引學(xué)生追溯知識(shí)之源　助學(xué)生化解學(xué)習(xí)之困

周新改

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有許多公認(rèn)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，可以稱作是“經(jīng)典”難點(diǎn)。從大量的公開(kāi)課或常規(guī)課來(lái)看，執(zhí)教者要么淡化處理，要么“告知”學(xué)生。這樣做不僅窄化了教學(xué)空間、堵塞了學(xué)生思考的通道，而且會(huì)挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，不利于學(xué)生思維的發(fā)展，讓學(xué)生潛意識(shí)地認(rèn)為數(shù)學(xué)是無(wú)根無(wú)源的、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不講道理的、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是死記硬背的。本文就結(jié)合筆者個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐淺談自己引導(dǎo)學(xué)生追溯知識(shí)的本源，幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)的一些做法及體會(huì)。

一、對(duì)接生活，追根溯源

我們知道，二年級(jí)學(xué)生在《初步認(rèn)識(shí)角》一課的學(xué)習(xí)中很難理解“角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”的道理。不少老師借助這樣的演示幫助學(xué)生理解：把老師的三角尺教具和學(xué)生的三角尺學(xué)具中的大小相同的角重合，力圖讓學(xué)生看到“老師三角尺中的一個(gè)角和學(xué)生三角尺中的一個(gè)角完全重合，而老師三角尺中的這個(gè)角兩邊比學(xué)生三角尺中的那個(gè)角兩邊要長(zhǎng)，不就說(shuō)明角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)嗎？從課堂反饋來(lái)看，學(xué)生仍是滿臉茫然。殊不知，這樣的演示讓學(xué)生看到的是“面”的比較，更沒(méi)有看到“完全重合”，反而造成了學(xué)生對(duì)“角”與“面”的認(rèn)知混淆。

也有很多老師只引導(dǎo)學(xué)生利用“活動(dòng)角”直觀感受角的大小是與邊的張合有關(guān)，卻不引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。

學(xué)生面對(duì)畫在紙面上的“靜態(tài)角”，難以擺脫其邊的長(zhǎng)短以及表面上的大小所帶來(lái)的非本質(zhì)屬性的干擾，排除這個(gè)負(fù)面干擾，仍要回到“角”是怎樣抽象出來(lái)的源頭去。

請(qǐng)看我教學(xué)這部分的片段。

師（指三角板中的一個(gè)角）：誰(shuí)能把這個(gè)角畫在黑板上？

學(xué)生到黑板上利用三角板畫出老師指的角。

師：我也把這個(gè)角畫出來(lái)。

師仿照學(xué)生的畫法也畫出了這個(gè)角（但和學(xué)生所畫的角的邊長(zhǎng)度不同）。

問(wèn)學(xué)生：這兩個(gè)角，哪個(gè)大，哪個(gè)小？

因?yàn)槔蠋熀蛯W(xué)生畫的是三角板的同一個(gè)角，有了“畫同一個(gè)角”做載體，課堂上這樣的聲音多了：畫的是同一個(gè)角，所以這兩個(gè)角同樣大。不僅有結(jié)論，而且有道理。

我不急于說(shuō)出學(xué)生心目中想要的答案。

轉(zhuǎn)身在黑板上先寫了一個(gè)小一些的“3”，在它的旁邊又寫了一個(gè)大大的“3”。

問(wèn)學(xué)生：這兩個(gè)寫得大小不同的“3”，哪個(gè)“3”大一些？

生齊答：一樣大。

追問(wèn)：咦？明明一個(gè)“3”寫得那么大，另一個(gè)“3”寫得這么小，怎么能相等呢？

生：雖然寫得大小不同，但都表示3個(gè)一，所以相等。

順著學(xué)生的回答，我在兩個(gè)“3”之間寫上“=”。

至此，學(xué)生感受到“大”和“小”又有了不尋常的意義。

師：數(shù)的大小是指這個(gè)數(shù)所包含的個(gè)數(shù)的大小，與寫得大小無(wú)關(guān)，那角的大小又是指角哪里的大??？與角的哪兒無(wú)關(guān)？

學(xué)生紛紛發(fā)表自己的見(jiàn)解，還迫不及待地邊打手勢(shì)邊說(shuō)：角的大小是指角的兩邊張開(kāi)的大小，與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。

看來(lái)，學(xué)生對(duì)于“大”和“小”的認(rèn)識(shí)正在變得全面而深刻。

杜威說(shuō)：“教育就是經(jīng)驗(yàn)的改造和重組?！眱和纳罱?jīng)驗(yàn)和認(rèn)知缺陷經(jīng)常會(huì)干擾對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)屬性的理解。立足兒童的心理特點(diǎn)，基于數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，設(shè)計(jì)相應(yīng)的活動(dòng)，不僅對(duì)知識(shí)進(jìn)行抽象，還要對(duì)知識(shí)進(jìn)行還原，讓學(xué)生回到知識(shí)產(chǎn)生的源頭，經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，由直觀感知逐步走向數(shù)學(xué)抽象，不斷修正錯(cuò)誤的認(rèn)知，感悟數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

