概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中新冠戰(zhàn)役思政元素的探索

張丹達(dá)， 包經(jīng)俊， 李建峰

(寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，浙江 寧波315211)

1 引 言

“古之學(xué)者必有師.師者，所以傳道受業(yè)解惑也.”韓愈在《師說》中指出了老師的責(zé)任不只是教授學(xué)業(yè)，還需傳授為人處世的道理、解答所遇的疑惑.“高校思想政治工作關(guān)系高校培養(yǎng)什么樣的人，如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人這個根本問題.要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面.”高校工作者在授課過程中需遵循課程思政教育理念[1-2]，全方位培養(yǎng)社會主義建設(shè)者和接班人，為其走向社會、服務(wù)社會、建設(shè)社會打好堅實(shí)的基礎(chǔ).

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律的基礎(chǔ)課程，其應(yīng)用遍及自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會科學(xué)、管理學(xué)等領(lǐng)域，是高等院校經(jīng)管類和理工類學(xué)生進(jìn)行專業(yè)學(xué)習(xí)的常用工具，為提升學(xué)生邏輯思維能力和實(shí)際問題處理能力提供智力支持.大千世界變幻莫測，隨機(jī)現(xiàn)象遍布生活，人們可從這些隨機(jī)現(xiàn)象中找到統(tǒng)計性規(guī)律，做最優(yōu)的決策指導(dǎo)生活.培養(yǎng)正確的社會主義核心價值觀，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的初心和使命.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)的重心不能只放在對基礎(chǔ)知識和基本技能的講授上，還要放在思政元素的引入上，讓知識更加多元和更有活力.教師可從教育理念、教學(xué)原則和實(shí)踐路徑等方面[3]全方位引入課程思政；也可引入數(shù)學(xué)文化[4]、傳統(tǒng)文化[5]等元素，讓學(xué)生真切體會社會主義核心價值觀、辯證唯物主義，弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，提高教學(xué)效果，使課堂更有深度和活力.

2020年是不平凡的一年，新冠肺炎疫情席卷全球，影響了人民生活的方方面面，高等學(xué)校教學(xué)也轉(zhuǎn)成了在線教育[6].但全國人民不畏艱難，在習(xí)近平總書記的帶領(lǐng)下團(tuán)結(jié)一心眾志成城抗擊新冠肺炎疫情，取得了階段性的成果.在這沒有硝煙的戰(zhàn)斗中，涌現(xiàn)了許多平凡的人民英雄，其事跡感人肺腑，也極大地鼓舞了全國人民的愛國熱情和奮發(fā)向上的精神.因此，探究如何將新冠戰(zhàn)役這一思政元素融入到課堂教學(xué)顯得意義深刻.朱婧等教授已經(jīng)在微積分教學(xué)中引入新冠元素[7]，筆者接下來探索把新冠戰(zhàn)役中的一些實(shí)例自然融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中，分別通過疫情小常識、物資設(shè)備問題、前線事跡和政府決策力等方面案例，達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和激發(fā)學(xué)生的科技報國心、社會責(zé)任心和“四個自信”等思政效果的目的.

2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中新冠戰(zhàn)役的融入教學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識在新冠戰(zhàn)役中具有廣泛應(yīng)用，接下來筆者在教學(xué)中融入相關(guān)案例，達(dá)到以下四個方面的思政教學(xué)目標(biāo)，并從新冠戰(zhàn)役精神中激發(fā)學(xué)生的愛國熱情.

2.1 通過疫情小常識，提高學(xué)生對學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的興趣

2020年上半年的線上教學(xué)，對于學(xué)習(xí)興趣不高的學(xué)生影響較大，如何有效提高學(xué)習(xí)興趣顯得尤為重要.教師可以通過常規(guī)方法豐富課堂，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，如介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計的歷史發(fā)展和講述伯努利、拉普拉斯等數(shù)學(xué)家故事.概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活實(shí)踐中應(yīng)用較廣泛，將其與生活小常識相結(jié)合講授更能提高學(xué)生的興趣.例如，許多學(xué)生直覺上認(rèn)為概率為0的事件是不可能事件，教師可讓學(xué)生計算兩人在不約定的情況下在某處相遇的概率，由幾何概型可得概率為0，但事實(shí)上我們每天與許多人在某處不期而遇.這樣反直覺的例子讓學(xué)生對知識點(diǎn)印象深刻并提高了學(xué)習(xí)興趣.進(jìn)一步地將課程知識點(diǎn)與當(dāng)前新冠戰(zhàn)役大背景下的小常識相結(jié)合，學(xué)生既能記住小常識，又對知識點(diǎn)理解更加深刻和對課程也更感興趣.比如，許多學(xué)生參與過核酸檢測，容易直觀以為陽性就是患病，教師可在教授貝葉斯公式時引入假陰性假陽性問題.

