬰兒數(shù).為了尋找兩者的聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生思考，未來t小時內(nèi)沒有嬰兒出生的概率是多大？利用泊松分布計算得到

進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生去思考嬰兒出生時間間隔T的概率分布是什么？顯然T是一個連續(xù)型隨機(jī)變量.請學(xué)生關(guān)注隨機(jī)變量T與N(t)發(fā)生聯(lián)系的關(guān)鍵點(diǎn)，在于“嬰兒出生時間間隔T大于t”等同于“在時間間隔為t的時間段內(nèi)沒有嬰兒出生”，即

P(T>t)=P(N(t)=0)=e-λt.

由此得到T的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別是

這樣就成功地由泊松分布過渡到了指數(shù)分布.

2.2 置信區(qū)間與拒絕域的聯(lián)系

區(qū)間估計與假設(shè)檢驗是數(shù)理統(tǒng)計中兩種常用的統(tǒng)計推斷方法，是學(xué)生易于求解，但難于理解到位的兩種方法.由于分不清它們之間相同與不同，在解決實際問題時，常?；煜缅e.究其原因是這兩個知識點(diǎn)的講解各行其是，各不相謀.唯物辯證法告訴我們，事物之間存在著普遍而廣泛的聯(lián)系，彼此相互影響，相互制約.在教學(xué)中加強(qiáng)這兩種統(tǒng)計方法的對比和聯(lián)系，可以大大提升學(xué)生對概念的理解和掌握.

課堂教學(xué)中，以單個正態(tài)總體N(μ，σ2)為例(參數(shù)μ)，啟發(fā)學(xué)生從圖1中對比區(qū)間估計與假設(shè)檢驗，找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.

(a)

從對比中學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的聯(lián)系有以下三點(diǎn)：

(i)前者的樞軸量和后者的檢驗統(tǒng)計量完全相同；

(ii)前者的置信區(qū)間與后者的接受域完全相同；

(iii)前者與后者所得結(jié)論也完全對應(yīng).如果總體參數(shù)μ落在置信區(qū)間里，則假設(shè)檢驗就不會拒絕原假設(shè)；如果總體參數(shù)μ沒有落在置信區(qū)間里，則假設(shè)檢驗就會拒絕原假設(shè).

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩者的差異，雖然兩者都是利用樣本信息推斷總體參數(shù)，但是應(yīng)用的角度卻大相徑庭.如果對總體參數(shù)一無所知時，應(yīng)該用區(qū)間估計的方法進(jìn)行解決；如果對總體參數(shù)有所了解但不確定，有懷疑需要驗證時，就需要用假設(shè)檢驗方法來處理.

下面通過應(yīng)用案例的分析，強(qiáng)調(diào)兩者應(yīng)用上的差異，指導(dǎo)學(xué)生選擇正確的方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力.

應(yīng)用案例2 (i)嬰兒體重區(qū)間估計

解由于該地區(qū)新生男嬰平均體重?zé)o據(jù)可查，所以判斷這是雙側(cè)置信區(qū)間問題.因為X～N(μ，σ2)，μ，σ2未知，故選擇樞軸量

計算總體均值μ的置信區(qū)間

即該地區(qū)新生男嬰平均體重的置信區(qū)間為(3232.6，3467.4).根據(jù)《世界衛(wèi)生組織嬰兒體重標(biāo)準(zhǔn)》，男嬰標(biāo)準(zhǔn)體重應(yīng)為3300克，屬于該置信區(qū)間.

應(yīng)用案例2 (ii)嬰兒體重假設(shè)檢驗

在上述問題中，給定顯著性水平α=0.05.要求利用樣本信息判斷，能否認(rèn)為該地區(qū)男嬰平均體重達(dá)到了《世界衛(wèi)生組織嬰兒體重標(biāo)準(zhǔn)》的3300克？

解顯然這個問題對總體參數(shù)有大致了解，但不能確定是否達(dá)標(biāo).因此這是雙邊假設(shè)檢驗問題.根據(jù)實際問題提出假設(shè)，

H0:μ=μ0=3300，H1:μ≠μ0.

3 用“質(zhì)量互變”規(guī)律講解中心極限定理

唯物辯證法認(rèn)為任何事物都具有質(zhì)和量兩個屬性.量變是事物連續(xù)的不顯著的變化，而質(zhì)變是事物根本的變化，是一種飛躍.質(zhì)量互變規(guī)律，即從量變到質(zhì)變，總是由微小的量變慢慢積累開始，當(dāng)這種積累達(dá)到一定程度時就會導(dǎo)致事物由一種性質(zhì)變化到另一種性質(zhì)，即質(zhì)變.量變是質(zhì)變的準(zhǔn)備，沒有量變就不會發(fā)生質(zhì)變.

