平面分割問題的探究之旅

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006);廣州大學(xué)計(jì)算科技研究院(510006);廣州市第二中學(xué)(510530) 程漢波

n條直線最多可將平面分割為多少個(gè)部分? 這個(gè)問題首先被瑞士幾何學(xué)家斯坦納提出并解決.很多著作在談及“推理與證明”中“合情推理”與“演繹推理”應(yīng)用時(shí)將其作為案例介紹,如波利亞的名著《數(shù)學(xué)與猜想: 數(shù)學(xué)中的歸納和類比》[1].大學(xué)組合數(shù)學(xué)教材在講利用遞推關(guān)系解決計(jì)數(shù)問題時(shí)也經(jīng)常將其作為例題剖析,如曹汝成的《組合數(shù)學(xué)》(第二版)[2].人教版高中數(shù)學(xué)教材選修2-2 的教師用書在“自我檢測(cè)題”部分也將其作為教學(xué)的補(bǔ)充資源供教師選用,而且,教材選修2-2 的復(fù)習(xí)參考題中有一道變式的習(xí)題:n個(gè)圓最多將平面分割為多少個(gè)部分? 當(dāng)然,書中為突出合情推理中歸納推理的探究發(fā)現(xiàn)作用和演繹推理中數(shù)學(xué)歸納法的驗(yàn)證作用,以及整體難度的考慮,編寫者將其設(shè)計(jì)成了問題串的形式引導(dǎo)師生探究.由此可見,這類分割問題備受青睞.

除了直線與圓分割平面問題,若考慮折(曲)線,則會(huì)出現(xiàn)更多更為豐富的平面分割問題.譬如,n條“X 形折線”(由兩條相交直線組成)最多可將平面分為多少個(gè)部分呢? 如圖1(a)(b),1 條“X 形折線”可將平面分為4 個(gè)部分,2 條“X 形折線”最多將平面分為11 個(gè)部分, …….不難發(fā)現(xiàn),每條“X形折線”相當(dāng)于兩條相交直線”,于是n條“X 形折線”相當(dāng)于2n條直線,若引用文[1]、[2]中的結(jié)果:n條直線最多可將平面分為個(gè)部分,則可知n條“X 形折線”最多可將平面分為a2n=2n2+n+1 個(gè)部分.

圖1(a)

圖1(b)

類似地,n條“V 形折線”(由有公共端點(diǎn)的兩條射線組成)最多可將平面分為多少個(gè)部分呢?n條“W 形折線”(由兩條線段與兩條射線連接組成)最多可將平面分為多少個(gè)部分呢?n條“N 形折線”(由一條線段與兩條射線(不一定平行)連接組成)最多可將平面分為多少個(gè)部分呢?n條“O 形曲線”(由一條封閉曲線組成)最多可將平面分為多少個(gè)部分呢? 不難發(fā)現(xiàn),若以上問題得以解答,則n條“L 形折線”、“U形曲線”、“M 形折線”、“Z 形折線”、“S 形曲線”、“D 形曲線”最多可將平面分為多少個(gè)部分的問題也分別隨之解決.本文給出這幾類折線分割平面問題的探究思路與解答過程,讀者可類似地探究更為豐富有趣的折(曲)線分割平面問題.

1.“V 形折線”平面分割問題

如圖2(a)(b)所示, 1 條“V 形折線”將平面分為2 個(gè)部分;2 條“V 形折線”最多將平面分為7 個(gè)部分,即增加了5 個(gè)部分.具體而言,要使分割平面所得部分?jǐn)?shù)保持最多,新添加的這條“V 形折線”的兩邊應(yīng)與原來那條“V 形折線”的兩邊都相交,這就新交出了2×2=4 個(gè)新交點(diǎn),這4 個(gè)點(diǎn)把新添加的這條“V 形折線”分為5 段,每一段將它穿過的那個(gè)區(qū)域(由原“V 形折線”分成的)一分為二,因此分割平面所得部分?jǐn)?shù)增加了5 個(gè)部分.

圖2(a)

圖2(b)

一般地,假設(shè)n-1 條“V 形折線”最多將平面分為bn-1個(gè)部分,則n條“V 形折線”最多將平面分為bn個(gè)部分,即增加了bn-bn-1個(gè)部分.具體而言,要使分割平面所得部分?jǐn)?shù)保持最多,新添加的第n條“V 形折線”的兩邊應(yīng)與原來n-1條“V 形折線”的兩邊都相交,而且交點(diǎn)與原交點(diǎn)均不相同,這就新交出了4(n-1)個(gè)交點(diǎn),這4(n-1)個(gè)點(diǎn)把新添加的這條“V 形折線”分為4n-3 段,每一段又將它穿過的那個(gè)區(qū)域(由前n-1 條“V 形折線”分成的)一分為二,因此分割平面所得部分?jǐn)?shù)增加了4n-3 個(gè).所以,bn-bn-1=4n-3.注意到b1=2,利用疊加法不難求得,bn=2n2-n+1.