因為檢測試劑對病毒性狀的敏感度有限，采集樣本的交叉污染和實(shí)驗員的操作失誤可能影響檢測結(jié)果，所以不存在絕對正確的檢測結(jié)果，即存在患新冠病人檢測呈陰性情況(假陰性)，也存在未患新冠病人檢測呈陽性情況(假陽性).出現(xiàn)過對密切接觸者多次檢測后才呈陽性的案例，也出現(xiàn)過初次為陽性后多次檢測均為陰性的案例.現(xiàn)假設(shè)患新冠肺炎的人通過試劑檢測，陽性的概率為0.9；而未患新冠肺炎的人通過試劑檢測，陽性的概率為0.01.設(shè)某病人在檢測前經(jīng)醫(yī)生病情診斷后患病概率為p，那么該病人檢測為陽性，求假陽性的概率；該病人檢測為陰性，求假陰性的概率.

設(shè)事件A={病人患病}，B={病人檢測為陽性}，則

由貝葉斯公式得

當(dāng)該病人處于低風(fēng)險地區(qū)且無任何新冠肺炎病狀時，取p=10-5，則假陽性概率為0.999，即結(jié)果陽性的情況極大概率是檢測失誤，假陰性概率為10-6，即結(jié)果陰性的情況是可信的.當(dāng)該病人處于高風(fēng)險地區(qū)且出現(xiàn)部分新冠肺炎病狀時，取p=0.01，則假陽性概率為0.524，即結(jié)果陽性并不一定是患病，尚需進(jìn)一步檢測和診斷，假陰性概率為10-3，即結(jié)果是陰性的情況是可信的.當(dāng)該病人為確診病例的密切接觸者且出現(xiàn)新冠肺炎病狀時，取p=0.9，則假陽性概率為10-3，即結(jié)果陽性基本可以確診，假陰性概率為0.476，即陰性結(jié)果不一定可信，尚需進(jìn)一步檢測.由上述分析可以看出，當(dāng)試劑檢測比較稀缺時，優(yōu)先保證密切接觸者的檢測，低風(fēng)險地區(qū)無病癥人員無需檢測.當(dāng)然由于春節(jié)人流量較大，不同風(fēng)險地區(qū)人員可能出現(xiàn)接觸，在檢測能力保證的情況下，核酸檢測還是非常有必要的.

教師結(jié)合此案例，可讓學(xué)生明白貝葉斯公式等知識對生活的指導(dǎo)意義，也增加了假陰性、假陽性等生活常識，即便自己被檢測為陽性，也能夠從容不亂地理性分析.從教學(xué)實(shí)踐情況來看，學(xué)生們對這些疫情小常識(特別是反直覺案例)有恍然大悟的感覺，從而提高對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的興趣.

2.2 通過疫情物資、設(shè)備、技術(shù)等問題，引導(dǎo)學(xué)生樹立科技報國心

科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力，創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動力.但近期由于中美關(guān)系問題，我國在芯片、光刻機(jī)等方面遇到了卡脖子問題.在新冠戰(zhàn)役上，也遇到了一批藥品、醫(yī)療器械、醫(yī)用設(shè)備、疫苗等領(lǐng)域的卡脖子問題.教師可引入一些相關(guān)案例，向?qū)W生說明傳遞科學(xué)技術(shù)的重要性，引導(dǎo)學(xué)生樹立科技報國心，比如在學(xué)習(xí)中心極限定理時順勢引入口罩定價問題.

