圓錐曲線中“蝴蝶圖形”的定點(diǎn)定值問題探究

南京市棲霞中學(xué)(210046) 劉建國 謝雙慶

定點(diǎn)定值問題作為高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn),其問題呈現(xiàn)的形式層出不窮,筆者在文獻(xiàn)[1]中主要以橢圓的準(zhǔn)線為已知知識(shí)類比至類準(zhǔn)線進(jìn)行探究,得出相關(guān)定值定點(diǎn)問題的若干結(jié)論;文獻(xiàn)[2]中主要將問題條件不斷一般化得出橢圓中相應(yīng)的定點(diǎn)定值的結(jié)論,為讀者提供一種探究定點(diǎn)定值問題的思路.關(guān)于橢圓中以“蝴蝶圖形”為載體的問題中,蘊(yùn)含著豐富的定值定點(diǎn)問題, 筆者在整理有關(guān)橢圓的定值定點(diǎn)問題中,以一道“蝴蝶圖像”為背景的例題進(jìn)行探究, 得出相應(yīng)的結(jié)論,再通過類比,在拋物線中也得出相應(yīng)的結(jié)論,試圖解釋試題命題的背景與命題的思路.

一、例題呈現(xiàn)

例1(江蘇省2021 屆百校聯(lián)考第21 題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的離心率是焦點(diǎn)(c,0)到直線的距離是3.

(1)求a,b的值;

(2)已知A,B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的上方,F(1,0),連接AF,BF,并分別延長交橢圓C于D,E兩點(diǎn),證明: 直線DE過定點(diǎn).

分析筆者注意到點(diǎn)A,B具有對(duì)稱性, 而直線AD與直線BE都過定點(diǎn)F, 問題是論證直線DE過定點(diǎn), 而A,B,D,E四點(diǎn)均在橢圓上,那么直線DE所過的定點(diǎn)是否與橢圓中a,b有關(guān)? 是否與點(diǎn)F有關(guān)? 換言之,直線DE所過的定點(diǎn)與F和橢圓中的a,b之間是否存在著某種關(guān)系?筆者經(jīng)過研究,將其一般化得到如下結(jié)論.

二、結(jié)論探究

結(jié)論1已知橢圓直線l過原點(diǎn)且與E交于A,B兩點(diǎn),Q(m,0)(|m| ＜a),連接AQ并延長交E于點(diǎn)C, 連接BQ并延長交E于點(diǎn)D, 則直線CD過定點(diǎn)

證明如圖1 所示, 設(shè)A(x1,y1),B(-x1,-y1),C(x3,y3),D(x4,y4).因?yàn)锳,Q,C三點(diǎn)共線, 所以即

圖1

又因?yàn)锳,C在橢圓E上,則所以由①可知:

將①②聯(lián)立得:

同理,

所以直線CD的方程為:則

所以直線CD的方程為即直線CD過定點(diǎn)

注通過上述研究可知: 在例1 中通過計(jì)算得出第(1)問中a= 2,在第(2)問中m=1,則直線DE過定點(diǎn)

三、結(jié)論拓寬

上述結(jié)論中,不難發(fā)現(xiàn)直線AB過原點(diǎn),且直線AQ與BQ均過定點(diǎn)Q,那么直線AB所過的點(diǎn)對(duì)直線CD的定點(diǎn)是否存在著影響? 筆者通過探究發(fā)現(xiàn)若直線AB過長軸上任意一點(diǎn)P(x0,0),直線CD同樣過定點(diǎn).

結(jié)論2已知橢圓直線l過點(diǎn)P(x0,0)(|x0| ＜a)與E交于A,B兩點(diǎn),Q(m,0)(|m| ＜a且m≠x0),連接AQ并延長交E于點(diǎn)C,連接BQ并延長交E于點(diǎn)D,則直線CD過定點(diǎn)

證明如圖2所示,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),設(shè)直線l的方程為:x=ty+x0,由結(jié)論1 的可知:

圖2

則直線CD的方程為:即將x3,y3,x4,y4代入化簡可得:

因?yàn)锳,B,P三點(diǎn)共線, 所以即(x1y2-x2y1)=x0(y2-y1),代入③得:

則直線CD的方程為:

即直線CD過定點(diǎn)

結(jié)論3已知橢圓直線l過點(diǎn)P(x0,0)(|x0| ＜a)與E交于A,B兩點(diǎn),Q(m,0)(|m| ＜a且m≠x0),連接AQ并延長交E于點(diǎn)C,連接BQ并延長交E于點(diǎn)D, 設(shè)直線AB的斜率為k1, 直線CD的斜率為k2,則

證明由結(jié)論2 的證明可知:

同理可知:

因?yàn)锳,B,P三點(diǎn)共線,所以即(x1y2-x2y1)=x0(y2-y1),代入④得:

四、結(jié)論類比

筆者經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)上述的“蝴蝶圖形”背景在拋物線中也有類似的結(jié)論.