二、聯(lián)系對(duì)比，追根溯源

蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第30頁(yè)《因數(shù)與倍數(shù)》這一單元開(kāi)始有一處注釋：

*研究因數(shù)與倍數(shù)時(shí)，所說(shuō)的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)。

教師們都知道這是一個(gè)數(shù)學(xué)“規(guī)定”，卻不研究規(guī)定背后的道理，教學(xué)中只是補(bǔ)充告訴學(xué)生，而且“以書為證”。那么學(xué)生對(duì)于這樣“規(guī)定”的科學(xué)性與合理性就無(wú)從認(rèn)識(shí)和理解，讓學(xué)生潛意識(shí)里以為數(shù)學(xué)是不講理的，這不是數(shù)學(xué)應(yīng)有的面貌。

下面，我提供一個(gè)版本，大家可以討論，是否可以幫助學(xué)生理解這個(gè)規(guī)定？

學(xué)生在學(xué)習(xí)了“因數(shù)和倍數(shù)”的概念后。

師：同學(xué)們，你們自己能獨(dú)立寫出一道算式并說(shuō)出算式中的數(shù)具有怎樣的因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系嗎？

生交流，說(shuō)的也都是各部分是整數(shù)的乘法或除法算式。學(xué)生對(duì)于概念意義的表面模仿還是很強(qiáng)的。

師：看來(lái)，因數(shù)和倍數(shù)這兩個(gè)概念是建立在我們學(xué)習(xí)過(guò)的什么運(yùn)算的基礎(chǔ)上？

生：乘法或除法。

師：你能用一句話概括乘法算式中三個(gè)數(shù)之間具有怎樣的因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系嗎？

生：在乘法算式中，兩個(gè)乘數(shù)都是積的因數(shù)，積是這兩個(gè)乘數(shù)的倍數(shù)。

師：除法算式中呢？

生：在除法算式中，除數(shù)和商都是被除數(shù)的因數(shù)，被除數(shù)是商和除數(shù)的倍數(shù)。

師：我寫兩個(gè)算式，請(qǐng)你們來(lái)說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)算式中的各個(gè)數(shù)具有怎樣的因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系。

板書：2×5=10，10×0.2=2

對(duì)于第一個(gè)算式，學(xué)生都特別容易回答了;對(duì)于第二個(gè)算式，有受思維定勢(shì)干擾的學(xué)生立刻按照形式說(shuō)：10和0.2是2的因數(shù)，2是10和0.2的倍數(shù)。（說(shuō)完，自己也吐了吐舌頭）

馬上有學(xué)生反對(duì)：怎么一會(huì)兒10是2的倍數(shù)，一會(huì)兒2是10的倍數(shù)？

師故作驚訝：是呀！怎么會(huì)有這樣的數(shù)學(xué)呢？不是矛盾嗎？

學(xué)生們議論開(kāi)來(lái)，有的說(shuō)不可能，有的自言自語(yǔ)：怎么回事呢？也有看過(guò)書中注釋的同學(xué)恍然大悟：怪不得呢！

我請(qǐng)同學(xué)們發(fā)表自己的想法、看法。

生1：這樣不是亂套了嗎？

生2（舉著課本興奮地）：書中已經(jīng)規(guī)定了“研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，所說(shuō)的數(shù)一般是指不是0的自然數(shù)?！?/p>

生3：就好像“0不能作為除數(shù)”一樣，是為了不產(chǎn)生矛盾。

生4：我來(lái)補(bǔ)充，只能說(shuō)2是10的0.2倍，但不能說(shuō)2是10的倍數(shù)，因?yàn)樗€沒(méi)到10的1倍。

師：是呀！為了不產(chǎn)生矛盾，便于研究，所以才有了“研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，所說(shuō)的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)”的規(guī)定。

學(xué)生找到了這個(gè)“規(guī)定”的“源頭”，對(duì)概念的理解就會(huì)更加深刻。

其實(shí)，任何數(shù)學(xué)規(guī)定產(chǎn)生的背后都有一定的原因和道理、一定的合理性與必要性，作為教師，應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生去探索、理解、體會(huì)“規(guī)定”產(chǎn)生的過(guò)程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受到相關(guān)“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)道理，從而形成更加合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得更多有價(jià)值的感悟。

