Logistic-Sine映射與比特重組的圖像加密算法

唐傳華，巫朝霞

（新疆財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830011）

0 引 言

數(shù)字圖像是生物統(tǒng)計學(xué)、醫(yī)學(xué)、軍事、在線個人相冊等領(lǐng)域最重要的信息載體之一。如一張自拍，可以描述人們的外貌，也可以反映其大致的年齡和健康狀況。因此，如何保證圖像信息具有安全的輸入輸出環(huán)境是一個很大的挑戰(zhàn)。在各種圖像安全技術(shù)中，最常用且有效的措施是圖像加密技術(shù)。

混沌系統(tǒng)用于密碼學(xué)是非常合理的，并且廣泛應(yīng)用在圖像加密領(lǐng)域。庹朝永等提出一種新的彩色圖像加密算法，該算法首先通過二維Logistic混沌映射產(chǎn)生偽隨機序列進行像素置亂，然后聯(lián)合比特異或與隨機重組將各像素值轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的二進制，最后對每個24位像素值進行RGB 3種顏色重新組合得到新的加密圖像，然而該算法計算強度與空間需求偏高；廖春成等利用明文像素值來計算混沌系統(tǒng)的參數(shù)和預(yù)迭代次數(shù)，有效提高了明文敏感性。該算法通過Kent混沌系統(tǒng)迭代產(chǎn)生混沌序列實現(xiàn)全局置亂，然后進行比特級置亂得到加密圖像。Yueping Li等提出了一種基于高維混沌的圖像加密算法，該算法通過5維多翼超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的密鑰流與原始圖像有關(guān)，然后分別運用像素級置亂和比特級置亂來混淆圖像像素位置，最后使用擴散操作來改變像素值；伍朝陽等提出一種結(jié)合像素置亂與比特置亂的超混沌Chen系統(tǒng)，對圖像進行加密的算法；胡春杰等提出了一種新的二維離散型混沌映射，并利用改進的Logistic映射，對圖像進行置亂操作，然后進行異或運算和比特位的交叉換位得到最終密文圖像。

本文設(shè)計了一種基于Logistic-Sine混沌映射與比特重組的圖像加密方法，首先利用Logistic-Sine混沌映射對明文圖像進行全局置亂，然后通過比特重組操作將經(jīng)過全局置亂的圖像轉(zhuǎn)化為中間密文圖像，最后經(jīng)過水平方向擴散的比特異或得到最終的加密圖像。最后的仿真實驗分析說明：該算法可以抵御各種類型的攻擊，有較高的安全性和穩(wěn)定性來保護圖像。

1 Logistic-Sine映射與比特重組

1.1 Logistic-Sine映射

傳統(tǒng)的一維Logistic和Sine映射雖然被廣泛應(yīng)用在圖像加密中，但依然存在很大的局限性。如：其僅在相應(yīng)的參數(shù)范圍內(nèi)處于混沌狀態(tài)，但依然存在一些參數(shù)并不處于混沌狀態(tài)。因此，本文設(shè)計了一種由Logistic和Sine映射延伸推導(dǎo)得出的Logistic-Sine混沌映射，其表達式如式（1）：

其中，模函數(shù)（）表示取模，返回余數(shù)。

經(jīng)過模運算后，循環(huán)迭代可以得到一個取值在0～1之間的混沌序列。雖然，模運算會加大運算量和加密時間，但是通過增加模運算，使得Logistic-Sine映射的參數(shù)的范圍不僅僅局限于（0，4］之間，并且擴大了系統(tǒng)的混沌區(qū)域，同時加密系統(tǒng)的密鑰空間也會相應(yīng)擴大，可以更好的抵抗窮舉攻擊。

圖1（a）～1（b）分別是Logistic-Sine映射的分岔圖和Lyapunov指數(shù)變化圖。從圖中可以看出，Logistic-Sine映射在整個參數(shù)范圍內(nèi)都處于混沌狀態(tài)，且分布均勻。由此說明本文設(shè)計的Logistic-Sine映射，混沌性能比較優(yōu)越，用于圖像加密過程是可行的。

圖1 Logistic-Sine相關(guān)圖Fig.1 Logistic-Sine correlation diagram

1.2 比特重組

現(xiàn)有的混沌系統(tǒng)圖像加密思路可以從兩方向入手：一是在像素的基礎(chǔ)上對圖像進行加密，將像素作為最小的元素加以研究，而數(shù)字圖像就是所有像素的集合；二是在比特級的層次上對圖像進行加密，將每個十進制像素值轉(zhuǎn)換為二進制值，同時劃分為若干個比特平面，并繼續(xù)在這些比特平面上進行比特級操作。例如，256級灰度圖像中的每個像素值可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的8位二進制數(shù)來表示，這時可以將一幅256級的灰度圖像劃分為8個比特平面，第（1，2，…，8）個比特平面就是所有像素的第個比特值的集合，而且比特平面位級越高，其中包含的原始圖像的有用信息就會越多。