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中，研究隨機(jī)變量和的概率分布是一個重要的內(nèi)容.遺憾的是只有少數(shù)分布具有可加性，能夠得到和的精確分布，比如正態(tài)分布等.而大多數(shù)情形中，和的分布與隨機(jī)變量累加的個數(shù)有很大關(guān)系.啟發(fā)學(xué)生思考，隨著隨機(jī)變量累加個數(shù)的增加，和的分布是否會呈現(xiàn)某種規(guī)律性？通過數(shù)值模擬，先請同學(xué)們觀察兩種簡單的情況：

情況1n個獨(dú)立的均勻分布和的分布

假設(shè)n=1時，隨機(jī)變量X～U(0，2)，密度函數(shù)圖形見圖2(a)；則n=2時，兩個相互獨(dú)立的服從(0，2)上均勻分布的隨機(jī)變量和的密度函數(shù)為

該函數(shù)的圖形見圖2(b)；當(dāng)n=20時，計算機(jī)模擬20個相互獨(dú)立的服從(0，2)上均勻分布的隨機(jī)變量和的密度函數(shù)圖形見圖2(c).

(a) (b) (c)

情況2n個獨(dú)立的泊松分布和的分布

假設(shè)n=1時，隨機(jī)變量服從參數(shù)λ=1的泊松分布X～P(1)，其分布律見圖3(a)；

當(dāng)n=2時，兩個相互獨(dú)立的均服從參數(shù)λ=1的泊松分布和的分布仍服從泊松分布(參數(shù)λ=2)，其分布律見圖3(b)；

當(dāng)n=20時，20個相互獨(dú)立的均服從參數(shù)λ=1的泊松分布和的分布律見圖3(c).

(a) (b) (c)

通過觀察不難發(fā)現(xiàn)一個神奇的結(jié)果：n個獨(dú)立的均勻分布或泊松分布和的分布隨著n的增加，都會不約而同地越來越接近正態(tài)分布.也就是說隨機(jī)變量和的分布，當(dāng)n比較小的時候具有不確定性、隨機(jī)性，但隨著n的增加，勢必會呈現(xiàn)出一個確定的變化趨勢——向正態(tài)分布靠攏.這正是量的積累帶來質(zhì)的飛躍，也正是中心極限定理要揭示的大量隨機(jī)變量中的統(tǒng)計規(guī)律性.

中心極限定理使學(xué)生充分認(rèn)識到，數(shù)學(xué)定理揭示自然現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律也完全符合唯物辯證法揭示一般事物存在的客觀規(guī)律，因此唯物辯證法的認(rèn)識論和方法論是我們探究未知世界的銳利武器.

下面的應(yīng)用案例可以帶領(lǐng)學(xué)生去領(lǐng)略，中心極限定理解決實際問題時展示出化繁為簡的非凡能力，以及在運(yùn)算過程中帶來極大的方便.同時告誡學(xué)生，在享受數(shù)學(xué)家杰出貢獻(xiàn)帶來便利的同時，還要學(xué)習(xí)和繼承數(shù)學(xué)家們孜孜不倦的科學(xué)精神.

應(yīng)用案例3 食堂窗口規(guī)劃問題

學(xué)校食堂每天中午都要為全校約10000名學(xué)生提供午餐.假設(shè)每個學(xué)生在窗口打飯的時間相互獨(dú)立，都服從參數(shù)λ=2的指數(shù)分布.為了能以99%的概率在90分鐘內(nèi)讓所有學(xué)生完成打飯，至少需要開設(shè)多少個窗口？

引導(dǎo)學(xué)生思考，需要先利用卷積公式去求10000個指數(shù)分布和的精確分布嗎？可以課后嘗試，會發(fā)現(xiàn)即便求出精確分布，計算概率也十分麻煩.現(xiàn)在利用中心極限定理可以化繁為簡，得到X的近似分布為正態(tài)分布.

查表得Φ(2.33)=0.9901，解得k≈57.即食堂至少需要開設(shè) 57個窗口，才能以99%的概率使得所有學(xué)生在規(guī)定時內(nèi)打完飯.

