探案式教學的探索與實踐
——以微分幾何偽球面為例

蘇永美， 劉白羽， 范玉妹

(北京科技大學 數(shù)理學院，北京100083)

1 引 言

當今時代，大國博弈，競爭激烈，而國家之間的競爭最終會體現(xiàn)在科技水平的競爭，科技水平的高低取決于國家人才的質量，本科教育在一個國家的人才培養(yǎng)中有著舉足輕重的作用.我們國家歷來重視本科教學，2018年6月21日，教育部組書記、部長陳寶生在新時代全國高等學校本科教育工作會議上的講話，2019年10月8日，教育部下發(fā)的深化本科教學改革的具體指導意見，2020年10月27日教育部高等教育司聯(lián)合中國高等教育學會舉辦的首屆全國高校教師教學創(chuàng)新大賽，這體現(xiàn)了國家對本科教學的高度重視.

大學數(shù)學教學對理工科創(chuàng)新型人才培養(yǎng)具有先導性、全局性、基礎性地位[1]，培養(yǎng)學生數(shù)學思維創(chuàng)新能力、數(shù)學理解創(chuàng)新能力、數(shù)學應用創(chuàng)新能力一直是大學數(shù)學教學所追求的高要求、高目標[2].但一個不容忽視的現(xiàn)狀是，目前高校中理工科的數(shù)學類基礎課教學，相當一部分還是傳統(tǒng)的大班授課，講授法作為基本教學方法的地位也不容小覷[3].在這種情況下，在傳統(tǒng)課堂的基礎上，教學內(nèi)容的呈現(xiàn)、教學模式的設計、教學手段的使用如何進行創(chuàng)新，學生在教師的引導下充分參與到課堂中來，真正實現(xiàn)師生互動、生生互動，傳統(tǒng)課堂煥發(fā)新的生機與活力是值得探索和實踐的.

需要值得提出的是，無論哪種形式的教學改革，最終的目標都要落實到立德樹人，培養(yǎng)學生學會主動思考，讓每一位學生發(fā)自內(nèi)心地學習，否則談不上對學生思維能力的培養(yǎng)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，更談不上完成教學上的兩性一度.問題情境設計對調動學生的積極性有著很好的促進作用，文獻[4]探討了高等數(shù)學課程教學中問題情境設計的一般途徑和方法，但針對具體的教學內(nèi)容，應該采用靈活的創(chuàng)新教學手段.微分幾何是數(shù)學類本科生的一門綜合性課程，課程難度很大，需要較強的空間想象能力和直覺能力.偽球面作為負常數(shù)高斯曲率曲面以及雙曲幾何的典型模型，是微分幾何中的一類重要曲面，但由于其形狀奇特，方程復雜，性質抽象不易理解.如果采用傳統(tǒng)的講授方式，學生會感覺索然無味，教學效果會大打折扣，更談不上對學生思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).因此在授課內(nèi)容無法更改和在大班授課的現(xiàn)實條件下，以案情推進式呈現(xiàn)教學內(nèi)容，以探案式教學模式層層抓住學生的好奇心，以自制教具加強師生互動，以探究式啟發(fā)式引導生生互動，以直觀動畫呈現(xiàn)加深學生理解，收到了良好的教學效果.

2 探案式教學的設計思路與實踐

探案式教學設計思路如下：

圖1 探案式教學設計思路

2.1 以自制教具加強師生互動，引入“案情”

上課一開始，先讓同學觀察自制的實驗裝置圖2的特點：兩根直桿組成斜坡，左窄右寬、左低右高.另外還有三個物體，一個圓柱體，一個雙圓錐體，一個形似雙嗩吶的物體，再讓同學們猜想如果把這三個物體放在架子上會怎么滾動呢？大多數(shù)同學的直覺是三個物體由高處往低處滾動，此時讓學生親自上講臺操作實驗，實驗的結果只有圓柱體由高處向低處滾，雙圓錐體卻是從低向高處滾動，而形似雙嗩吶的物體放在裝置上“上下”往復滾動.這樣實驗裝置的引入，以及有悖于常識的實驗結果，即使是大班授課，也可以將每個同學的注意力吸引過來，實驗結果同直覺相悖更是引起了同學們強烈的好奇心.此時給學生公布“案情”，這個形似雙嗩吶的物體在裝置上“上下”往復滾動的物體的外表面就是“偽球面”.顯然其形狀和球面相去甚遠，那么為什么叫它偽球面，它和球面有什么關系？這個“偽”字又體現(xiàn)在哪呢？這樣就給學生明確了本次課要破解的“案情”.

