用“點差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)

摘要：“點差法”是平面解析幾何的一種重要解題方法，特別是在求圓錐曲線的中點弦所在直線的斜率時很簡潔且程序化，備受青睞.但本文中闡述了“用‘點差法解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)”的觀點，還指出了眾多文獻(xiàn)給出的“二次曲線中點弦所在直線的方程”的求法欠嚴(yán)謹(jǐn)，并給出了二次曲線的另一種分類方法及其結(jié)果.

關(guān)鍵詞：點差法;平面解析幾何;中點弦;斜率;切記嚴(yán)謹(jǐn);二次曲線的一種分類

1 引言

“點差法”是平面解析幾何的一種重要解題方法，特別是在求圓錐曲線的中點弦所在直線的斜率時很簡潔且程序化，備受青睞.但筆者欲闡述的觀點是：用“點差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)！

2 用“點差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)

題1 （山東省煙臺市2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷高二數(shù)學(xué)試題第14題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，過點M（-1，1）且斜率為12的直線交橢圓C于A，B兩點.若M是線段AB的中點，則橢圓C的方程是?? .

命題者給出的參考答案如下：

解：x22+y2=1.設(shè)兩點A（x1，y1），B（x2，

y2），可得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，把它們相減后可得

（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0.

b2（x1+x2）（x1-x2）=-a2（y1+y2）（y1-y2）?? ①

y1-y2x1-x2=-b2a2·x1+x2y1+y2? ②

再由題設(shè)“直線AB的斜率為12，M（-1，1）是線段AB的中點”，得12=-b2a2·2×（-1）2×1，即a2=2b2.

又由題設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點（1，0）重合，可得a2=b2+1，進(jìn)而可求得a2=2，b2=1，所以橢圓C的方程是x22+y2=1.

分析：由①到②必須先說明②中的兩個分母均不為0.若x1=x2或y1=-y2，則均可得該橢圓上的兩點A，B關(guān)于x軸對稱，這與“點M（-1，1）是線段AB的中點”矛盾！所以②成立.

另外，“點差法”是建立在兩點A，B均存在即直線AB與橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）相交的前提下，但過點M（-1，1）且斜率為12的直線即直線x-2y+3=0與求出的橢圓x22+y2=1是否相交，還要檢驗[1][2].事實上，經(jīng)檢驗知該直線與該橢圓不相交，所以滿足題設(shè)的橢圓C的方程是不存在的.

題2 （1992年全國高考理科卷第28題）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），A，B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x0，0）.

證明：-a2-b2a

解：設(shè)兩點A（x1，y1），B（x2，y2），同題1的“解”可得②成立，所以

線段AB的垂直平分線方程為

y-y1+y22=a2（y1+y2）b2（x1+x2）x-x1+x22 ?③

由線段AB的垂直平分線過點P（x0，0），可得

-y1+y22=a2（y1+y2）b2（x1+x2）x0-x1+x22? ④

x0=x1+x22·a2-b2a2???? ?⑤

又因為-a

分析：由“線段AB的垂直平分線與x軸相交”可得直線AB的斜率存在，所以②在這里成立（但在解題過程中應(yīng)交代清楚）.

當(dāng)且僅當(dāng)直線AB的斜率不為0即x1+x2≠0時③成立，從④推得⑤還要說明y1+y2≠0.當(dāng)然這可由⑤成立（但在解題過程中應(yīng)有所交代），此時以上解答正確.

當(dāng)直線AB的斜率為0即x1+x2=0時，由橢圓的對稱性及“線段AB的垂直平分線過點P（x0，0）”可得x0=0，此時欲證結(jié)論也成立.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

題3 [《普通高級中學(xué)教科書·必修·數(shù)學(xué)·第二冊（上）》（人民教育出版社，2006）第133頁第7題的反問題]設(shè)直線l與拋物線y2=2px相交于兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），若y1y2=-p2，求證：直線l過該拋物線的焦點.