4 用“現(xiàn)象和本質(zhì)”的辯證關(guān)系講解數(shù)學(xué)期望

唯物辯證法認(rèn)為現(xiàn)象是事物的表面特征，只需靠感官即能認(rèn)知；而本質(zhì)是隱藏在事物內(nèi)部的根本性質(zhì)，需要依靠抽象思維來把握.任何現(xiàn)象都由本質(zhì)所決定，都是本質(zhì)的某種表現(xiàn)；同時，任何本質(zhì)都要通過一種或多種現(xiàn)象表現(xiàn)出來.因此，認(rèn)識事物總是通過對現(xiàn)象的分析研究才能了解到事物的本質(zhì)，這個分析研究的過程就是去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的過程.

研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征是概率論的重要任務(wù)之一，而數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量最重要的一個數(shù)字特征，是研究其它數(shù)字特征的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)期望在眾多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，并且在后續(xù)課程——統(tǒng)計學(xué)中，也起著非常重要的作用，因此掌握好數(shù)學(xué)期望對本課程的學(xué)習(xí)有著重要的意義.

隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的研究分為多層次和多方面：離散和連續(xù)、一維和二維以及隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.多個數(shù)學(xué)期望的定義和計算一起撲面而來，信息量非常之大，學(xué)生容易囫圇吞棗，理解不深入，造成只記公式而不明其意的結(jié)果.如何解決這種困難局面？唯物辯證法告訴我們，要在眾多繁雜的現(xiàn)象中挖掘共同的本質(zhì)，這是解決困難的關(guān)鍵和捷徑.

4.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

教學(xué)過程中先通過應(yīng)用案例——投資決策問題的分析，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)揭示數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)，然后在這種本質(zhì)的引領(lǐng)下展開五種情況數(shù)學(xué)期望的分析和研究.

應(yīng)用案例4 投資決策問題

假設(shè)有一支股票價格為18元/股，一年后變?yōu)?8 +X元/股，X是一年中股票價格的改變量，假設(shè)銀行一年的存款利率為3%.有位投資者正在考慮是否投資該支股票并持有一年的時間.他應(yīng)如何做出決策才能使獲利較大？

顯然X是一個隨機(jī)變量，由于未來股票價格可能漲也可能跌，每股收益X隨之飄忽不定，因此需要用一個數(shù)量指標(biāo)來定量描述才能方便投資者做出決策.啟發(fā)學(xué)生思考，這個數(shù)量指標(biāo)如何定義才合理呢？首先根據(jù)該支股票的歷史數(shù)據(jù)，假設(shè)可以統(tǒng)計得到X的分布律：

X-2-1014Pk0.10.10.40.20.2

由分布律可以看到，股價未來一年中的漲跌情況和相應(yīng)的概率.“平均值”是大家不約而同都能想到的一個數(shù)量指標(biāo).那么關(guān)鍵是“平均值”如何定義才能夠真實地反映出股票的收益情況呢？嘗試算術(shù)平均值會怎么樣？由于沒有考慮概率信息，顯然不合理.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析，每股收益X每個可能的取值對“平均值”都有“貢獻(xiàn)”，取值的概率越大，該值對“平均值”的“貢獻(xiàn)”越大.因此每股收益X的“平均值”直觀理解為依概率“加權(quán)”平均是合理的，即

-2×0.1+(-1)×0.1+0×0.4+1×0.2+4×0.2=0.7.

這個平均值，即每股平均收益就稱為X的數(shù)學(xué)期望.經(jīng)比較，一年的存款利息收入為18×0.03=0.54<0.7，于是得到一個合理的投資建議：投資者應(yīng)該投資并持有該支股票.

4.2 離散情況到連續(xù)情況的推廣

圖4 連續(xù)情況離散化

通過上述由連續(xù)情況分解到離散情況再回歸到連續(xù)情況的分析和討論，學(xué)生對于隱藏在積分表達(dá)式中的數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)有了深刻的理解.

4.3 其他情況

如何繼續(xù)將依概率“加權(quán)”平均的思想遷移貫穿到以下隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望中，即

和

此處可以鼓勵學(xué)生獨(dú)立地去實踐和完成.

從以上的案例學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，即由表象深入到達(dá)本質(zhì)的能力是我們教學(xué)過程中的主要目標(biāo)之一，但這種能力并不是一蹴而就，需要課堂上通過啟發(fā)引導(dǎo)，教學(xué)演示及實踐練習(xí)才能達(dá)到預(yù)期效果.

5 用“原因和結(jié)果”的辯證關(guān)系講解貝葉斯公式

唯物辯證法認(rèn)為一個原因一定會造成某種結(jié)果或影響，而一個結(jié)果又必然來源于某些原因.一個原因可以引起幾個結(jié)果，而一個結(jié)果也往往由幾個原因所引起.原因和結(jié)果相互依存，沒有無因之果，也沒有無果之因，原因和結(jié)果在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.

