一道解三角形真題的多解與反思

王永剛

摘要：每年的高考真題作為典型題與“母型題”，吸引了眾多命題者的關(guān)注，在各類模擬試卷中加以合理模仿、改編與變式等方式處理.本文中結(jié)合實(shí)例，從多個(gè)視角結(jié)合多種方法來破解，鏈接高考，回歸本質(zhì)，剖析問題的由來，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：三角形;等差數(shù)列;最小值;最大值;三角恒等變換

1 引言

每年的高考真題，總有眾多的亮點(diǎn)，名題薈萃，創(chuàng)新新穎，典型突出，引入注目.此類高考真題，知識融合交匯考點(diǎn)明確，立意突出，科學(xué)創(chuàng)新，具有非常好的教學(xué)價(jià)值，吸引了眾多命題者的引用、模仿與改編等，這些優(yōu)良的創(chuàng)新“產(chǎn)品”經(jīng)常出現(xiàn)在一些高考模擬卷中，值得我們細(xì)細(xì)品賞，好好深入分析與研究.

2 問題呈現(xiàn)

問題 （2020屆廣東省廣州市高三年級階段訓(xùn)練題理科·16）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，且sin A，sin B，sin C成等差數(shù)列，則sin 2B+2cos B的最小值為，最大值為.

此題以三角形為載體，結(jié)合三角形的三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)列來設(shè)置限制條件，進(jìn)而求解角B所對應(yīng)的三角關(guān)系式的最值.破解此題可分為兩個(gè)步驟：（1）利用條件確定角B的取值范圍;（2）在角B的限制條件下確定sin 2B+2cos B的最值.而對應(yīng)兩個(gè)步驟的切入思維多樣，破解方法各異.

3 問題破解

（1）確定角B的取值范圍.

方法1：（三角恒等變換）

由sin A，sin B，sin C成等差數(shù)列，可得sin A+sin C=2sin B.

結(jié)合三角恒等變換公式，可得

2sinA+C2cosA-C2=4sinB2cosB2.

即2cosB2cosA-C2=4sinB2cosB2.

于是2sinB2=cosA-C2≤1，即sinB2≤12.

因?yàn)榻荁為△ABC的內(nèi)角，B∈（0，π），所以B2∈0，π6.故B∈0，π3.

方法2：（基本不等式法）

由sin A，sin B，sin C成等差數(shù)列，可得sin A+sin C=2sin B.

結(jié)合正弦定理，有a+c=2b.

由余弦定理，得

cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=3a2+3c2-2ac8ac≥6ac-2ac8ac=12，當(dāng)且僅當(dāng)3a2=3c2，即a=b=c時(shí)等號成立.

又角B為△ABC的內(nèi)角，故B∈0，π3.

方法3：（橢圓模型法）

由sin A，sin B，sin C成等差數(shù)列，可得sin A+sin C=2sin B.

結(jié)合正弦定理，有BC+BA=2AC.

不妨設(shè)AC=2，則BC+BA=2AC=4.

以AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則知點(diǎn)B在以A，C為焦點(diǎn)的橢圓上，可得橢圓方程為x24+y23=1.

結(jié)合橢圓的圖形與性質(zhì)，可知B∈0，π3.

點(diǎn)評：根據(jù)題目條件，結(jié)合等差中項(xiàng)的應(yīng)用得到關(guān)系式sin A+sin C=2sin B，直接通過三角恒等變換以及三角形的性質(zhì)可以確定角B的取值范圍，此方法對三角恒等變換公式的要求比較高;而常見的方法是由三角關(guān)系式借助正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理及基本不等式來確定角B的取值范圍;利用三角關(guān)系式借助正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，合理構(gòu)建模型，利用橢圓的方程與幾何性質(zhì)來確定角B的取值范圍，也是非常不錯(cuò)的破解方法.

（2）確定sin 2B+2cos B的最值.

方法1：（導(dǎo)數(shù)法1）

設(shè)函數(shù)f（B）=sin 2B+2cos B，B∈0，π3.

求導(dǎo)可得f′（B）=2cos 2B-2sin B=-4sin2B-2sin B+2.