證明：由題意得y21=2px1，y22=2px2，把它們相減后可得

（y1+y2）（y1-y2）=2p（x1-x2）? ???⑥

y1-y2x1-x2=2py1+y2??? ???⑦

得直線l的方程是y-y1=2py1+y2（x-x1），即

y=2py1+y2x-y21y1+y2+y1，

y=2py1+y2x+y1y2y1+y2，

y=2py1+y2x-p2y1+y2，

y=2py1+y2x-p2.

所以直線l過拋物線y2=2px的焦點p2，0.

分析：由⑥不一定能得到⑦.

當(dāng)⑦成立時，以上證明正確.當(dāng)⑦不成立即x1=x2或y1=-y2，以及x1=x2且y1=-y2（此時直線l的斜率不存在）時，由y1y2=-p2可得x1=x2=p2，也得直線l過拋物線y2=2px的焦點p2，0.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

總之，用“點差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)：

（1）把等積式變成比例式時（比如把①變成②，⑥變成⑦），要注意分母不為0（若分母的值為0，則中點弦所在直線的斜率不存在，須另行研究，比如題3）;

（2）除非題設(shè)中有“中點弦所在的直線與圓錐曲線交于不同的兩點”（比如題2與題3），否則要檢驗中點弦所在的直線與圓錐曲線確實交于不同的兩點（比如題1）;

（3）遇到中點弦的垂線問題時，中點弦所在直線的斜率為0的情形要單獨討論，因為此時中點弦的垂線的斜率不存在（比如題2）.

3 眾多文獻(xiàn)給出的“二次曲線中點弦所在直線的方程”欠嚴(yán)謹(jǐn)

定理1[3][4] 設(shè)f（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+

Dx+Ey+F（A2+B2+C2≠0），若P（x0，y0）是二次曲線f（x，y）=0的弦P1P2的中點，則直線P1P2的方程是

Ax0x+B·x0y+xy02+Cy0y+D·x0+x2

+E·y0+y2+F=f（x0，y0）⑧

證法1[3]：設(shè)點P1（X，Y），由P（x0，y0）是弦P1P2的中點，可得點P2（2x0-X，2y0-Y）.再由兩點P1，P2均在二次曲線f（x，y）=0上，可得

AX2+BXY+CY2+DX+EY+F=0，

A（2x0-X）2+B（2x0-X）（2y0-Y）+C（2y0-

Y）2+D（2x0-X）+E（2y0-Y）+F=0.

把它們相減后再除以4，可得

A（x0X-x0）2+Bx0Y+Xy02-x0y0+C（y0Y-y0）2+Dx0+X2-x0+Ey0+Y2-y0=0.Ax0X+B·x0Y+Xy02+Cy0Y+D·x0+X2+E·y0+Y2+F=f（x0，y0）.

由此可驗證兩點P1（X，Y），P2（2x0-X，2y0-

Y）均在直線⑧上，再由“兩點確定一直線”可得欲證結(jié)論成立.

證法2[4]：設(shè)兩點Pi（xi，yi）（i=1，2），由P（x0，

y0）是弦P1P2的中點，可得x1+x2=2x0，y1+y2=

2y0.再由兩點P1（x1，y1），P2（2x0-x1，2y0-y1）均在二次曲線f（x，y）=0上，可得

Ax21+Bx1y1+Cy21+Dx1+Ey1+F=0，

A（2x0-x1）2+B（2x0-x1）（2y0-y1）+C（2y0-y1）2+D（2x0-x1）+E（2y0-y1）+F=0.

把它們相減后，可得

（2Ax0+By0+D）（x1-x0）+（Bx0+2Cy0+E）·

（y1-y0）=0⑨

再由（x0-x1，y0-y1）是直線P1P2的一個方向向量，可得直線P1P2的一個法向量是（2Ax0+By0

+D，Bx0+2Cy0+E），進(jìn)而可求得直線P1P2的方程是（2Ax0+By0+D）（x-x0）+（Bx0+2Cy0+

E）（y-y0）=0即⑧.