在日常生活中，經(jīng)常會遇到由因求果的問題，也會遇到由果溯因的問題.比如某種傳染病已經(jīng)出現(xiàn)，尋找傳染源；機(jī)械發(fā)生了故障，尋找故障源等.貝葉斯公式正是用來求解這類由果溯因問題而產(chǎn)生.貝葉斯公式不僅是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要教學(xué)內(nèi)容，也是貝葉斯統(tǒng)計的核心和理論基石，在整個學(xué)習(xí)中占有相當(dāng)重要的地位.

例如，結(jié)果A已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的原因中，研究到底哪個原因?qū)е铝诉@個結(jié)果.貝葉斯公式闡明了各原因所起作用的大小可以用P(Bi|A)來刻畫，而概率值最大的那個原因就是我們關(guān)注的對象，這就是貝葉斯決策的思想.

應(yīng)用案例5 疾病診斷問題

某一地區(qū)某疾病的發(fā)病率為0.005，假設(shè)這種疾病檢測結(jié)果的可靠度0.95，即對患者進(jìn)行檢測，結(jié)果為陽性的概率為0.95.若正常人檢測結(jié)果為陽性的概率為0.04.現(xiàn)在隨機(jī)的抽查一個人，檢測結(jié)果為陽性.問此人患有這種疾病的可能性是多少？

解記事件A為“檢測結(jié)果為陽性”，C為“此疾病患者”，求P(C|A).

由條件知：

根據(jù)貝葉斯公式有

即此人患病的可能性為0.1066.這個指標(biāo)僅為10%，不足以為醫(yī)生確診提供依據(jù).但患者檢測呈陽性的可靠度高達(dá)95%，如何解釋這種現(xiàn)象？引導(dǎo)學(xué)生分析其中原委.

分析原因注意到發(fā)病率，即先驗概率P(C)=0.005非常之小，盡管患者檢測陽性的可靠度P(A|C)=0.95足夠高，但是在計算中，由于它的權(quán)重0.005微不足道，所以導(dǎo)致陽性確診率，即后驗概率P(C|A)=0.1066比較小.如果發(fā)病率由0.005下降為0.0005，則這個后驗概率會更小，經(jīng)計算得P(C|A)=0.0119.這說明越是罕見疾病越容易造成誤診.

復(fù)檢討論貝葉斯公式的強(qiáng)大功能在于，如果讓檢測陽性的人復(fù)檢，即用一次陽性患病率P(C|A)=0.1066代替發(fā)病率P(C)=0.005，再使用貝葉斯公式計算，二次陽性發(fā)病率將會大大提高.計算過程如下：

如果讓此人第三次復(fù)檢，類似計算可以得到三次陽性發(fā)病率將高達(dá)98.54%，已經(jīng)超過了檢測可靠度0.95.之所以確診率迅速提高，究其原因是貝葉斯公式中的權(quán)重P(C)由0.005到0.1066，再到0.7392迅速增大所致.它們之間精確的變化關(guān)系見圖5所示.

圖5 后驗概率與先驗概率的函數(shù)關(guān)系圖

圖形分析圖5是后驗概率P(C|A)與先驗概率P(C)的函數(shù)關(guān)系圖.從圖中明顯看出，隨著P(C)的增大，P(C|A)開始會急劇上升，即在0附近函數(shù)圖形非常陡峭.但當(dāng)發(fā)病率P(C)大于0.5時，可以認(rèn)為是某傳染性疾病來襲，P(C|A)大于0.95.此時檢測為陽性的患者，幾乎可以定論是傳染病患者了，需要及時隔離，并抓緊治療.

實際問題中，除了由果溯因的問題，還有大量由因求果的問題，我們可以用基于貝葉斯公式的樸素貝葉斯算法來解決.

應(yīng)用案例6 成績預(yù)測問題

已知北京科技大學(xué)2014級某專業(yè)學(xué)生的英語入學(xué)成績及三次期末考試成績，利用樸素貝葉斯模型對英語四級通過情況進(jìn)行預(yù)測[11].將1401班的英語成績作為訓(xùn)練集，而1402班的英語成績作為測試集.