當(dāng)然地,以上思路也可以進(jìn)行簡(jiǎn)化如下: 新添加第n條“V 形折線”進(jìn)來后,新增加了4n-3 個(gè)區(qū)域,等于新增加的交點(diǎn)數(shù)4(n-1)與這條“V 形折線”條數(shù)1 的數(shù)值之和.因此,要計(jì)算n條“V 形折線”最多將平面分為多少個(gè)部分,只需在1 個(gè)部分(0 條“V 形折線”分平面所得部分?jǐn)?shù))的基礎(chǔ)上加上總的“V 形折線”條數(shù)與交點(diǎn)數(shù)之和,而每?jī)蓷l“V 形折線”均有4 個(gè)交點(diǎn),故總交點(diǎn)數(shù)為所以,n條“V 形折線”最多可將平面分為bn= 1+n+4C2n= 2n2-n+1 個(gè)部分.

其實(shí),也可將“V 形折線”分平面問題轉(zhuǎn)化為直線分平面問題.如圖3,將1 條“V 形折線”在頂點(diǎn)處反向延長(zhǎng),會(huì)得到兩條相交直線,分割平面所得部分?jǐn)?shù)由2 增加至4.類似地,將n條“V 形折線”全部在頂點(diǎn)處反向延長(zhǎng),則可得到2n條相交直線,分割平面所得部分?jǐn)?shù)會(huì)增加n個(gè),所以,n條“V 形折線”最多分割平面所得部分?jǐn)?shù)等于2n條直線最多分割平面所得部分?jǐn)?shù)a2n再減去2n,即bn=a2n-2n=2n2-n+1,可謂殊途同歸.

圖3

2.“W 形折線”平面分割問題

如圖4(a)(b)所示,1 條“W 形折線”將平面分為2 個(gè)部分;2 條“W 形折線”最多將平面分為19 個(gè)部分,即增加了17個(gè)部分.具體而言,要使分割平面所得部分?jǐn)?shù)保持最多,新添加的這條“W 形折線”的四邊應(yīng)與原來那條“W 形折線”的四邊都相交,這就新交出了16 個(gè)新交點(diǎn),這16 個(gè)點(diǎn)把新添加的這條“W 形折線”分為17 段,每一段將它穿過的那個(gè)區(qū)域(由原“W 形折線”分成的)一分為二,因此分割平面所得部分?jǐn)?shù)增加了17 個(gè)部分.

圖4(a)

圖4(b)

一般地,假設(shè)n-1 條“W 形折線”最多將平面分為cn-1個(gè)部分,則n條“W 形折線”最多將平面分為cn個(gè)部分,即增加了cn -cn-1個(gè)部分.具體而言,要使分割平面所得部分?jǐn)?shù)保持最多,新添加的第n條“W 形折線”的四邊應(yīng)與原來n-1 條“W 形折線”的四邊都相交, 而且交點(diǎn)與原交點(diǎn)均不相同,這就新交出了16(n-1)個(gè)交點(diǎn),這16(n-1)個(gè)點(diǎn)把新添加的這條“W 形折線”分為16n-15 段,每一段又將它穿過的那個(gè)區(qū)域(由前n-1 條“W 形折線”分成的)一分為二,因此分割平面所得部分?jǐn)?shù)增加了16n-15 個(gè),所以,cn-cn-1=16n-15.注意到c1=2,利用疊加法不難求得,cn=8n2-7n+1.

當(dāng)然地,以上思路也可以進(jìn)行簡(jiǎn)化如下: 新添加第n條“W 形折線”進(jìn)來后,新增加了16n-15 個(gè)區(qū)域,等于新增加的交點(diǎn)數(shù)16(n-1)與這條“W 形折線”條數(shù)1 的數(shù)值之和,因此,要計(jì)算條“W 形折線”最多將平面分為多少個(gè)部分,只需在1 個(gè)部分(0 條“W 形折線”分平面所得部分?jǐn)?shù))的基礎(chǔ)上加上總的“W 形折線”條數(shù)與交點(diǎn)數(shù)之和,而每?jī)蓷l“W 形折線”均有16 個(gè)交點(diǎn),故總交點(diǎn)數(shù)為,所以,n條“W 形折線”最多可將平面分為cn=1+n+=8n2-7n+1個(gè)部分.

