基于改進(jìn)3D-Hénon 混沌映射的音頻加密算法研究

妥永強(qiáng)， 巫朝霞

（新疆財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院， 烏魯木齊 830012）

0 引 言

21 世紀(jì)以來，信息成為日趨重要的生產(chǎn)要素?；ヂ?lián)網(wǎng)具有無窮的信息獲取與簡(jiǎn)易的信息交換機(jī)能，網(wǎng)絡(luò)的全球化也使得信息的索取、傳遞與交換更加便捷。 如今，網(wǎng)絡(luò)化信息已滲透于社會(huì)生活的方方面面，在經(jīng)濟(jì)、政治、藝術(shù)和科學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。于此同時(shí)，人們對(duì)信息隱私安全也提出了更高的要求，信息隱私安全受到了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。 傳統(tǒng)的加密技術(shù)只適用于文本加密，不適用于數(shù)據(jù)量大、冗余度高的音頻加密，所以尋求高質(zhì)量的音頻加密技術(shù)具有重大的研究意義。

近年來，由于混沌系統(tǒng)表現(xiàn)出優(yōu)良的初值敏感性、遍歷性以及不確定性，國內(nèi)外許多學(xué)者將其廣泛運(yùn)用于圖像加密以及音頻加密領(lǐng)域。 如：文獻(xiàn)［2］中將Arnold 映射擴(kuò)展至維空間后得到高維混沌映射，從而構(gòu)建了混沌查找表，使用密碼區(qū)塊鏈模式將其應(yīng)用于音頻加密。 但該算法實(shí)現(xiàn)難度較高，具有一定的局限性。 文獻(xiàn)［3］利用Logistic 混沌映射構(gòu)建映射關(guān)系進(jìn)行音頻的置亂加密。 該算法雖然降低了復(fù)雜性，但秘鑰空間較小，抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊性能較差，易被破解。 針對(duì)上述問題，文獻(xiàn)［4］中設(shè)計(jì)了基于多渦卷混沌系統(tǒng)的音頻加密算法。 該算法的初始秘鑰同時(shí)取決于音頻的Hash 值和外部密鑰，在增加秘鑰空間的同時(shí)，有效提高了選擇明文攻擊與統(tǒng)計(jì)攻擊的難度。 文獻(xiàn)［5］利用隨機(jī)矩陣對(duì)音頻信號(hào)進(jìn)行擴(kuò)充后，通過Logistic 混沌映射，分別在時(shí)域、小波域、時(shí)域?qū)σ纛l進(jìn)行加密。 文獻(xiàn)［6］利用細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌與Logistic 混沌映射構(gòu)造出多級(jí)秘鑰后，通過Logistic 混沌映射對(duì)音頻進(jìn)行加密。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，提出了一種將改進(jìn)的3D-Hénon 混沌映射與離散化超混沌系統(tǒng)相結(jié)合的多混沌音頻加密算法，并給出了仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及安全性能分析。

1 混沌系統(tǒng)

超混沌Chen 系統(tǒng)

4 維超混沌Chen 系統(tǒng)，其定義如式（1）：

其中，10；83；38；是一個(gè)01 之間的參數(shù)。

本文選取0.02，此時(shí)系統(tǒng)的4 個(gè)Lyapunov指數(shù)分別為：0.969，0.042，-12.67，0。 其中有兩個(gè)正指數(shù)，說明該系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng)。 使用四階Runge-Kutta 算法對(duì)式（1）離散化（時(shí)間間隔0.02），得到超混沌Chen 系統(tǒng)部分相圖如圖1 所示。

圖1 超混沌Chen 系統(tǒng)吸引子相位圖Fig. 1 Attractor phase diagram of hyperchaotic Chen system

改進(jìn)的3D-Hénon 映射混沌系統(tǒng)

1976 年，法蘭西數(shù)學(xué)家Hénon 受Pomeau 關(guān)于洛倫茲系統(tǒng)數(shù)值結(jié)果的啟發(fā)，通過對(duì)（，） 平面自身的3 個(gè)映射鏈來模擬，并調(diào)節(jié)參數(shù)得出的二維映射，作為一種簡(jiǎn)單的高維混沌映射，具有優(yōu)良的非線性動(dòng)力學(xué)特征，其定義如式（2）：

其中，、為二維Hénon 混沌映射的控制參數(shù)。

圖2 為參數(shù)03，初始值為015，0.25時(shí)的Hénon 混沌映射混沌軌道圖及分岔圖。 通過分岔圖可得出：當(dāng)參數(shù)106122 或127129 或131142 范圍內(nèi)時(shí)，其處于混沌狀態(tài)，系統(tǒng)有正的最大Lyapunov 指數(shù)。

