一類丟番圖方程與有限域上對角方程的解

肖義麗， 曹 煒， 胡雙年

(1.寧波大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，浙江 寧波315211； 2.閩南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，福建 漳州363000；3.南陽理工學院 數(shù)理學院，河南 南陽473004)

1 引 言

(1)

wi=gcd(wi，lcm[wj:j≠i])， 1≤i≤n，

即w不可能再被壓縮.

1949年，華羅庚、Vandiver[5]和Weil[6]分別獨立地得到了Nq(f)用特征和表示的公式:

并且得到了下面的定理.

定理1[5-6]設f是形如(1)的多項式，則

|Nq(f)-qn-1|≤I(d1，…，dn)(q-1)q(n-2)/2，

其中I(d1，…，dn)表示下列丟番圖方程(u1，…，un)的個數(shù)

1986年，孫琦、萬大慶和馬德剛[7]利用容斥原理給出I(d1，…，dn)的復雜表達式

1987年，孫琦和萬大慶[8]得到了I(d1，…，dn)=0的充分必要條件.

1988年，萬大慶[9]利用高斯和的Stickelberger定理，推廣了Ax[10]和Joly[11]的結論，得到了下面的定理.

定理2[9]設f是形如(1)的多項式，則

Nq(f)≡0(modqL(d1，…，dn)-1)，

其中I(d1，…，dn)>0時，

1996年，孫琦[13]證明了以下結論:

1996年，孫琦[14]證明了以下結論:

(i)I(d1，…，dn)=5，6，7或9時，L(d1，…，dn)=[n/2]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù);

L(d1,…,dn)=∑ni=11wi

2007年，曹煒和孫琦[16]利用GCD-連通集簡化了I(d1，…，dn)，L(d1，…，dn)與Nq(f)的計算.

將給出當I(d1，…，dn)=11，…，18時，L(d1，…，dn)的值，并推廣得到當I(d1，…，dn)=p時，其中p為素數(shù)，L(d1，…，dn)的值. 還將補充參考文獻[11]中當I(d1，…，dn)=6，8，10時，w1，…，wn的具體值.

2 引 理

首先，敘述關于I(d1，…，dn)和L(d1，…，dn)的縮減公式.

引理1[4]設wi=gcd(di，lcm[dj:j≠i])，i=1，…，n，則有

I(d1，…，dn)=I(w1，…，wn)，wi=gcd(wi，lcm[wj:j≠i]).

引理2[13]設wi=gcd(di，lcm[dj:j≠i])，i=1，…，n，則有

L(d1，…，dn)=L(w1，…，wn).

令w表示集合{w1，…，wn}，若w中出現(xiàn)偶數(shù)個2，將略去不寫出來. 關于下面引理的證明，可以用參考文獻[17]的方法來證.

引理3(i)I(d1，…，dn)=6當且僅當w={7，7}，{2，7，14}，{2，8，8}，{2，8，16}，{3，4，12}，{4，4，4}，{4，4，16}，{2，3，4，12}，{2，3，4，24}，{2，3，8，12}，{3，3，3，3}，{3，3，4，4}，{3，3，3，4，4}，{3，3，4，4，9};

(ii)I(d1，…，dn)=8當且僅當w={9，9}，{2，9，18}，{2，10，10}，{2，10，20}，{3，5，15}，{3，6，6}，{2，3，5，30}，{2，3，6，6}，{2，3，9，12}，{3，3，5，5}，{2，3，3，3，6}，{2，3，3，5，10}，{2，3，5，5，6}，{2，4，4，5，5}，{2，4，5，5，8}，{3，3，3，5，5}，{3，3，5，5，9}，{2，3，3，3，5，10};

(iii)I(d1，…，dn)=10當且僅當w={11，11}，{2，11，22}，{2，12，12}，{2，3，10，15}，{3，4，4，6}，{3，4，6，8}，{2，3，3，4，12}，{2，3，4，4，6}，{2，3，4，6，8}，{2，3，4，6，16}，{2，3，3，4，24}，{3，3，3，3，3};

(iv)I(d1，…，dn)=11當且僅當w={12，12};

(v)I(d1，…，dn)=12當且僅當w={13，13}，{2，13，26}，{2，14，14}，{3，7，21}，{4，5，20}，{5，5，25}，{2，4，5，20}，{2，5，6，15}，{3，4，9，12}，{2，4，7，7，8}，{3，3，7，7，9}，{2，3，3，7，9，14}，{2，3，3，8，9，16};

(vi)I(d1，…，dn)=13當且僅當w={14，14};

(vii)I(d1，…，dn)=14當且僅當w={15，15}，{2，15，30}，{2，16，16}，{2，16，32}，{3，8，24}，{4，6，12}，{4，6，24}，{2，3，8，24}，{3，3，4，4，18};

(viii)I(d1，…，dn)=15當且僅當w={16，16}，{2，4，6，12}，{2，4，6，24}，{2，6，12，16};

(ix)I(d1，…，dn)=16當且僅當w={17，17}，{2，18，18}，{2，5，5，10}，{2，5，10，25}，{3，5，6，10}，{3，5，9，15}，{2，3，5，6，10}，{2，3，5，6，20}，{2，3，5，9，30}，{2，3，5，10，12}，{3，4，5，9，30}，{2，3，3，5，5，18}，{2，3，4，5，9，30};

(x)I(d1，…，dn)=17當且僅當w={18，18};

(xi)I(d1，…，dn)=18當且僅當w={19，19}，{2，20，20}，{3，10，30}，{4，7，28}，{4，8，32}，{2，3，10，30}，{2，3，20，30}，{2，4，7，28}，{3，4，4，24}，{3，4，12，16}，{3，5，6，10}，{2，3，4，4，24}.

3 主要結論及其證明

(iii)當I(d1，…，dn)=12,14,16或18時，

證設I(d1，…，dn)=11，由引理3(iv)可知w={12,12}，寫成一般形式，即

有

設I(d1，…，dn)=15，由引理3(viii)知當且僅當w為{16,16}，{2,4,6,12},{2,4,6,24},{2，6，12，16}之一，寫成一般形式，即

有

設I(d1，…，dn)=12，由引理3(v)知當且僅當w為{13，13}，{2，13，26}，{2，14，14}，{3，7，21}，{4，5，20}，{5，5，25}，{2，4，5，20}，{2，5，6，15}，{3，4，9，12}，{2，4，7，7，8}，{3，3，7，7，9}，{2，3，3，7，9，14}，{2，3，3，8，9，16}之一時，有

有

再由引理2知，當I(d1，…，dn)=12時，

同理，可證當I(d1，…，dn)=14，16或18時，

這便證明了(iii).

由定理3容易得到下面的推論.

d1=2，d2=2，d3=12，d4=12，n=4，q=13，1≤di|q-1，1≤i≤4.

481≤N13(f)≤3913，

(2)

N13(f)≡0(mod13).

(3)

最后，由Maple計算得N13(f)=2041，剛好滿足(2)和(3).

4 結 論

通過對一類丟番圖方程與有限域上對角方程解的研究，給出了該類丟番圖方程的解數(shù)當I(d1，…，dn)=11，…，18時，其最小整數(shù)解L(d1，…，dn)的值，并推廣得到當I(d1，…，dn)=p時，p為素數(shù)，L(d1，…，dn)的值.還補充了參考文獻[11]中I(d1，…，dn)=6，8，10時，w1，…，wn的具體值，其中wi=gcd(di，lcm[dj:j≠i])，1≤i≤n.

致謝作者非常感謝相關參考文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.