三、經(jīng)驗(yàn)倒轉(zhuǎn)，追根溯源

有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》最難突破的是學(xué)生對(duì)單位“1”意義的構(gòu)建。許多教師是在學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)性地、講述式地告訴學(xué)生：像圖中的一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位或由許多物體組成的一個(gè)整體，都可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常叫作單位“1”。繼而再讓學(xué)生舉例說(shuō)說(shuō)單位“1”還可以是什么。學(xué)生抽象單位“1”的思維過(guò)程被教師的一句話代替了，學(xué)生處于被動(dòng)接受知識(shí)的位置，單位“1”好像是從天而降的“怪物”！試想：這樣缺乏學(xué)生主動(dòng)思考的學(xué)習(xí)，還怎么會(huì)有經(jīng)歷？怎么會(huì)有體驗(yàn)？怎么形成經(jīng)驗(yàn)？

接下來(lái)就說(shuō)說(shuō)我是怎樣引導(dǎo)學(xué)生抽象出單位“1”的。

如下圖，要求學(xué)生自主完成例1中的填空，集體交流說(shuō)出每個(gè)分?jǐn)?shù)的意義。

我利用學(xué)生已有的分?jǐn)?shù)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生再回來(lái)逐一深入研究每一幅圖。

師：把一塊餅平均分成4份，其中一份用表示，其中的2份、3份、4份各怎樣表示？為什么？

生1：1份是，2份是，3份是，4份是，有幾份就是幾個(gè)。

生2：我覺(jué)得4份是，也就是1。

師：大家覺(jué)得呢？

學(xué)生進(jìn)行充分地交流討論得出：4份合起來(lái)不就是原來(lái)的一塊餅嗎？就可以用“1”來(lái)表示。

第一幅圖突破了，第二、三幅圖同理。并明確：1塊餅、1個(gè)長(zhǎng)方形、1個(gè)長(zhǎng)度單位都可以用“1”來(lái)表示。

最后一幅圖稍遇障礙。

師：這6個(gè)圓片該用哪個(gè)數(shù)來(lái)表示呢？

生1：用6來(lái)表示。

生2：（疑惑地）我感覺(jué)還應(yīng)該用1來(lái)表示吧？

真好！出現(xiàn)了不同的觀點(diǎn)。

師：還是大家一起討論，但要說(shuō)出用這個(gè)數(shù)來(lái)表示的道理。

不一會(huì)兒，意見(jiàn)就統(tǒng)一了，原來(lái)認(rèn)為用6來(lái)表示的同學(xué)說(shuō)：我忘記了這里的2個(gè)圓片是用來(lái)表示的了，3個(gè)合起來(lái)是? ?，也就是1。

師：看來(lái)1的意義真廣呀！不僅可以表示1個(gè)物體、1個(gè)長(zhǎng)方形、1個(gè)長(zhǎng)度單位，還可以表示——

生（齊答）：6個(gè)物體組成的一個(gè)整體。

師：聯(lián)想一年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)的1，這幾幅圖里的“1”又有什么不同？

生：一年級(jí)學(xué)習(xí)的1就代表一個(gè)物體，而這里的1還可以表示很多物體。

師：用1來(lái)表示很多物體時(shí)，是把很多個(gè)物體組成一個(gè)——

生（齊答）：一個(gè)整體。

師：你還能舉例說(shuō)說(shuō)用1來(lái)表示許多物體組成的一個(gè)整體的事情嗎？

學(xué)生紛紛舉例，有一堆蘋果、一堆沙、一條路、一個(gè)班的學(xué)生、一個(gè)學(xué)校的學(xué)生、一個(gè)城市的人口——都可以看作1。

單位“1”的意義呼之欲出。

師：此時(shí)的“1”非彼時(shí)的“1”，意義更廣泛，數(shù)學(xué)上叫單位“1”。

單位“1”的意義已經(jīng)在學(xué)生的思維里生長(zhǎng)出來(lái)，分?jǐn)?shù)意義的形成還有困難嗎？喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知分?jǐn)?shù)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生的思維倒轉(zhuǎn)到知識(shí)發(fā)生的“源頭”，深深體會(huì)到平均分是單位“1”，平均分后得到的分?jǐn)?shù)都是單位“1”的一部分?！?”不斷累加得到整數(shù)，“1”平均分后得到分?jǐn)?shù)，“1”是整數(shù)的根基，也是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的根基。有了這樣的理解和認(rèn)識(shí)，就能很好地為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)賦能。

學(xué)生學(xué)習(xí)任何知識(shí)都應(yīng)該是自然的、自覺(jué)的，面對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，要聯(lián)系所學(xué)知識(shí)的“前世今生”，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，思考我們的教學(xué)路徑，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從哪里來(lái)、到哪里去，梳理清晰明白。從學(xué)生的已知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生到未知的領(lǐng)域探索。