圖2 Hénon 映射的序列軌道圖與分岔圖（a ＝1.4）Fig. 2 Sequence track and bifurcation diagrams of Hénon mapping

通過對(duì)式（2）進(jìn)行調(diào)整及改進(jìn)，添加變量及控制參數(shù)、， 得到改進(jìn)的3D-Hénon 映射。 其定義如式（3）：

其中，、、、為3D-Hénon 映射的控制參數(shù)（03，01，2）。 圖3 為初始值為02，01，0.3 時(shí)改進(jìn)的3D-Hénon 混沌映射混沌軌道及三維分岔圖。同樣，當(dāng)參數(shù)106122或127129 或131142 范圍內(nèi)時(shí)，處于混沌狀態(tài)，系統(tǒng)有正的最大Lyapunov 指數(shù)。

圖3 改進(jìn)3D-Hénon 映射的序列軌道圖與三維分岔圖Fig. 3 Improved 3D Hénon map sequence orbit diagram and 3D bifurcation diagram

Lyapunov 指數(shù)是利用數(shù)值方法描述非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種重要方法，是衡量非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在其相空間中沿某方向運(yùn)動(dòng)過程中各軌道之間相互靠近與遠(yuǎn)離的一種指數(shù)級(jí)度量，提供了混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的定性和定量特征。 當(dāng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為離散映射系統(tǒng)時(shí)，若最大Lyapunov 指數(shù)為正時(shí)，其具有混沌行為。 圖4 為改進(jìn)的3D-Hénon映射在控制參數(shù)、變化時(shí)，01，2，初始值02，01，0.3 時(shí)的Lyapunov 指數(shù)圖。

圖4 改進(jìn)3D-Hénon 映射當(dāng)參數(shù)變化的Lyapunov 指數(shù)圖Fig. 4 Lyapunov exponent plot for improved 3D-Hénon mapping when parametersa andb vary

由圖4 可以看出， 當(dāng)參數(shù)106122 或127129 或1311.42 范圍內(nèi)時(shí)，其最大Lyapunov 指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。 當(dāng)參數(shù)14，026503 時(shí)，最大Lyapunov 指數(shù)恒為正，其對(duì)參數(shù)具有魯棒性，該混沌系統(tǒng)適合產(chǎn)生用于音頻加密的隨機(jī)數(shù)。

2 加密算法設(shè)計(jì)

2.1 音頻預(yù)處理

取時(shí)長秒的音頻進(jìn)行采樣率為（Hz） 的采樣后得到（） （1，2，…，），作為明文音頻的音頻數(shù)據(jù)。 對(duì)音頻信號(hào)進(jìn)行分塊處理步長為，超出部分用0 填充，則原始音頻信號(hào)被分為或1塊。 設(shè)（），（1，2，…，） 為原始音頻信號(hào)分塊中的一塊， 分離左右聲道a（） 與a（）。 將音頻信號(hào)振幅放大后，進(jìn)行坐標(biāo)系偏移， 取整得到增強(qiáng)后的信號(hào)序列α（），α（）。

2.2 密鑰的選取與生成

（1）用戶任意選取3 個(gè)0～1 之間的數(shù)值作為初始密鑰0(，，) ；

（2）將初始密鑰0 作為初始值輸入改進(jìn)的3D-Hénon 映射，預(yù)迭代系統(tǒng)次，以消除其暫態(tài)效應(yīng)，增強(qiáng)系統(tǒng)初值敏感性。 繼續(xù)迭代次生成隨機(jī)序列：mod（）為取余函數(shù)；為足夠大的正整數(shù)。

2.3 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器

表1 為偽隨機(jī)序列的NIST sp800_22 隨機(jī)性測(cè)試結(jié)果。 可以看出，待測(cè)試序列的_值均大于0.01全部通過測(cè)試。 可以認(rèn)為文中序列是隨機(jī)序列，適合作為后續(xù)加密過程的加密密碼。

表1 NIST sp800_22 隨機(jī)性測(cè)試結(jié)果Tab. 1 Randomness test results of NIST SP800 22

2.4 循環(huán)排序置亂算法

將序列F（1，2） 中的每個(gè)序列對(duì)3、7 取余，分別提取余數(shù)為0 的序列和剩余序列，按照“先升序后降序”的規(guī)則進(jìn)行排序，得到6 條索引序列In，（1，…，6）。 將6 個(gè)索引序列進(jìn)行分組，定義如下規(guī)則，得到新索引序列：index＝［εβδ］。