基于比特的圖像加密算法是近些年才被提出來的，其可以在比特級層次上同時改變像素位置及其像素值。本文就是在比特級的層次上對圖像進行加密，將Logistic-Sine混沌映射和比特重組相結(jié)合，該算法在安全性、穩(wěn)定性等方面表現(xiàn)出了優(yōu)越的特性。

2 加密算法過程

圖像加密算法分為置亂、比特重組和擴散3個階段。第一階段的置亂過程是利用Logistic-Sine映射迭代，產(chǎn)生混沌偽隨機序列，進行全局置亂。第二階段的比特重組過程，是將全局置亂后的十進制矩陣經(jīng)過比特重組操作，得到中間密文圖像。第三階段的擴散過程是將中間密文圖像經(jīng)過水平方向擴散的比特異或操作，得到最終的密文圖像。 本文加密算法流程如圖2所示。

圖2 圖像加密算法流程圖Fig.2 Flowchart of image encryption algorithm

2.1 置亂

置亂過程的具體實現(xiàn)步驟如下：

（1）選取一幅大小為的明文圖像，利用式（2）和式（3）計算像素矩陣中所有像素值的總和sum和平均像素值，然后利用式（4）、（5）分別計算出Logistic-Sine混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)和初始迭代的次數(shù)。

其中，是與明文密切相關(guān)的量，可以有效抵抗選擇對明文的攻擊。

（2）將輸入的初始密鑰（，）帶入到式（1）。

其中，是隨機輸入的控制參數(shù)。預(yù)迭代次后去掉前個迭代值，可以消除暫態(tài)效應(yīng)的影響。

（3）全局置亂將分別進行行置亂和列置亂。

圖3 行置亂示意圖Fig.3 Schematic diagram of row scrambling

2.2 比特重組

將經(jīng)過置亂階段得到的十進制矩陣進行比特重組操作，得到中間密文圖像矩陣。具體步驟如下：

（1）利用Logistic-Sine混沌系統(tǒng)繼續(xù)迭代次，生成一個長度的混沌序列｛，，，…，q｝。

（2）將十進制矩陣依據(jù)行優(yōu)先原則轉(zhuǎn)化為一維混沌序列｛，，，…，r｝，同時將其像素值r轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的二進制數(shù)。如，取出的像素值r＝145，則對應(yīng)的二進制數(shù)為10010 001。

（3）通過比較序列中相鄰像素的大小，對序列的像素值r進行比特重組。操作過程如下：

圖4 比特重組示意圖Fig.4 Schematic diagram of bit reassembly

2.3 擴散

在本文的圖像加密算法中，使用水平方向的擴散。將中間密文圖像作為輸入端，從圖像的第一個像素開始，依次逐行向前移動。在此過程中，依據(jù)行優(yōu)先的原則，保留第一行第一個像素不變，對第一、二個像素進行比特異或得到新的第二個像素，將其與第三個像素進行比特異或得到新的第三個像素，以此類推，直到最后一行的倒數(shù)第二個像素與最后一個像素進行比特異或結(jié)束。經(jīng)過水平方向的擴散操作，可以得到最終的密文圖像。 具體算法如下：

以上是圖像加密的算法過程。而解密算法其實就是加密算法的逆過程，在此不再贅述。

3 實驗結(jié)果與分析

在本文的實驗過程中，選取256×256的Lena灰度圖，在Win10操作系統(tǒng)下，以MATLAB R2017a為軟件工具模擬仿真實驗過程。設(shè)定Logistic-Sine混沌系統(tǒng)的初始密鑰（，）（0.234，0.128）。對Lena圖進行加密和解密后的圖像如圖5所示。

圖5 加解密效果Fig.5 Encryption and decryption effect

由圖中可見，該算法加密效果較好，既可以很好的隱藏原文信息，又可以很好地恢復(fù)原文圖像。一個好的加密算法應(yīng)該能夠抵抗各種攻擊，因此對該算法進行了密鑰空間分析、統(tǒng)計分析和密鑰敏感性分析等，驗證了該算法的安全性和穩(wěn)定性。

3.1 密鑰空間分析

密鑰空間是指在加解密過程中需要用到的密鑰總數(shù)，密鑰空間的大小影響著加密算法能否有效抵抗窮舉攻擊。本文算法采用Logistic-Sine混沌系統(tǒng)的2個參數(shù)（，）作為初始密鑰，計算機系統(tǒng)可以處理64位數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)設(shè)為雙精度浮點類型，則密鑰空間為2。一個理想的加密算法需要有足夠大的密鑰空間來抵御窮舉攻擊，其值不應(yīng)該小于2。顯然，本文加密算法具有足夠大的密鑰空間。

3.2 統(tǒng)計分析

良好的圖像加密算法應(yīng)該對任何形式的統(tǒng)計攻擊都具有穩(wěn)定性，因此可通過直方圖、相鄰像素間相關(guān)性和信息熵來分析加密算法的抗統(tǒng)計攻擊能力。