推論1[3] 橢圓x2a2+y2b2=1以點（x0，y0）為中點的弦所在直線的方程是x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2.

推論2[3] 雙曲線x2a2-y2b2=1以點（x0，y0）為中點的弦所在直線的方程是x0xa2-y0yb2=x20a2-

y20b2.

推論3[3] 拋物線y2-2px=0以點（x0，

y0）為中點的弦所在直線的方程是y0y-

2p·x0+x2=y20-2px0;拋物線x2-2py=0的以點（x0，y0）為中點的弦所在直線的方程是x0x-

2p·y0+y2=x20-2py0.

分析：由題文[5]例7（1）及例8（1）的結(jié)論可知定理1[3][4]、推論1～3[3]均欠嚴(yán)謹(jǐn)，因而，它們相應(yīng)的證法1[3]、證法2[4]也均欠嚴(yán)謹(jǐn).下面再給予分析.

“定理1[3][4]”及其“證法1[3]”必須建立在“關(guān)于x，y的方程⑧確實表示直線”（即

2Ax0+By0+D=0，Bx0+2Cy0+E=0?????? B10

不成立）、“直線⑧與二次曲線f（x，y）=0確實是交于兩個不同的點P1，P2”（否則不能得出“兩點確定一直線”）這兩個前提下才是正確的，否則不正確.

“定理1[3][4]”及其“證法2[4]”必須建立在“直線P1P2的一個方向向量（x0-x1，y0-y1）不是0”[即Pi（xi，yi）（i=1，2）確實是兩個不同的點]、“直線P1P2的一個法向量（2Ax0+By0+D，Bx0+2Cy0

+E）不是0”（即B10不成立）及“關(guān)于x，y的方程⑧確實表示直線”（即⑨不成立）這三個前提下才是正確的，否則不正確.

由定理1[3][4]或推論1[3]可得：橢圓4x2+y2-1=0以坐標(biāo)原點為中點的弦所在直線l的方程是0x+0y=0[而該方程不表示直線.事實上，由文[5]例7（1）及（3）（i）的結(jié)論，可得直線l的方程是αx+βy=0（α，β是不同時是0的常數(shù)）].由定理1[3][4]或推論2[3]可得：雙曲線4x2-y2-1=0以坐標(biāo)原點為中點的弦所在直線l的方程是0x-0y=0[而該方程不表示直線.事實上，由文[5]例7（1）及（4）（i）的結(jié)論，可得直線l的方程是y=kx（-2

注：若“關(guān)于x，y的方程⑧確實表示直線”（即⑨不成立）、“直線⑧與二次曲線f（x，y）=0確實是相交于兩個不同的點”，則定理1[3][4]正確.

定理2[4] 若f（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+

Dx+Ey+F（A2+B2+C2≠0），則二次曲線f（x，y）=0在點P（x0，y0）處切線方程是

Ax0x+B·x0y+xy02+Cy0y+D·x0+x2+

E·y0+y2+F=0????? ?B11

證明[4]：當(dāng)二次曲線f（x，y）=0的弦P1P2的兩個端點Pi（xi，yi）（i=1，2）重合即三點P1，P，P2重合時，直線P1P2就是曲線f（x，y）=0在點P（x0，y0）處切線.再由f（x0，y0）=0及定理1[3][4]，可得欲證結(jié)論成立.

分析：因為定理2[4]的證明[4]是建立在定理1[3][4]的前提下的，而定理1[3][4]不嚴(yán)謹(jǐn)，所以定理2[4]及其證明[4]均不嚴(yán)謹(jǐn).