（，） 表示行列的全1 矩陣。

分別對(duì)序列α（）、α（） 進(jìn)行置亂。 置亂時(shí)每個(gè)元素依次循環(huán)索引序列的初始位置、1／3 位置、2／3 位置處置亂。 置亂規(guī)則，是將（） 元素與(index()) （1，2，…，） 元素調(diào)換位置。 分別對(duì)所有序列置亂后，得到置亂音頻序列α（）、α（）。

2.5 擴(kuò)散算法

對(duì)置亂后的序列進(jìn)行向前擴(kuò)散與向后擴(kuò)散。 擴(kuò)散規(guī)則如下：

4)警報(bào)聲：當(dāng)本系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控的時(shí)候，如果視頻中出現(xiàn)火點(diǎn)，該系統(tǒng)會(huì)向正在監(jiān)控的工作人員發(fā)出報(bào)警聲，畢竟人的精力是有限的，有時(shí)難免會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，但該系統(tǒng)就很好地彌補(bǔ)了這一點(diǎn)，使森林出現(xiàn)火災(zāi)的時(shí)候能夠第一時(shí)間讓工作人員了解這一信息，迅速地將火勢(shì)控制住。

通過式（7）對(duì)置亂音頻擴(kuò)散得到加密音頻序列C、C，合并后得到加密后的音頻。 音頻加密流程如圖5 所示：

圖5 音頻加密流程圖Fig. 5 Flow chart of Audio encryption

3 實(shí)驗(yàn)仿真與性能分析

3.1 實(shí)驗(yàn)仿真

實(shí)驗(yàn)仿真采用雙聲道音頻“Audio1.wav”，分別截取其中一塊進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。 實(shí)驗(yàn)參數(shù)分別設(shè)置為：2，30 000，8 000，0（0141 592 6，0653 589），1（0969 015，0409 086， 0622 289，0640 965）。

圖6（a）～6（c）分別為原始音頻波形圖、加密音頻波形圖、解密音頻波形圖。 可以看出，加密后的音頻波形圖呈現(xiàn)無規(guī)則雜亂狀，已與原始音頻無任何關(guān)聯(lián)，經(jīng)解密后的音頻波形圖與原始音頻波形圖完全相同。

圖6 音頻加密仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig. 6 Audio encryption simulation results

3.2 密鑰敏感性與密鑰空間分析

相對(duì)于原始秘鑰，一個(gè)細(xì)微差別的密鑰，其解密后的差別也非常大。 測(cè)試中， 在原始秘鑰中選取0 中一個(gè)值增加10，即0（0141 592 610，0653 589） 對(duì)加密音頻進(jìn)行解密。 解密后的音頻時(shí)域波形圖雜亂無章，得到完全錯(cuò)誤的解密音頻，無法識(shí)別出原始音頻的信息，如圖7 所示。 對(duì)于一個(gè)安全的加密算法，其密鑰空間大小至少超過2才算是安全有效的加密算法。 本文加密算法中共有2 組7 個(gè)秘鑰，密鑰空間為 (10)22，密鑰空間足夠抵御窮舉攻擊。

圖7 錯(cuò)誤秘鑰解密音頻時(shí)域波形圖Fig. 7 Wrong key decryption audio time domain waveform

3.3 抗統(tǒng)計(jì)攻擊性能分析

3.3.1 語譜圖分析

音頻的語譜圖將整個(gè)音頻范圍用不同的顏色記錄，這些顏色表示特定時(shí)間、特定頻率與能量之間的關(guān)系。 圖8（a）、（b）分別顯示了原始音頻與加密音頻的語譜圖。 表2 為原始音頻與加密音頻能量分布描述統(tǒng)計(jì)，原始音頻能量均值為-102.488 4 dB／Hz，其標(biāo)準(zhǔn)差較大，變異度為81.25%，分布離散，原始音頻信號(hào)語譜圖中能量分布不均勻，其包含較多信息量。 而加密音頻能量的均值為-50.764 5 dB／Hz，標(biāo)準(zhǔn)差不大，變異度為11.24%，表明加密音頻能量均勻分布在-50.764 5 dB／Hz 附近，幾乎不包含原始音頻信息，音頻整體平均能量分布也被拉高，接近噪聲，可以抵御基于音頻語譜圖的統(tǒng)計(jì)攻擊。