解將學(xué)生的四個歷史成績 “入學(xué)成績”“期末成績1”“期末成績2”“期末成績3” 作為貝葉斯算法中的4個屬性，并將每個屬性的成績分為四個等級：“優(yōu)秀(85-100)”“良好(75-84)”“中等(60-74)”“差(小于59)”，分別標(biāo)記為4，3，2，1.于是得到表1(左邊是原始成績，右邊是經(jīng)處理后的成績).并設(shè)事件Y=“通過”，N=“沒過”，帶領(lǐng)學(xué)生對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，得到以下概率：

表1 1401班英語成績

(i)P(Y)=18/21， P(N)=3/21；

(ii)A的條件概率：P(A=2/Y)=5/18，P(A=1/Y)=13/18；P(A=2/N)=0，P(A=1/N)=1；

(iii)B的條件概率：P(B=3/Y)=9/18，P(B=2/Y)=9/18，P(B=1/Y)=0；P(B=2/N)=2/3，P(B=1/N)=1/3；

(iv)C的條件概率：

P(C=4/Y)=4/18， P(C=3/Y)=6/18， P(C=2/Y)=8/18，

P(C=1/Y)=0， P(C=3/N)=1/3， P(C=2/N)=2/3；

(v)D的條件概率：

P(D=4/Y)=2/18， P(D=3/Y)=6/18， P(D=2/Y)=10/18，

P(D=1/Y)=0， P(D=3/N)=0， P(D=2/N)=1.

將1402班21位同學(xué)的英語成績每個屬性分類處理以后得到表2，右數(shù)第二列是利用樸素貝葉斯模型對每個同學(xué)英語四級是否通過的預(yù)測值.

表2 1402班英語成績

計算過程如下：

例如，對1402班的學(xué)生1英語四級是否通過進(jìn)行預(yù)測，需計算并比較下面兩個概率

P(Y|A=2，B=3，C=4，D=4)， P(N|A=2，B=3，C=4，D=4).

根據(jù)貝葉斯公式，有

上式中，使用樸素貝葉斯算法，假設(shè)每一次的成績是獨(dú)立的，此處引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考討論.由于分母一樣，因此比較分子的大小即可.計算如下：

由于

P(Y)P(A=2，B=3，C=4，D=4|Y)>P(N)P(A=2，B=3，C=4，D=4|N)，

可以預(yù)測，該學(xué)生1“通過”四級考試.類似地，可以預(yù)測1402班其余20名同學(xué)是否通過英語四級考試，結(jié)果如表2所示.經(jīng)計算預(yù)測正確率為18/21=0.857.

在上述討論中，“原因”為四個英語成績A，B，C，D，“結(jié)果”是英語四級考試“通過”和“沒過”.四個原因的某種組合到底會導(dǎo)致哪種結(jié)果發(fā)生？樸素貝葉斯模型告訴我們，選擇概率大的決策更有把握，成功率更大.

接下來引導(dǎo)學(xué)生思考，樸素貝葉斯算法是基于屬性之間相互獨(dú)立和對目標(biāo)變量影響力一致的假設(shè)，但在實際應(yīng)用中只有少數(shù)情況符合這一假設(shè).因此，如何改進(jìn)樸素貝葉斯算法來提高它的預(yù)測準(zhǔn)確率與普適性仍是目前研究的熱點(diǎn)問題.

從唯物辯證法出發(fā)，關(guān)于原因和結(jié)果多層次多角度的分析和討論，對于開闊學(xué)生思路，提高學(xué)生創(chuàng)新思維能力以及學(xué)以致用的能力都發(fā)揮著重要的作用.

6 用“偶然性和必然性”的辯證關(guān)系講解大數(shù)定律

唯物辯證法認(rèn)為事物發(fā)展過程中必須發(fā)生的趨勢是必然性；而可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，或可能以多種不同形式出現(xiàn)的趨勢是偶然性.兩者地位不同：必然性居于決定地位，偶然性居于從屬地位.兩者作用不同：必然性決定事物發(fā)展的基本方向，而偶然性則使事物發(fā)展過程豐富多樣.必然性和偶然性在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.

大數(shù)定律是概率論中討論隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值收斂到常數(shù)的定理，這一結(jié)論與中心極限定理一起，成為現(xiàn)代概率論、統(tǒng)計學(xué)、理論科學(xué)和社會科學(xué)的基石之一.它嚴(yán)格地證明了平均值的穩(wěn)定性，也就是說當(dāng)樣本容量很大時，樣本均值與真實值充分接近.