口罩是阻斷病毒傳播的較好途徑，合格的口罩對細(xì)菌過濾效率、顆粒物過濾效率、微生物指標(biāo)、甲醛含量等有要求，才能保證阻斷病毒傳播的高效性.假設(shè)某家工廠生產(chǎn)同一批次口罩，假定每只口罩的合格情況相互獨(dú)立，且不合格概率為p.客戶可從中抽檢100只，若不合格率高于25%，則按照合同工廠需以三倍價格賠付該批口罩.假定每個口罩生產(chǎn)成本為0.2元，p=0.2，為確保毛利率50%，其銷售價格需不低于多少元？若客戶商定價格為0.8元/每只，不合格率需不高于多少？

設(shè)口罩銷售價格為c元，客戶抽檢100件，設(shè)抽檢結(jié)果不合格口罩為X只，則X～B(100，p).由于抽檢量較大，根據(jù)中心極限定理，X近似服從N(100p，100p(1-p)).由此

也就是說89.44%的概率滿足客戶條件，10.56%的概率需賠付平均每只3c元，則毛利率為

得c≥1.1，即p=0.2，為確保毛利率50%，其銷售價格需高于1.1元.

當(dāng)每只定價為c=0.8元時，由毛利率

可得P(X≤25)≥0.9167.查表Φ(1.385)=0.9167，則

求解得p≤0.1951.即當(dāng)不合格率低于19.5%，則定價0.8元/每只，仍有毛利率50%.

從這兩個小問可以看出，提高合格率不僅能夠幫助用戶更有效阻斷病毒，贏得好的口碑，又能為企業(yè)帶來超額利潤.在此題中，若設(shè)合格率為90%，則有

即賠付的概率幾乎為0，無需再考慮賠付成本，若仍定價0.8元，毛利率可高達(dá)75%.提高合格率要求設(shè)備儀器的精細(xì)化和智能化，隨著制造業(yè)發(fā)展，國產(chǎn)口罩機(jī)已經(jīng)達(dá)到高標(biāo)準(zhǔn)，且能夠自信走出國門.從該結(jié)論中學(xué)生可以明白技術(shù)進(jìn)步的重要意義，但生物制藥等鏈條上許多高端研發(fā)和產(chǎn)業(yè)化所需要的關(guān)鍵儀器設(shè)備等嚴(yán)重依賴國外，國產(chǎn)替代核心設(shè)備是這一代人的目標(biāo).另外在學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)知識點(diǎn)時，可穿插創(chuàng)新藥研發(fā)中的數(shù)據(jù)分析問題.綜上，教師可通過講述國家科技進(jìn)步案例和卡脖子困境，引導(dǎo)學(xué)生樹立科技報國心，激發(fā)學(xué)生愛國熱情，為推動我國高質(zhì)量發(fā)展貢獻(xiàn)自己的力量.

2.3 通過疫情前線事跡，激起學(xué)生的社會責(zé)任心

社會責(zé)任心是個體對國家和集體的道德情感，一個國家的繁榮發(fā)展離不開人民的社會責(zé)任心，而當(dāng)集體面臨風(fēng)險時社會責(zé)任心顯得尤為重要，這次疫情防控也涌現(xiàn)出無數(shù)平凡的英雄，共同迎來階段性的勝利.教師通過育德于教，將科研天使、白衣天使、新聞天使等防疫事跡自然融合在教學(xué)中.大學(xué)生是新冠戰(zhàn)役不可或缺的力量，他們在社區(qū)服務(wù)群防群控等關(guān)鍵環(huán)節(jié)中發(fā)揮著重要作用.例如，教師在介紹計數(shù)原理知識點(diǎn)時可引入大學(xué)生志愿者案例，激發(fā)學(xué)生的社會責(zé)任心.

在社區(qū)服務(wù)的疫情前線中，正值青春的大學(xué)生們響應(yīng)黨和政府的號召沖鋒在前.現(xiàn)根據(jù)指示，需要往A，B，C，D處分派8名大學(xué)生志愿者，且每處各2名，考慮到志愿者的住址與分派處的距離盡量不要過遠(yuǎn)，A，B位于郊區(qū)，甲不派往A，乙不派往B，丙住郊區(qū)可派往A，B中一處，則滿足該條件的方案有多少種？

志愿者們響應(yīng)黨中央的號召，滿懷著極大的愛家愛國熱情，在平凡的崗位上履行自己的職責(zé)，做著不平凡的事，他們的身影出現(xiàn)在大街小巷、小區(qū)社群和深夜伏案的辦公桌.除了這些前線辛苦作戰(zhàn)的志愿者，90后甚至95后是醫(yī)護(hù)最前線的主力軍，教師介紹這些同齡人的慷慨激昂的事跡，激發(fā)學(xué)生愛國熱情，提升對社會的責(zé)任心.