3.3.2 信息熵分析

一條信息所包含信息量的大小取決于信息的不確定程度，而其不確定程度與復(fù)雜度由信息熵來量化。 信息熵?cái)?shù)學(xué)定義為：

信息熵越大，則信息的不確定程度與復(fù)雜度越大。 加密后的音頻數(shù)據(jù)信息熵越接近8，加密效果越好，音頻越接近于噪聲，攻擊者獲取的信息越少。

圖8 原始音頻聲與加密音頻聲譜圖Fig. 8 Original audio encrypted audio spectrogram

表2 音頻能量分布描述統(tǒng)計(jì)表（dB／Hz）Tab. 2 Description of audio magnitude distribution

表3 信息熵對(duì)比表Tab. 3 Comparison table of information entropy

加密音頻數(shù)據(jù)整體在區(qū)間內(nèi)概率分布越均勻，加密音頻的抗統(tǒng)計(jì)攻擊性能越優(yōu)。 直方圖橫軸為分布區(qū)間，縱軸為對(duì)應(yīng)的頻數(shù)或頻率。 圖9 分別為原始音頻與加密音頻頻數(shù)分布直方圖。

圖9 原始音頻與加密音頻直方圖Fig. 9 Histograms of raw and encrypted aud

由圖9 中可以直觀的看出，原始音頻的頻數(shù)分布近似正態(tài)分布，而加密音頻的頻數(shù)分布均勻，很好的隱藏了原始音頻的統(tǒng)計(jì)特性，攻擊者不易通過分析密文直方圖獲得信息，從而能夠抵抗基于直方圖的統(tǒng)計(jì)攻擊。

3.3.3 相關(guān)性分析

加密音頻相鄰采樣數(shù)據(jù)之間相關(guān)系數(shù)越小，說明數(shù)據(jù)的混亂與復(fù)雜程度越大，因而加密安全性更高。 音頻相鄰幅值間相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式如下：

其中存儲(chǔ)向量［］ 和［］ 表示第對(duì)相鄰音頻信號(hào)值，為總對(duì)數(shù)。 隨機(jī)選取10 000 對(duì)相鄰音頻數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)度。 圖10 為明文音頻與加密音頻相鄰幅值散點(diǎn)圖，圖中可以看出明文音頻左右聲道相鄰音頻信號(hào)值之間呈現(xiàn)出明顯相關(guān)關(guān)系，而加密音頻相鄰音頻信號(hào)值之間無相關(guān)關(guān)系，表4 為相鄰音頻信號(hào)相關(guān)性對(duì)比表，表中明文音頻左右聲道相鄰信號(hào)值相關(guān)性為正相關(guān)關(guān)系數(shù)值分別為0.994 3 與0.997 2，而加密音頻左右聲道相鄰信號(hào)值相關(guān)系數(shù)分別為0.000 7 與-0.000 3 接近于0 表明其無相關(guān)關(guān)系，通過與其他文獻(xiàn)對(duì)比文中加密算法加密后的音頻混亂與復(fù)雜程度大，攻擊者不易通過分析相關(guān)性操作得到明文音頻信息. 表明加密算法能夠很好的抵御基于相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)攻擊。

圖10 明文音頻與加密音頻相鄰幅值散點(diǎn)圖Fig. 10 Adjacent amplitude scatter plot of plain-text audio and encrypted audio

表4 相鄰音頻信號(hào)相關(guān)性對(duì)比表Tab. 4 Correlation comparison table of adjacent audio signals

3.3.4 峰值信噪比分析（）

峰值信噪比為音頻信號(hào)最大功率與噪聲音頻信號(hào)功率的比值。 峰值信噪比常用作確定信號(hào)壓縮質(zhì)量，數(shù)值越大，信號(hào)壓縮質(zhì)量越高，越接近原始音頻。若加密音頻與明文音頻峰值信噪比越低，則加密音頻與原始音頻差異越大，加密后的音頻越接近噪聲。峰值信噪比通過均方誤差（） 來定義，均方誤差反映了兩組信號(hào)之間的差異程度。 均方誤差與峰值信噪比的計(jì)算如下：

其中，（） 為原始音頻序列，（） 為加密音頻序列。

表5 中列出了隨機(jī)選取的5 段加密音頻測(cè)試結(jié)果。 可以看出，加密后的音頻在不同長度下左右聲道的峰值信噪比都較低，加密音頻與原始音頻差別較大，加密后的音頻很好的隱藏了原始音頻的信息，表明該加密算法能夠很好的抵御基于峰值信噪比的統(tǒng)計(jì)攻擊。