雖然隨機(jī)現(xiàn)象具有偶然性，不確定性，但是從大量觀測中可以分析歸納出它們內(nèi)在的必然規(guī)律，并以大數(shù)定律揭示了這一規(guī)律.如何讓學(xué)生理解偶然性中的必然規(guī)律，這是教學(xué)過程中的難點(diǎn).唯物辯證法告訴我們，一切偶然性都會受到必然性的制約，以某種形式表現(xiàn)著相應(yīng)的必然性，因此在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為必然性.站在兩者辯證關(guān)系的高度分析大數(shù)定律會讓學(xué)生豁然開朗.

結(jié)合下面的應(yīng)用案例和數(shù)值模擬讓學(xué)生進(jìn)一步觀察到，當(dāng)n足夠大時，算術(shù)平均值與其數(shù)學(xué)期望有較大偏差的可能性很小，即平均值具有穩(wěn)定性.雖然少量數(shù)據(jù)中，算術(shù)平均值表現(xiàn)出的是不確定性、波動性、偶然性，但這種偶然性會在大數(shù)中相互抵消，逐漸呈現(xiàn)出必然性的規(guī)律，就是穩(wěn)定性.這種偶然性向著必然性的轉(zhuǎn)變是在大數(shù)中實現(xiàn)的，它反映了偶然性與必然性之間辯證關(guān)系，是大量隨機(jī)現(xiàn)象中統(tǒng)計規(guī)律性的具體體現(xiàn).

應(yīng)用案例7 評委打分問題

各種競技比賽中，需要評委打分決定參賽選手的勝負(fù).用評委打分的平均分來衡量選手的成績有何依據(jù)？通過學(xué)習(xí)切比雪夫大數(shù)定律，引導(dǎo)學(xué)生來回答這個問題.

圖6 評委打分的數(shù)值模擬

7 實踐效果

7.1 調(diào)查問卷反饋信息

為考查課程教學(xué)的實際效果，對2019級部分班級的358名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查.調(diào)查問卷包含15個基本問題，內(nèi)容如下：

(i)你是否認(rèn)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程與實際聯(lián)系很緊密？

(ii)你是否認(rèn)為該課程知識內(nèi)容與馬克思主義唯物辯證法和方法論聯(lián)系緊密？

(iii)通過學(xué)習(xí)該課程，你能否體會到事物是普遍聯(lián)系的，又是相互影響、相互制約的？

(iv)通過學(xué)習(xí)該課程，你能否區(qū)分清楚哪些事件具有偶然性，哪些事件具有必然性？

(v)通過學(xué)習(xí)本課程，你是否會主動地分析事物之間的區(qū)別和聯(lián)系？

(vi)通過學(xué)習(xí)本課程，你是否更習(xí)慣對多種事物進(jìn)行關(guān)聯(lián)和對比？

(vii)通過學(xué)習(xí)本課程，你是否意識到任何事情都要從點(diǎn)滴做起，逐步積累就會發(fā)生質(zhì)變？

(viii)通過學(xué)習(xí)本課程，你是否不由自主地想到透過事物現(xiàn)象，去深入挖掘本質(zhì)的要素？

(ix)在生活的各個方面，你是否會很自然地用概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的知識去分析問題？

(x)通過本課程的學(xué)習(xí)，你是否更加堅定了馬克思主義唯物辯證法的正確性及合理性？

(xi)通過本課程的學(xué)習(xí)，在面對一些問題的結(jié)果時，你是否會深究其原因，不因失敗而氣餒，不因成功而驕傲？是否了解了任何事情既沒有無因之果，也沒有無果之因？

(xii)通過本課程的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為對自己樹立正確的世界觀和人生觀是否有幫助？

(xiii)通過本課程的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為對自己理性分析身邊的問題是否有幫助？

(xiv)你對本課程的學(xué)習(xí)是否滿意？

(xv)在本課程的學(xué)習(xí)過程中，你是否親自動手，通過分析解決相關(guān)問題，驗證了本課程中的部分理論，認(rèn)識到實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)？

圖7給出了學(xué)生持肯定回答的比例.可以看出，絕大部分學(xué)生對課程持有肯定態(tài)度，對該門課程滿意.幾乎所有同學(xué)都認(rèn)為本課程的內(nèi)容體現(xiàn)了事物是普遍聯(lián)系又相互制約的，且可以區(qū)分事件的偶然性和必然性.通過對本課程的學(xué)習(xí)，絕大部分同學(xué)能夠主動地對多種事物進(jìn)行關(guān)聯(lián)和對比，主動去分析事物之間的區(qū)別和聯(lián)系，這充分表明同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會了用概率論所學(xué)知識去分析身邊的問題.通過課程思政，有99%同學(xué)認(rèn)為該門課程對自己樹立正確的人生觀價值觀有幫助，而100%的同學(xué)更加堅定了馬克思主義唯物辯證法的正確性.其中持肯定態(tài)度百分比最少的是：同學(xué)們是否會自覺的想到透過現(xiàn)象看本質(zhì)這個問題，盡管絕大部分同學(xué)會去深挖本質(zhì)，但還有10%的同學(xué)在這方面有所欠缺.這就表明，今后在教學(xué)中這部分應(yīng)該加強(qiáng)，通過學(xué)生反饋去調(diào)整授課的內(nèi)容，以便更好的將思政建設(shè)融入到課程中來.