由f′（B）=0，可得B=π6.

所以，當(dāng)00，f（B）單調(diào)遞增;當(dāng)π6

故fmin（B）=fπ3=sin2π3+2cosπ3= 32+1，fmax（B）=fπ6=sinπ3+2cosπ6=3 32.

故填答案： 32+1;3 32.

方法2：（導(dǎo)數(shù)法2）

由于B∈0，π3，令x=sin B∈0， 32，

則有

sin 2B+2cos B=2sin Bcos B+2cos B

=2 cos2B（sin B+1）2

=2 （1-sin2B）（sin B+1）2

=2 （1-x）（x+1）3.

設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x）（x+1）3，x∈0， 32，則

f′（x）=-（x+1）3+3（1-x）（x+1）2

=-2（2x-1）（x+1）2.

由f′（x）=0，可得x=12.

則當(dāng)00，f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)12

所以fmin（x）=f 32= 34+716，fmax（x）=f12=2716.

那么sin 2B+2cos B的最小值為2? 34+716= 32+1，最大值為2 2716=3 32.

故填答案： 32+1;3 32.

方法3：（換元法）

設(shè)t=sin 2B+2cos B=2sin Bcos B+2cos B=2cos B（sin B+1），B∈0，π3.

設(shè)x=cos B，y=sin B，則有x2+y2=1，x∈12，1，y=t2x-1.

可知點(diǎn)（x，y）的軌跡是下圖（圖1）單位圓中的劣弧AB（不包括端點(diǎn)B）部分.

當(dāng)曲線y=t2x-1過點(diǎn)A12， 32時(shí)，此時(shí)cos B=12，t取得最小值為2×12× 32+1= 32+1.

當(dāng)曲線y=t2x-1與劣弧AB（不包括端點(diǎn)B）相切于點(diǎn)Cm，t2m-1時(shí)，t取得最大值.

此時(shí)對應(yīng)的公切線為l，由y′=-t2x2，得直線l的斜率為-t2m2.

由OC⊥直線l，得t2m-1m·-t2m2=-1，即

4m4=t2-2mt??????? ①

又點(diǎn)Cm，t2m-1在圓x2+y2=1上，可得

4m4+t2-4mt=0?????? ②

①②式聯(lián)立消去mt，整理可得t=3m.

將t=3m代入4m4=t2-2mt，整理可得

m= 32，t=3 32.

所以，當(dāng)cos B= 32，t取得最大值為3 32.

故填答案： 32+1;3 32.

點(diǎn)評：在角B的限制條件下，將所求的三角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，可以借助導(dǎo)數(shù)法來確定其最大值與最小值，這是破解此類問題中最常見的思維方式;而結(jié)合對應(yīng)的三角關(guān)系式進(jìn)行合理換元，把三角問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用相應(yīng)的軌跡方程以及曲線之間的關(guān)系來分析與判斷最值，也是巧妙構(gòu)建模型，結(jié)合數(shù)學(xué)建模來處理問題的一大創(chuàng)新思維.

4 鏈接高考

事實(shí)上，以上問題源自以下高考真題，是在高考真題的基礎(chǔ)上加以探究、拓展與變式，融合知識，提升難度.

高考真題 （2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第16題）已知函數(shù)f（x）=2sin x+sin 2x，則f（x）的最小值是.（答案：-3 32.）

高考真題中所求解的三角函數(shù)的最值問題，沒有限制條件，相比更為簡單.而以上問題通過合理設(shè)置，將解三角形問題與數(shù)列問題融合，給出自變量的取值范圍，并在此基礎(chǔ)上分別求解三角關(guān)系式的最大值與最小值，難度相比高考真題來說有較大的提升，而破解方法由于考慮到最大值與最小值的差別，思維切入有所限制.

5 解后反思

對于一些典型高考真題，在學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)上，教師可以有針對性地加以挖掘、融合、探究、拓展，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系教材，充分把握數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)質(zhì)，真正形成有效的數(shù)學(xué)知識體系與思維方法，從而提升知識的掌握程度，拓展數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，培育優(yōu)秀的人文精神.