表5 加密音頻PSNR 測(cè)試結(jié)果表Tab. 5 Test results of encrypted audioPSNR

3.4 魯棒性分析

3.4.1 抵抗差分攻擊性能分析

攻擊者通過對(duì)原始音頻進(jìn)行細(xì)微差別的改變，分析加密音頻之間映射出的差異情況，這種類型的攻擊稱為差分攻擊。

在數(shù)據(jù)加密中對(duì)差分攻擊的抵抗性能一般通過樣本數(shù)變化率（） 和統(tǒng)一平均變化強(qiáng)度（） 進(jìn)行分析。

是對(duì)加密算法質(zhì)量的魯棒性檢驗(yàn)，測(cè)試目的是原始音頻和對(duì)應(yīng)加密音頻間不同樣本數(shù)量在樣本總數(shù)中所占比例的比較。 計(jì)算公式如式（12）：

其中，（） 為未改變?cè)家纛l的加密音頻序列；（） 為隨機(jī)改變一個(gè)原始音頻采樣數(shù)據(jù)的加密音頻序列；（） 為符號(hào)函數(shù)。

是記錄原始音頻與加密音頻相應(yīng)位置差值與最大差值間比值的平均值，計(jì)算公式如式（13）：

當(dāng)音頻信號(hào)為8 bit 時(shí)，加密算法抗差分攻擊的和的最優(yōu)值分別為100和33333。

表6 為隨機(jī)測(cè)試30 000段加密音頻的和平均值對(duì)比。 通過與其它文獻(xiàn)對(duì)比分析表明：本文音頻加密算法得到的與更加接近理想值，加密算法的抵抗差分攻擊性能較強(qiáng)。

表6 隨機(jī)測(cè)試NSCR 和UACI 平均值對(duì)比Tab. 6 Comparison of average values ofNSCR andUACI in random tests %

3.4.2 抗噪聲性能分析

當(dāng)攻擊者進(jìn)行主動(dòng)攻擊時(shí)，對(duì)密文加入噪聲，解密信息質(zhì)量會(huì)大幅度下降。 加密算法的抗噪聲性能越好，在密文受到噪聲攻擊時(shí)，解密后還原出原始音頻的信息越多。 在密文傳輸中，當(dāng)攻擊者對(duì)密文進(jìn)行剪切攻擊時(shí)，魯棒性較差的算法在受到攻擊后，密文解密后明文的關(guān)鍵信息會(huì)丟失，導(dǎo)致信息無法成功傳輸。 優(yōu)秀的算法在受到剪切攻擊，密文解密后可解析的信息應(yīng)盡可能多，而能夠保留明文的關(guān)鍵信息。 圖11 為加入5%的椒鹽噪聲解密后的音頻時(shí)域波形圖。

圖11 加入5%椒鹽噪聲的解密音頻時(shí)域波形圖Fig. 11 Decoded audio time domain waveform with 5% salt and pepper noise

由圖中可以看出，在加入5%椒鹽噪聲的情況下，解密后的音頻時(shí)域波形質(zhì)量較高，可以輕松被人耳所識(shí)別，解密后的音頻依然能夠恢復(fù)大部分信息。計(jì)算加入椒鹽噪聲后，解密音頻與明文音頻的峰值信噪比可以以數(shù)值形式量化音頻加密算法的抗噪聲性能，計(jì)算得到左右聲道的均方誤差分別為：7.911 0E-04、6.595 3E-04。 解密音頻左右聲道峰值信噪比分別為：25.944 0、25.246 8。 計(jì)算得到的均方誤差較低，解密后音頻質(zhì)量較高，加密算法具有良好的抗噪聲性能。

4 結(jié)束語

本文通過對(duì)二維Hénon 混沌映射進(jìn)行升維與改進(jìn)得到改進(jìn)的3D-Hénon 混沌映射，并將其與離散化的超混沌Chen 系統(tǒng)相結(jié)合，生成的偽隨機(jī)序列用于音頻加密。 預(yù)處理過程將原始音頻信號(hào)進(jìn)行分塊處理提升了運(yùn)行效率，利用生成的偽隨機(jī)序列進(jìn)行循環(huán)排序置亂以及向前向后擴(kuò)散完成加密。 其中秘鑰與明文音頻互相關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)了“一次一密”，降低了選擇明文攻擊的可能性。 通過仿真與分析結(jié)果表明，提出的音頻加密算法具有較強(qiáng)的秘鑰敏感性和足夠大的秘鑰空間，加密后的音頻能量分布均勻，相鄰振幅間相關(guān)性較低，與明文音頻的峰值信噪比較低，加密算法具有良好的抗統(tǒng)計(jì)攻擊性以及魯棒性。