圖2 自制教具

2.2 以探究式教學加強生生互動，尋找“案情”突破口

既然偽球面形狀與球面完全不同，那么研究它和球面的關系，可以從建立它的曲面方程入手，但如何建立方程呢？通過它在裝置上往復運動就能建立它的方程嗎？很難找到切入點.那又應該從哪入手呢？此時讓學生相互討論，找到往復運動的原因，憑借物理學知識，同學們很快就能判斷出是重心的高度變化引起的，但偽球面的重心為何會反復高低變化呢？既然雙圓錐體相比偽球面簡單的多，那么我們就應該從簡單問題入手，分析雙圓錐體向上滾動的時候重心下降的條件，看能否找到建立偽球面方程的突破口.

2.2.1 分析線索1：雙圓錐體上滾

此處讓學生展開討論.顯然，雙圓錐體上滾過程中與軌道相接的部分圓半徑變小，而軌道的傾斜又將雙圓錐體向上做了部分抬移，如果這個抬移幅度不能夠彌補半徑差，雙圓錐體重心下降從而出現(xiàn)上滾.顯然這個抬移幅度與雙圓錐體的形狀，裝置的斜面傾斜程度及軌道的夾角有關.令α為雙圓錐體半頂角，β為軌道半夾角，θ為斜坡面中心線仰角.

圖3 側視圖

圖4 俯視圖(視線垂直于斜坡平面)

設雙圓錐體底面圓半徑為R，沿著斜坡面移動s時，由于軌道寬度變大，雙圓錐體與軌道相接的部分圓半徑變小，設為r，由側視圖可知，“上”滾時軌道對雙圓錐體的抬移幅度為stanθ，如果這個抬移幅度不能夠彌補半徑差，即stanθtanθ/tanβ，由雙圓錐體的形狀，裝置的斜面傾斜角，滾動軌道的夾角完全決定.

分析出了雙圓錐體上滾的不等式條件后，繼續(xù)引導學生分析，雙圓錐體有沒有可能在軌道上靜止不動？還是下滾呢？從而引導學生得到雙圓錐體上滾、下滾及不滾的條件.總結如下：

圖5 雙圓錐體滾動條件

2.2.2 分析線索2：偽球面上下往復滾動

偽球面為什么能上下往復滾動？此處繼續(xù)引導學生思考，能否利用雙圓錐體的滾動條件分析出偽球面的特點呢？由于裝置中軌道半夾角β和斜坡面中心線仰角θ這兩個參數(shù)固定不變，注意到過偽球面與軌道接觸點截偽球面所得的圓一定在某個雙圓錐體上，那么偽球面在上下往復滾動中圓錐體的半頂角α會變化，若偽球面先由低向高處滾動，那就是開始重心是下降的，即tanα>tanθ/tanβ，既然中間會停下又出現(xiàn)向下滾動，應該在上滾過程中滾動過程中α逐漸變小，某一時刻等式會成立，即tanα=tanθ/tanβ，之后由于慣性作用會繼續(xù)的向上滾動，此時滿足不等式tanα

圖6 偽球面上下滾動原理

分析了偽球面上下往復滾動的原理，接下來的關鍵問題是：能否借助雙圓錐體構造出偽球面呢？注意到偽球面為一光滑的曲面，那么偽球面與軌道接觸點的圓所在的圓錐體的半頂角在往復滾動中是連續(xù)變化的，此時讓學生繼續(xù)討論思考，討論發(fā)現(xiàn)，如果保持圓錐體斜高不變，將頂角連續(xù)變化的圓錐面堆疊形成的旋轉曲面在滾動過程中就可以滿足往復滾動的條件，至此，我們一起得出了偽球面的構造特點，如圖7所示，“案情”獲得重大進展，接下來只需要求出這個旋轉曲面的方程即可.而求旋轉曲面的方程，只需求出母線的方程，那么母線方程又應該怎么求呢？就需要繼續(xù)分析偽球面構成的線索.