結(jié)論4已知拋物線E:y2= 2px(p ＞0),直線l過點(diǎn)P(x0,0)(x0＞0)與E交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q(m,0)(m ＞0且m≠x0)是x軸上任意一點(diǎn), 連接AQ并延長交E于點(diǎn)C, 連接BQ并延長交E于點(diǎn)D, 則直線CD過定點(diǎn)

證明如圖3 所示, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),設(shè)直線l:x=ty+x0,將直線l與拋物線E聯(lián)立解得:y2-2pty-2px0=0,則

圖3

結(jié)論5已知拋物線E:y2= 2px,直線l過點(diǎn)P(x0,0)與E交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q(m,0)(m ＞0 且m≠x0)是x軸上任意一點(diǎn),連接AQ并延長交E于點(diǎn)C,連接BQ并延長交E于點(diǎn)D,設(shè)直線AB的斜率為k1,設(shè)直線CD的斜率為k2,則

證明如圖3 所示, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直線l的方程為:x=ty+x0,因?yàn)锳,B在拋物線E上= 2px1,= 2px2,所以由⑤的第2 式可知:由結(jié)論4 的證明可知:

結(jié)論6已知拋物線E:y2= 2px,直線l過點(diǎn)P(x0,0)與E交于A,B兩點(diǎn), 點(diǎn)Q(m,0)(m ＞0 且m≠x0)是x軸上任意一點(diǎn), 連接AQ并延長交E于點(diǎn)C, 連接BQ并延長交E于點(diǎn)D,則直線AD與直線BC的交點(diǎn)在定直線x=-m上.

證明如圖4 所示, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 由結(jié)論4 的證明可知:則直線AD的方程為:y - y1=因?yàn)樗詣t直線AD的方程為:即

圖4

同理可得: 直線BC的方程為:

聯(lián)立⑥⑦可得:x=-m,即兩直線的交點(diǎn)在定直線上.

注根據(jù)上述結(jié)論,圖4 中直線AD與直線BC交點(diǎn)在定直線x=-m上,如果將點(diǎn)Q逼近點(diǎn)P(即x0→m),那么點(diǎn)D和點(diǎn)C分別逼近于點(diǎn)A和點(diǎn)B,即點(diǎn)A與點(diǎn)B處的切線交點(diǎn)一定也在定直線x=-x0上.

推論已知拋物線E:y2=2px,直線l過點(diǎn)P(x0,0)與E交于A,B兩點(diǎn),直線l1與直線l2分別為拋物線E在A,B處的切線,那么直線l1與直線l2的交點(diǎn)在定直線x=-x0上.

證明如圖5 所示,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)文獻(xiàn)[3]的性質(zhì)1 可知: 點(diǎn)A出的切線l1方程為:y1y=p(x+x1),即同理可得切線l2方程為:

圖5

聯(lián)立⑧⑨可得:由⑤可知:x=-x0,即直線l1與直線l2的交點(diǎn)在定直線x=-x0上.

上述的若干結(jié)論在雙曲線中有類似的結(jié)果, 限于篇幅,筆者不在贅述,有興趣的讀者不妨嘗試一下.

五、結(jié)論應(yīng)用

以“蝴蝶圖形”為載體的定點(diǎn)定值問題在各地的模擬題中均有呈現(xiàn),究其根本在于筆者探究所得一系列結(jié)果,下面筆者羅列兩道“蝴蝶圖形”為載體的定點(diǎn)定值問題供有興趣的讀者進(jìn)行練習(xí).

例2(武漢市2021 屆質(zhì)檢第21 題)設(shè)拋物線E:y2=2px(p ＞0)的焦點(diǎn)為點(diǎn)F,過點(diǎn)F作直線l交拋物線E于A,B兩點(diǎn),當(dāng)l與x軸垂直時(shí),ΔAOB的面積為8,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線l的斜率存在且為k1,點(diǎn)P(3.0),直線AP與拋物線E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線BP與拋物線E的另一個(gè)交點(diǎn)為D,設(shè)CD直線的斜率為k2,證明:為定值.

例3(泰安市與濟(jì)南章丘區(qū)2021 屆聯(lián)合模擬考試第22題)已知F是拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn),直線l:y=2x+1與C交于A,B兩點(diǎn),且|AF|+|BF|=20.

(1)求C的方程;

(2)若直線m:y=2x+t(t≠1)與C交于M,N兩點(diǎn),且AM與BN相交于點(diǎn)T,證明:T點(diǎn)在定直線上.

六、結(jié)語

圓錐曲線的定值定點(diǎn)問題往往具有共性與特性,文中對(duì)橢圓的相關(guān)問題一般化后得出的結(jié)果使得問題探究更有深度,將橢圓的結(jié)果類比至其他曲線是問題探究的廣度,只有有效的將問題研究的廣度與深度相結(jié)合,才能了解問題命制的背景,對(duì)問題進(jìn)行溯源,甚至在溯源后在原有問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行問題的編制.如文中的三個(gè)例題都是將筆者所探究的結(jié)論進(jìn)行賦值后特殊化的結(jié)果,因此只有了解問題的背景和對(duì)問題進(jìn)行溯源,才能達(dá)到以點(diǎn)帶面的復(fù)習(xí)效果,以一題通一類題的目的,跳出題海,跳出機(jī)械刷題,跳出題型套路的困頓中.