7.2 實踐報告——開放性大作業(yè)

以實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)為思想，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)過程中，鼓勵學(xué)生親自動手參與實踐，用課堂所學(xué)理論知識研究解決生活中的隨機(jī)問題.在教學(xué)過程中設(shè)置了選做的開放性大作業(yè)，學(xué)生通過尋找與課程相關(guān)的實際問題，設(shè)計建模轉(zhuǎn)化為概率問題，通過查閱文獻(xiàn)，計算機(jī)編程，團(tuán)隊合作等，撰寫實踐報告.用所學(xué)知識去解決問題，從而驗證課程理論的正確性.對于這項選做作業(yè)，學(xué)生熱情極高，參與度高達(dá)100%.學(xué)生評價這不僅能加深對所學(xué)知識的認(rèn)識和理解，也培養(yǎng)了他們獨(dú)立思考和解決實際問題的能力.

下以2019級同學(xué)的三份開放性作業(yè)節(jié)選為例，展示學(xué)生的創(chuàng)意.

(i)概率論與數(shù)理統(tǒng)計在分析學(xué)生體測數(shù)據(jù)中的應(yīng)用，這是智能191班五位同學(xué)組隊完成的大作業(yè).為了讓大學(xué)生重視身體健康，提高身體素質(zhì)，學(xué)校在大學(xué)生之間開展體質(zhì)健康測試.該文通過對體測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，研究肺活量、身高、體重的關(guān)系對學(xué)生身體狀況的影響.

學(xué)生在大作業(yè)中，對采集的2019級某個學(xué)院學(xué)生的體測數(shù)據(jù)，身高、體重、肺活量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，通過繪制直方圖得到它們的近似分布為正態(tài)分布，然后通過矩估計和極大似然估計方法，得到以上三個指標(biāo)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.再用相關(guān)系數(shù)定量描述它們之間的線性關(guān)系程度，如圖8所示.

(a)身高與體重的關(guān)系圖 (b)體重與肺活量的關(guān)系圖 (c)肺活量與身高的關(guān)系圖

最后通過樣本分析總體，由該學(xué)院體測數(shù)據(jù)的分析，得到整個學(xué)校2019級全體學(xué)生三項指標(biāo)的相關(guān)結(jié)論.即利用區(qū)間估計方法計算得到該屆學(xué)生三項指標(biāo)置信度為95%的置信區(qū)間.

(ii)概率論與數(shù)理統(tǒng)計在壓力容器爆炸安全中的應(yīng)用，這是安全1901班三位同學(xué)組隊完成的大作業(yè).隨著生產(chǎn)環(huán)境中壓力容器的普遍使用，伴隨而來的是壓力容器爆炸事故頻發(fā).因此研究造成壓力容器爆炸的變形量的統(tǒng)計規(guī)律，獲得壓力容器安全概率的置信區(qū)間是非常有意義的.

學(xué)生在大作業(yè)中研究一般的壓力容器——柱形容器時，非常關(guān)心爆炸后容器爆心截面外壁的徑向變形量xr.由于反應(yīng)爆炸載荷的參數(shù)質(zhì)量比內(nèi)能em和反應(yīng)材料防護(hù)能力參數(shù)切線模量ET具有一定的隨機(jī)性，因此使用Monte-Carlo方法對參數(shù)進(jìn)行抽樣，然后通過計算得到變形量xr的隨機(jī)樣本.應(yīng)用課堂所學(xué)知識中的正態(tài)分布、區(qū)間估計、假設(shè)檢驗，結(jié)合統(tǒng)計分析方法對柱形容器爆炸后徑向變形量的不確定性進(jìn)行了定量描述，給出了在一定置信度下容器安全概率的區(qū)間估計.最后對柱形容器在不同TNT爆炸當(dāng)量下，100組容器徑向變形量數(shù)值模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，計算得到變形量的下限可作為衡量實驗安全的判據(jù).圖9給出了學(xué)生得到的安全概率滿足的關(guān)系.