其實(shí), 也可將“W 形折線”分平面問題轉(zhuǎn)化為“V 形折線”分平面問題.將圖5(a)中“W 形折線”在每個(gè)頂點(diǎn)處反向延長(zhǎng), 會(huì)得到圖5(b), 可將其看作圖5(c)中兩條“V 形折線”(分別用實(shí)線和虛線畫出),分割平面所得部分?jǐn)?shù)由2 增加至7.類似地,將n條“W 形折線”全部在每個(gè)頂點(diǎn)處反向延長(zhǎng),則可得到2n條“V 形折線”,分割平面所得部分?jǐn)?shù)會(huì)增加5n個(gè),所以,n條“W 形折線”最多分割平面所得部分?jǐn)?shù)等于2n條“V 形折線”最多分割平面所得部分?jǐn)?shù)bn減去5n,即cn=bn-5n=8n2-7n+1,也可謂殊途同歸.

圖5(a)

圖5(b)

圖5(c)

3.“N 形折線”平面分割問題

如圖6(a)(b)所示, 1 條“N 形折線”將平面分為2 個(gè)部分;2 條“N 形折線”最多將平面分為12 個(gè)部分,即增加了10個(gè)部分.具體而言,要使分割平面所得部分?jǐn)?shù)保持最多,新添加的這條“N 形折線”的三邊應(yīng)與原來那條“N 形折線”的三邊都相交,這就新交出了9 個(gè)交點(diǎn),這9 個(gè)點(diǎn)把新添加的這條“N 形折線”分為10 段,每一段將它穿過的那個(gè)區(qū)域(由原“N 形折線”分成的)一分為二,因此分割平面所得部分?jǐn)?shù)增加了10 個(gè)部分.

圖6(a)

圖6(b)

一般地,假設(shè)n-1 條“N 形折線”最多將平面分為dn-1個(gè)部分,則n條“N 形折線”最多將平面分為dn個(gè)部分,即增加了dn -dn-1個(gè)部分.具體而言,要使分割平面所得部分?jǐn)?shù)保持最多,新添加的第n條“N 形折線”的三邊應(yīng)與原來n-1 條“N 形折線”的三邊都相交,而且交點(diǎn)與原交點(diǎn)均不相同,這就交出了9(n-1)個(gè)交點(diǎn),這9(n-1)個(gè)點(diǎn)把新添加的這條“N 形折線”分為9n-8 段,每一段又將它穿過的那個(gè)區(qū)域(由前n-1 條“N 形折線”分成的)一分為二,因此分割平面所得部分?jǐn)?shù)增加了9n-8 個(gè),所以,dn-dn-1=9n-8.注意到d1=2,利用疊加法不難求得,

當(dāng)然地,以上思路也可以進(jìn)行簡(jiǎn)化如下: 新添加第n條“N 形折線”進(jìn)來后,新增加了9n-8 個(gè)區(qū)域,等于新增加的交點(diǎn)數(shù)9(n-1)與這條“N 形折線”條數(shù)1 的數(shù)值之和,因此,要計(jì)算n條“N 形折線”最多將平面分為多少個(gè)部分,只需在1 個(gè)部分(0 條“N 形折線”分平面所得部分?jǐn)?shù))的基礎(chǔ)上加上總的“N 形折線”條數(shù)與交點(diǎn)數(shù)之和,而每?jī)蓷l“N 形折線”均有9 個(gè)交點(diǎn),故總交點(diǎn)數(shù)為9C2n,所以,n條“N 形折線”最多可將平面分為個(gè)部分.

其實(shí),也可將“N 形折線”分平面問題轉(zhuǎn)化為直線分平面問題.將圖7(a)中“N 形折線”在每個(gè)頂點(diǎn)處反向延長(zhǎng),會(huì)得到圖7(b)三條直線,分割平面所得部分?jǐn)?shù)由2 增加至7.類似地,將n條“N 形折線”全部在頂點(diǎn)處反向延長(zhǎng),則可得到3n條直線,分割平面所得部分?jǐn)?shù)會(huì)增加5n個(gè),因此,n條“N 形折線”最多分割平面所得部分?jǐn)?shù)等于3n條直線最多分割平面所得部分?jǐn)?shù)an減去5n,即也可謂殊途同歸.