圖7 (右半)偽球面生成圖

由堆疊過程的特點，如圖7建立坐標系，那么該旋轉曲面可以由曲面在yOz面上的截線繞y軸旋轉而成.而這個截線的特點是每點的切線被y軸所截的切線段恰好就是圓錐體的斜高，顯然這些線段的長度相等.而滿足這個特點的曲線恰好就是之前我們學過的直線的曳物線.而這個“上下”往復滾動物體的表面就是由曳物線繞y軸旋轉而成的旋轉曲面，曳物線就是這個旋轉曲面的母線.曳物線(母線)的方程學生可以自行寫出：

方程中a的意義為每點切線被y軸所截的切線段長.注意前面只是借用偽球面的稱呼，現(xiàn)在就可以給出偽球面的嚴格定義.

定義將曳物線繞其漸近線旋轉一周所得的旋轉曲面稱為偽球面.

此時，學生參與，寫出偽球面的參數(shù)方程：

至此，“案情”的第一個突破口獲得解決.

2.3 師生互動，乘勝追擊，破解“案情”

得出了偽球面的參數(shù)方程，但僅從方程上來看，還是沒有揭示它為什么被稱為“偽球面”以及它和球面的關系，這時候繼續(xù)啟發(fā)學生繼續(xù)探析，應該從哪些角度進一步研究偽球面呢？由此引出研究偽球面的性質.

性質1偽球面的面積.

學生經(jīng)過簡單計算，可以得出右半偽球面面積

故偽球面的面積S=2S右=4πa2，恰好和半徑為a的球面的面積相等.

性質2偽球面過y軸的截面面積.

球面過中心軸平面截得的大圓面積均為常數(shù)，那么偽球面過中心軸的截面面積是否和球面的截面有什么聯(lián)系呢？由于y軸就是偽球面的中心軸，由偽球面的對稱性，偽球面過y軸的截面面積就等于曳物線與y軸正向所夾區(qū)域的面積的四倍，所以只需要計算出曳物線與y軸正向所夾區(qū)域的面積.由曳物線的方程，利用反常積分學生可以得到y(tǒng)>0，z>0部分的截面積為

故偽球面過y軸的截面面積為S=4Sy>0，z>0=πa2，顯然，該面積恰好是半徑為a的圓的面積.

至此，探案過程過半，已經(jīng)揭露了偽球面同球面具有某些相同的性質，叫它偽球面有一定的道理，但既然叫偽球面，就不是真正的球面，那么，“偽”又體現(xiàn)在什么地方呢？因為我們研究的對象為曲面，而高斯曲率是刻畫曲面彎曲的重要特征之一，因此我們就需要研究偽球面的高斯曲率.

性質3偽球面的主曲率和高斯曲率.

圖8 球面和偽球面的主方向對比

r=r(θ，φ)=(x(θ，φ)，y(θ，φ)，z(θ，φ))r(θ，φ)

通過計算偽球面的第一基本量E，F(xiàn)，G和第二基本量L，M，N，

E=rθ·rθ=a2cot2θ，L=rθθ·n=±acotθ，

F=rφ·rθ=0，M=rθφ·n=0，

G=rφ·rφ=a2sin2θ，N=rφφ·n=±asinθcosθ，

總結上面的分析過程，偽球面的表面積，過中心軸的截面面積和球面完全一樣，高斯曲率和球面只差一個負號.偽球面是一種具有負常數(shù)高斯曲率的曲面，彎曲程度與球面相同，彎曲方式不同，從這個意義上來講，稱之為偽球面不無道理，至此，“案情”真相大白.而我們層層推進的探案式的教學過程正是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科研創(chuàng)新能力的培養(yǎng)過程，探案式的教學模式牢牢抓住了每個學生的好奇心，他們?nèi)虆⑴c到“探案”過程，整個過程學生們都處于興奮狀態(tài)，很少有學生出現(xiàn)分神、瞌睡現(xiàn)象，收到了意外好的教學效果.

3 結 論

以微分幾何偽球面一節(jié)的授課內(nèi)容為例，以有悖直覺的滾動實驗引入“案情”，以探案式的方式引導學生層層分析線索，借助圖形、動畫等多種教學形式和手段生動展開，在傳統(tǒng)課堂中實現(xiàn)了師生互動和生生互動，學生充分參與到課堂中來，在學生的“探案”過程中培養(yǎng)自主創(chuàng)新的能力，達到了如期的教學效果.當然，由于偽球面知識點的特點，我們采用探案式可以更好地打造活力課堂，對于其它的內(nèi)容，我們可以根據(jù)不同的授課內(nèi)容，設計不同的教學方法和手段，以達到最好的教學效果.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.