圖9 在置信度為1-α=0.95下，安全概率P(D)的上、下限函數(shù)圖

(iii)概率論與數(shù)理統(tǒng)計在逸夫樓電梯規(guī)劃中的應(yīng)用，這是智能1903班的四位同學(xué)組隊完成的大作業(yè).學(xué)校的逸夫樓8層，共56個教室每天承載著大量的教學(xué)任務(wù)，其四部電梯負(fù)責(zé)運(yùn)送學(xué)生去往不同的樓層上下課，不勝其忙，特別課間高峰期的運(yùn)力明顯不足.

因此學(xué)生利用所學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識，對身邊司空見慣的問題展開研究.首先調(diào)查逸夫樓電梯使用的實際情況：課間15分鐘高峰期約有800名學(xué)生需要使用電梯，電梯從一層出發(fā)往返一趟開關(guān)門四次(電梯只停五層以上的樓層)，電梯的荷載人數(shù)為15人，因此每臺電梯每趟可送15×2=30人到達(dá)目的地.然后提出研究的問題是

① 至少需要多少臺電梯才能保證800名學(xué)生以95%的概率按時到達(dá)？

② 逸夫樓現(xiàn)有4臺電梯(兩臺停雙層，兩臺停單層)，每臺電梯至少搭載多少人才能滿足上述需求？此時電梯是否超載？

下面選取部分有效數(shù)據(jù)：

表3 電梯上下樓、開關(guān)門所用時間

學(xué)生利用所學(xué)知識中的正態(tài)分布、數(shù)學(xué)期望及中心極限定理通過建模求解，成功地解決了上述問題.經(jīng)計算，得到的結(jié)論是：800名學(xué)生若要在15分鐘內(nèi)及時到達(dá)目標(biāo)樓層，需要配備6臺電梯.如果只利用目前僅有的4臺電梯，每臺至少搭載26人才能滿足上述需求，屬于嚴(yán)重超載.

7.3 課程效果的延續(xù)——本科創(chuàng)新項目

通過對本課程的學(xué)習(xí)，許多同學(xué)對相關(guān)的知識內(nèi)容產(chǎn)生很大興趣，繼續(xù)拓展學(xué)習(xí)本課程知識，延續(xù)本課程的知識并賦予實踐，形成本科生創(chuàng)新項目.其中不乏研究成果達(dá)到了期刊論文或會議論文發(fā)表的水平[11-12].學(xué)生評價：受益于概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的學(xué)習(xí)，興趣來自課上的思維方法和實際案例等啟發(fā)以及動手能力的培養(yǎng).

以下是已發(fā)表論文，用本課程及引申知識完成的兩個本科生創(chuàng)新項目：

項目1應(yīng)用貝葉斯分類模型預(yù)測大學(xué)生英語四級考試通過率.學(xué)生在課堂所學(xué)樸素貝葉斯分類方法基礎(chǔ)上，利用加權(quán)貝葉斯分類模型對北京科技大學(xué)本科生的大學(xué)生英語四級考試通過率進(jìn)行預(yù)測.通過對誤判數(shù)據(jù)的分析，調(diào)整貝葉斯分類器的判別條件，通過引入“潛力因子”改進(jìn)了加權(quán)貝葉斯分類模型，提高了預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性.研究成果整理成論文，并發(fā)表在《大學(xué)數(shù)學(xué)》期刊上.

項目2基于數(shù)據(jù)挖掘算法的大學(xué)英語成績分類方法的研究.該項目利用本科生英語學(xué)習(xí)的真實成績，應(yīng)用三種數(shù)據(jù)挖掘算法：樸素貝葉斯分類、C4.5決策樹和邏輯回歸方法對學(xué)生的最終英語成績水平進(jìn)行評估，并對各算法的性能和精度進(jìn)行了分析比較.研究成果整理成論文(英文)，并在第三屆應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)國際會議上發(fā)表.

8 結(jié) 論

通過分析具體的應(yīng)用案例，將馬克思主義唯物辯證法融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)設(shè)計與教學(xué)實踐，在傳授知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生的理性思辨能力，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀、價值觀和世界觀.在實踐教學(xué)中，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)與本課程相關(guān)的問題，并用相關(guān)的知識解決這些問題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力、創(chuàng)新思維能力及解決復(fù)雜問題的綜合能力，將實現(xiàn)理論與實踐相統(tǒng)一，教書與育人相統(tǒng)一.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.