圖7(a)

圖7(b)

4.“O 型曲線”平面分割問題

如圖8(a)(b)所示, 1 條“O 型曲線”將平面分為2 個(gè)部分;2 條“O 型曲線”最多將平面分為4 個(gè)部分,即增加了2 個(gè)部分.具體而言,要使分割平面所得部分?jǐn)?shù)保持最多,新添加的這條“O 型曲線”應(yīng)與原來那條“O 型曲線”相交,這就新交出了2 個(gè)交點(diǎn),這2 個(gè)點(diǎn)把新添加的這條“O 型曲線”分為2段,每一段將它穿過的那個(gè)區(qū)域(由原“O 型曲線”分成的)一分為二,因此分割平面所得部分?jǐn)?shù)增加了2 個(gè)部分.

圖8(a)

圖8(b)

一般地,假設(shè)n-1 條“O 型曲線”最多將平面分為fn-1個(gè)部分,則n條“O 型曲線”最多將平面分為fn個(gè)部分,即增加了fn -fn-1個(gè)部分.具體而言,要使分割平面所得部分?jǐn)?shù)保持最多,新添加的第n條“O 型曲線”應(yīng)與原來n-1 條“O 型曲線”都相交,而且交點(diǎn)與原交點(diǎn)均不相同,這就交出了2(n-1)個(gè)新點(diǎn),這2(n-1)個(gè)點(diǎn)把新添加的這條“O 型曲線”分為2(n-1)段,每一段又將它穿過的那個(gè)區(qū)域(由前條“O 型曲線”分成的)一分為二,因此分割平面所得部分?jǐn)?shù)增加了2(n-1)個(gè)部分,所以,fn-fn-1= 2(n-1).注意到f1=2,利用疊加法不難求得,fn=n2-n+2.

當(dāng)然地,以上思路也可以進(jìn)行簡(jiǎn)化如下: 新添加第n條“O 型曲線”進(jìn)來后,新增加了2(n-1)個(gè)區(qū)域,等于新增加的交點(diǎn)數(shù)2(n-1),因此,要計(jì)算n條“O 型曲線”最多將平面分為多少個(gè)部分,只需在2 個(gè)部分(1 條“O 型曲線”分平面所得部分?jǐn)?shù))的基礎(chǔ)上加上總的“O 型曲線”交點(diǎn)數(shù)之和,而每?jī)蓷l“O 型曲線”均有2 個(gè)交點(diǎn),故總交點(diǎn)數(shù)為,所以,n條“O 型曲線”最多可將平面分為fn=1+=n2-n+2個(gè)部分.

其實(shí),若聯(lián)系拓?fù)鋵W(xué)中著名的歐拉定理:V -E+F=2,V,E,F分別表示幾何圖形中的頂點(diǎn)數(shù), 線條數(shù)和區(qū)域數(shù),則該問題也可以解決得很巧妙.因?yàn)橐狗指钇矫嫠貌糠謹(jǐn)?shù)保持最多, 則每?jī)蓚€(gè)圓之間都應(yīng)有兩個(gè)交點(diǎn), 因此n條“O 型曲線”共有=n(n-1)個(gè)交點(diǎn), 即圖形的頂點(diǎn)數(shù)V=n(n-1); 又由于每條“O 型曲線”被分成2(n-1)段,故n條“O 型曲線”共被分成2n(n-1)段,即圖形的線條數(shù)E= 2n(n-1).若設(shè)n條“O 型曲線”可將平面分為F個(gè)部分,由歐拉公式知,V+F -E= 2,所以,F=E-V+2=2n(n-1)-n(n-1)+2=n2-n+2,即n條“O 型曲線”最多可將平面分為n2-n+2 個(gè)部分,也可謂殊途同歸.

綜上觀之, 平面分割問題靈活豐富有趣, 特殊化、一般化、類比和化歸等數(shù)學(xué)思想方法在整個(gè)探究過程中熠熠生輝.正如波利亞把一般化、特殊化和類比并列地稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”.英國(guó)著名數(shù)學(xué)家梅森在集中研究了數(shù)學(xué)中的特殊化和一般化方法及其在解題中的作用后也認(rèn)為: 特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心, 同時(shí)也是怎樣解題的關(guān)鍵.匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得對(duì)數(shù)學(xué)家典型的思維和推理過程評(píng)論道: 數(shù)學(xué)家們往往不是對(duì)問題進(jìn)行正面的攻擊,而是不斷地將它變形,直到把它轉(zhuǎn)變成已經(jīng)能夠解決的問題.