2.4 通過政府的疫情決策能力，激發(fā)學(xué)生對國家的自信心和自豪感

相比全球疫情蔓延形勢的日趨嚴(yán)峻，我國疫情已經(jīng)取得階段性勝利，充分體現(xiàn)出我國制度優(yōu)勢和道路優(yōu)勢.教師可在講解概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點(diǎn)時引入反映政府疫情決策能力的案例，激發(fā)學(xué)生對國家的自信和自豪感，堅定“只有中國特色社會主義才能發(fā)展中國”的道路自信和“鞋子合不合腳只有自己穿了知道”的制度自信.事實(shí)上，尋找防治疫情和經(jīng)濟(jì)恢復(fù)之間的平衡點(diǎn)一直是政府決策難點(diǎn).而解題的關(guān)鍵是需要來精準(zhǔn)計算不同措施的綜合成本和各種情況的概率.從根本上看，傳染病其實(shí)是隨機(jī)事件，所以在防治疫情的過程中，需要運(yùn)用許多概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點(diǎn).比如，教師在介紹完期望的知識點(diǎn)后，以政府的快速檢測方案為例體現(xiàn)我國政府的快速應(yīng)對能力和決策力.

病毒快速檢測能力是發(fā)現(xiàn)病毒并防止擴(kuò)散的關(guān)鍵所在.當(dāng)某地區(qū)出現(xiàn)確診病例時，密切接觸者需迅速檢測并前往隔離點(diǎn)觀察，當(dāng)出現(xiàn)批量確診病例時，該片區(qū)需集中力量進(jìn)行全民檢測并居家隔離.現(xiàn)某醫(yī)院收到n份樣本，即將對該樣本有以下兩種方案進(jìn)行檢測：(i)逐份檢測;(ii)將k份樣品混合檢驗，如若出現(xiàn)陽性再將其逐次檢驗.混檢的原理是若k份樣品存在陽性，混合后仍會出現(xiàn)陽性.事實(shí)上，當(dāng)k過分大時，原陽性樣本稀釋過分嚴(yán)重導(dǎo)致病毒量過少混檢后未被檢測出來，因此為了保證準(zhǔn)確率，k不大于15.設(shè)現(xiàn)收到的樣本陽性概率為p，且樣本間陽性情況相互獨(dú)立，由于時間緊迫需盡快完成檢測任務(wù)，試討論兩種方案的優(yōu)劣性.若出現(xiàn)批量確診病例社群的樣本陽性概率為1%，試說明開展多輪全員1∶10混檢的合理性.

可直接討論這k份樣品情況，第一種方法顯然需每份檢驗1次.現(xiàn)討論第二種方法，令平均每次需檢驗X次，所有可能性為1/k和1+1/k，且

P(X=1/k)=(1-p)k， P(X=1+1/k)=1-(1-p)k.

則期望

EX=(1-p)k/k+(1+1/k)(1-(1-p)k)=1+1/k-(1-p)k.

將EX與1進(jìn)行比較，可得當(dāng)p>1-k-1/k時第一種方法更合適，當(dāng)p=1-k-1/k時兩者相同，當(dāng)p<1-k-1/k第二種方法更合適.