由定理2[4]可得：二次曲線y2=0在坐標(biāo)原點處的切線l的方程是0y=0[而該方程不表示直線.事實上，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知直線y=kx+b（k，b均是常數(shù)）在該直線上任意一點處的切線均是該直線本身，可得切線l的方程是y=0].由定理2[4]可得：二次曲線x2-y2=0在坐標(biāo)原點處的切線l的方程是0x-0y=0[而該方程不表示直線.筆者還不能斷定切線l的方程是什么.有兩種想法：（1）由二次曲線x2-y2=0以坐標(biāo)原點為中點的弦所在直線是y=x或y=-x及“當(dāng)中點弦兩個端點重合時的中點弦所在直線是切線”（參見定理2[4]的證明[4]），可認(rèn)為切線l的方程也是y=x或y=-x;（2）由曲線y=x在坐標(biāo)原點處的切線不存在及曲線x2-y2=0與曲線y=x的聯(lián)系，可認(rèn)為切線l不存在].

注：若“關(guān)于x，y的方程B10確實表示直線”（即B10不成立）、“直線B11與二次曲線f（x，y）=0確實相切”，則定理2[4]正確.

定理3[4] ?設(shè)f（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+

Ey+F（A2+B2+C2≠0），若從點P（x0，y0）能作二次曲線f（x，y）=0的兩條切線且切點均唯一，則由兩個切點確定的直線方程是

Axix0+B·xiy0+x0yi2+Cyiy0+D·xi+x02+

E·yi+y02+F=0（i=1，2）.

證明：設(shè)兩個切點分別是Pi（xi，yi）（i=1，2），由定理2[4]可得二次曲線f（x，y）=0在點Pi（i=1，2）處的切線方程是

Axix+B·xiy+xyi2+Cyiy+D·xi+x2+E·yi+y2+F=0（i=1，2）.

由點P（x0，y0）同時在這兩條切線上，可得

Axix0+B·xiy0+x0yi2+Cyiy0+D·xi+x02+E·yi+y02+F=0（i=1，2）.

所以兩點Pi（xi，yi）（i=1，2）均在直線B11上，再由“兩點確定一直線”可得欲證結(jié)論成立.

注：由定理1[3][4]及定理2[4]的“注”可知，定理3[4]及其證明均是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

4 二次曲線的另一種分類方法及其結(jié)果

設(shè)f（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+

F（A2+B2+C2≠0），記

H=A+C，Δ=B2-4AC，

K=D2+E2

-4AF-4CF，

Θ=2ABDB2CEDE2FB12

則二次曲線f（x，y）=0的分類結(jié)果（共九種）如表1所示[5]：

下面再給出其另一種分類方法及其結(jié)果.

參見定理1[3][4]證法2[4]的⑨式，可得二次曲線f（x，y）=0關(guān)于點（x0，y0）對稱的充要條件是f（x，y）=f（2x0-x，2y0-y）即（2Ax0+By0+D）（x-x0）+（Bx0+2Cy0+E）（y-y0）=0，也即

2Ax0+By0+D=0，

Bx0+2Cy0+E=0，

Ax0（2Ax0+By0+D）+By0（Bx0+2Cy0+E）=0，

也即

2Ax0+By0+D=0，Bx0+2Cy0+E=0????? B13

（1）當(dāng)關(guān)于x0，y0的方程組B13有唯一一組解即Δ≠0（參見B12）時，二次曲線f（x，y）=0（包括軌跡不存在的情形，下同）有唯一的對稱中心（即表1中的前兩個型別也即前五個類別）;

（2）當(dāng)關(guān)于x0，y0的方程組B13有無數(shù)組解即Δ=Θ=0（參見B12）時，二次曲線f（x，y）=0有無數(shù)個對稱中心且這些對稱中心的集合是直線2Ax+By+D=0（即表1中的后三個類別）;

（3）當(dāng)關(guān)于x0，y0的方程組B13無解即Δ=0，Θ≠0（參見B12）時，二次曲線f（x，y）=0無對稱中心（即表1中的第六個類別）.

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