3.2.1 直方圖

圖像直方圖通過繪制圖像的像素值來說明圖像中的像素分布。理想的加密算法應(yīng)該擁有均勻分布的密文直方圖，因為其需要隱藏明文的有用信息。本文加密算法生成的明文圖像及密文圖像的直方圖分布如圖6所示。密文圖像的每個像素值近乎相等，呈現(xiàn)均勻分布，因此沒有給攻擊者提供任何使用統(tǒng)計攻擊的有用信息，使其很難通過統(tǒng)計分析的方法來破解原始明文圖像。

圖6 明文與密文圖像直方圖Fig.6 Histogram of plaintext and ciphertext images

3.2.2 相鄰像素間相關(guān)性

良好的加密算法應(yīng)使密文圖像相鄰像素的相關(guān)系數(shù)足夠低，用來抵御統(tǒng)計攻擊。為了分析明文圖像和密文圖像中相鄰像素的相關(guān)性，分別選取水平、垂直和對角方向上的相鄰像素加以分析，相關(guān)性分布如圖7所示。明文圖像中相鄰像素的分布比較集中，說明明文圖像相鄰像素相關(guān)性較高；密文圖像中相鄰像素比較離散，說明密文圖像相鄰像素相關(guān)性較低。相鄰像素相關(guān)性計算公式如下：

其中，、是圖像中兩個相鄰像素的灰度值，為圖像中選擇的像素總數(shù)。

通過選取加密算法較好的3種算法與本文算法進行對比（對比結(jié)果見表1）發(fā)現(xiàn)：本文提出的算法在水平、垂直、對角3個方向的相關(guān)系數(shù)都接近于0，可以很好的消除相鄰像素相關(guān)性；信息熵值更接近理想值8；值均超過0996、值均超過0334，能夠有效抵抗差分攻擊等攻擊手段。因此，該加密算法可以很好的應(yīng)用到圖像加密過程中。

表1 本文算法與文獻［3，7，8］結(jié)果對比Tab.1 Comparison of the results of the algorithm in this paper and the literature［3，7，8］

從表1中可以看出，密文圖像相鄰像素的相關(guān)性較低，說明本文所提出的加密算法可以很好的抵抗統(tǒng)計攻擊。

3.2.3 信息熵分析

信息熵是一種無序的、不可預(yù)測的不確定性度量。為了計算信息源的信息熵（），則有：

式中：（s）為信號s的概率；是信號源的總數(shù)。

對于一個具有256個灰度級的加密圖像，理想的信息熵應(yīng)為（）8。經(jīng)過計算得到的密文圖像的信息熵值見表1，可以看出密文圖像的熵非常接近理論值8，說明本文加密算法可以很好地抵御信息熵攻擊。

圖7 加密圖像相關(guān)性Fig.7 Encrypted image correlation

3.3 敏感性分析

加密算法應(yīng)能滿足密鑰的敏感性，這樣才能在一定程度上保證加密系統(tǒng)可以有效抵抗差分攻擊。

3.3.1 明文敏感性分析

良好的加密系統(tǒng)，應(yīng)該確保對明文圖像的任何微小改變都會導(dǎo)致加密圖像的顯著差異，即明文敏感性。 通過計算（像素數(shù)變化率）和（歸一平均變化強度）來衡量明文敏感性。

其中，、分別為圖像的行和列；、分別表示密文圖像和明文圖像發(fā)生微小變化后的密文圖像；函數(shù)用來比較兩個數(shù)值是否相同。

當(dāng)（，）（，）時（（，），（，））0，否則（（，），（，））1。越接近理想值09961，說明密文對明文的敏感性越好，而越接近理想值03446，說明加密算法抵抗差分攻擊的能力越強。

3.3.2 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性是指當(dāng)密鑰發(fā)生微小變化時，得到的密文圖像也會引起很大變化。

以圖5（b）的加密圖像為例，圖8給出了密鑰微小變化時的仿真實驗結(jié)果。其中，圖8（a）和圖8（b）分別是密鑰?。?，）（023410，0128）和（，）（0234，012810）的密文圖像。 由此可見，即使密鑰發(fā)生微小變化，也會生成完全不同的加密圖像，證明該加密算法的密鑰，即使存在微小的差異也不能正確解密圖像。

圖8 密鑰敏感性分析Fig.8 Key Sensitivity Analysis

4 結(jié)束語

本文設(shè)計了一種Logistic和Sine映射的非線性組合Logistic-Sine混沌映射，通過Logistic-Sine映射的分岔圖、Lyapunov指數(shù)變化圖對其混沌性能進行了分析。結(jié)果表明，該算法具有良好的動態(tài)特性，適合應(yīng)用于圖像加密中。此外，比特重組方法也提高了加密效率。將Logistic-Sine映射與比特重組相結(jié)合，設(shè)計的圖像加密方案，通過一系列安全性分析，表明該算法是安全可靠的圖像加密算法。

目前，本文僅對標(biāo)準(zhǔn)256×256的Lena灰度圖像進行了仿真實驗和相關(guān)安全性分析，后續(xù)工作考慮進一步將加密方案推廣到對彩色圖像的研究上，同時考慮本文加解密算法能否進一步優(yōu)化，以期獲得更好的加密性能。