兩道CRUX不等式問題的證明與再思考

濱州學(xué)院理學(xué)院(256600) 劉金強(qiáng) 尹櫪

山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)(256603) 宋志敏

2020年, G.Apostolopoulo 在加拿大數(shù)學(xué)雜志CRUX MATH.中提出了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題4597, 其內(nèi)容表述如下:

問題4597 設(shè)a,b,c ＞0 且a+b+c=1,證明:

本文首先給出了證明,然后在證明的基礎(chǔ)上得到了一些比較有意義的推廣形式.

證明因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),所以

2(ab+bc+ac)=(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=1-(a2+b2+c2).

另一方面因?yàn)閍2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+ac+bc, 又因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,所以3(a2+b2+c2)≥1,即a2+b2+c2≥-1,故如此可得:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,原命題得證.

根據(jù)上述的證明方法很容易能夠證明下面的幾個(gè)命題,這兒為了簡便只證明命題1,其它命題從略.

命題1當(dāng)a,b,c ＞0 且a+b+c=1 時(shí),則

證明問題轉(zhuǎn)化為-3,由柯西不等式知若則結(jié)論顯然成立,事實(shí)上,利用柯西不等式有:

又因?yàn)閍2+b2+c2≥ab+bc+ac, 在此不等式兩端同乘2,再加上a2+b2+c2,得: (a+b+c)2≤3(a2+b2+c2),因?yàn)?(a2+b2+c2)2≤(a3+b3+c3)×3(a2+b2+c2),所以a3+b3+c3≥由柯西不等式知:故命題1 得證.

命題2當(dāng)a,b,c,d ＞0 且a+b+c+d= 1 時(shí),則有2(a2+b2+c2+d2)+≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)成立.

命題3當(dāng)a,b,c ＞0 且a+b+c= 1 時(shí),對(duì)?k ∈N+有:a2+b2+c2+

命題4當(dāng)a1,a2,··· ,an ＞0 且a1+a2+···+an=1,對(duì)?k ∈N+有:

在同一期中,M.Bataille 也提出了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題4541,其內(nèi)容表述如下:

問題4541正實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc= 1.設(shè)Sk=ak+bk+ck,求證:

本文首先給出了三種證明方法,并在最后給出了問題的幾個(gè)推廣.

證法1將S2=a2+b2+c2,S4=a4+b4+c4代入可得:

將abc=1 代入上式得:

再利用基本不等式有:

不難發(fā)現(xiàn)(S3-1)2-(1+S3)=S3(S3-3)≥0, 在S3∈[3,+∞)上恒成立,故(S3-1)2≥1+S3,不等式左右兩端同時(shí)開方可得即問題得證.

證法2令f(x)=ax+bx+cx,現(xiàn)對(duì)其求二階導(dǎo):

可發(fā)現(xiàn)其二階導(dǎo)恒大于零,故可判斷f(x)為凹函數(shù),利用凹函數(shù)的基本性質(zhì)有:其余的步驟同證法一.

證法3利用基本不等式可得:下證:即證:(a2+b2+c2)(a4+b4+c4)≥(a3+b3+c3)2, 利用柯西不等式容易知道上式是顯然成立的,故其余的步驟同證法一,這里不再贅述.

由上述證明方法能夠很容易證明下面的幾個(gè)命題,為了簡便起見,這兒僅僅證明命題1 與命題3.

命題1正實(shí)數(shù)a1,a2,··· ,an滿足a1a2···an= 1,設(shè)則數(shù)列{φ(k)}單調(diào)遞減.

證明由柯西不等式可得:

所以,即故數(shù)列{φ(k)}單調(diào)遞減.

命題2正實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc=1.設(shè)Sk=ak+bk+ck,則成立.

命題3正實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足abcd= 1.設(shè)Sk=ak+bk+ck+dk,則成立.

證明由基本不等式和柯西不等式可得:

由基本不等式可知:Sn≥4,故(Sn-2)2≥Sn恒成立,所以

命題4正實(shí)數(shù)a1,a2,··· ,an滿足a1a2···an= 1.設(shè)則成立,其中p,q同為奇數(shù)或同為偶數(shù).

命題5正實(shí)數(shù)a1,a2,··· ,an滿足a1a2···an= 1.設(shè)則成立,其中p,q同為奇數(shù)或同為偶數(shù).