由f(k)=1-k-1/k的單調(diào)性可得，當(dāng)2≤k≤15時，0.31>f(3)≥f(k)≥f(15)>0.165.當(dāng)樣本來自密切接觸者時，陽性概率p較大，不適合混檢，逐個檢驗更加好.當(dāng)樣本來自某區(qū)塊統(tǒng)一檢測時，其陽性概率明顯小于0.165，則p<0.165

特別地，當(dāng)p=0.01，g(k)=EX=1+1/k-0.99k，則g(k)在[2，10]單調(diào)遞減，在[11，15]單調(diào)遞增，g(11)=0.19557最小，而g(10)=0.19562與其相差甚微，但其陽性準(zhǔn)確率比1∶11混檢更大，因此采用k=10較為合理.事實(shí)上1∶10混檢在河北、黑龍江、吉林等各地廣泛使用，一般來說，中高風(fēng)險地區(qū)陽性概率不超0.4%，g(k)在[2，15]單調(diào)遞減，且[10，15]降速較慢，但檢測準(zhǔn)確率降低，取10是折中較優(yōu)的方案.假設(shè)現(xiàn)對全市100萬人進(jìn)行全面檢測，陽性概率約為0.02%，一天的檢測次數(shù)為上限兩萬，逐檢需50天嚴(yán)重耽誤戰(zhàn)機(jī)，但若按1∶10混檢，g(10)=0.1，即每份初始樣本只需0.1次檢測，只需5天，節(jié)省大量時間.

教師介紹政府快速封城、快速檢測、快速恢復(fù)經(jīng)濟(jì)、全民疫苗等富含概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識的教學(xué)案例，對比國內(nèi)外疫情形勢，學(xué)生深切感受到祖國的偉大和黨領(lǐng)導(dǎo)的正確性，更加堅定“四個自信”，對國家的自信和自豪感油然而生.

3 教學(xué)效果

本學(xué)期蘊(yùn)含新冠戰(zhàn)役思政元素的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是面向2019級食工專業(yè)及部分重修學(xué)生.經(jīng)過一學(xué)期的教學(xué)實(shí)踐，為了評估該思政元素融入課堂的效果，在期末向?qū)W生發(fā)放了相關(guān)的調(diào)查問卷，共回收了73份問卷.該問卷主要是針對以上四個思政主題效果進(jìn)行評估，從圖1結(jié)果上看，學(xué)生對國家的自信心和自豪感明顯認(rèn)同，對學(xué)習(xí)的興趣提升明顯，科技報國心也有些萌芽，相對來說提升社會責(zé)任心方面的效果有待改善.此外，絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為這些相關(guān)疫情案例穿插比較自然，并不生搬硬套，也不影響教學(xué)進(jìn)度.最后調(diào)查問卷還收集了學(xué)生對該課程的收獲或者建議.有些學(xué)生感慨，概率論與數(shù)理統(tǒng)計原來如此有用，大到國家決策，小到生活點(diǎn)滴，極大提升了學(xué)習(xí)興趣，弄清了大數(shù)定理和中心極限定理比較有成就感；也有學(xué)生表示，一方面，我國疫情有效控制與國外疫情嚴(yán)重蔓延的對比體現(xiàn)出制度優(yōu)勢，增長了對制度的自信，另一方面，國外對我國科技的圍堵讓我們感受到唯有科技振興才能富國強(qiáng)國不受欺，希望為祖國的科技興國出一份力.此外，由表1所示，該學(xué)期的學(xué)生成績顯著提高，優(yōu)秀率高達(dá)30.00%遠(yuǎn)超其他學(xué)期，而及格率不如預(yù)期，這是由于某些重修學(xué)生經(jīng)常曠課和學(xué)習(xí)態(tài)度不端正，綜合來看本學(xué)期的課程思政明顯提高了教學(xué)質(zhì)量，同時達(dá)到了思政教育的目的.

圖1 課程思政調(diào)查問卷統(tǒng)計表

表1 課程思政學(xué)期與其他學(xué)期的成績分布對比

4 結(jié) 論

新冠戰(zhàn)役的階段性勝利是我國政治制度優(yōu)勢的體現(xiàn)，該背景下的思政教育讓學(xué)生更有參與感，豐富知識體驗.同時，也更明白政府決策背后的科學(xué)性，新冠戰(zhàn)役精神大大激起學(xué)生愛國熱情.如何將知識點(diǎn)和學(xué)生興趣點(diǎn)及思政元素相融合始終是教師的目標(biāo)，這更需要教師保持學(xué)習(xí)的熱情，緊跟社會熱點(diǎn)，提高培養(yǎng)社會主義接班人的責(zé)任感，激發(fā)學(xué)生的“四個自信”、社會責(zé)任心和科技報國心，幫助樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，從而達(dá)到課程思政的效果.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.