初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯誤的案例研究

李小兵

摘要：教學(xué)過程是一種特殊的認(rèn)識過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)錯誤是一種不可避免的現(xiàn)象.本文中從知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤和心理性錯誤四個方面對初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯誤進(jìn)行了深入分析，供一線教師參考.

關(guān)鍵詞：初中學(xué)生;數(shù)學(xué)解題;錯誤類型;教學(xué)案例

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求，教師要耐心地引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤產(chǎn)生的原因，并鼓勵他們自己去改正，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.因此，關(guān)注初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題，盡可能幫助學(xué)生避免或減少解題錯誤并予以糾正，能夠有效地提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量.

1 知識性錯誤

知識性錯誤是指對概念及定理的認(rèn)識模糊不清或錯誤運(yùn)用公式與法則導(dǎo)致的錯誤；基本技能不熟練，運(yùn)算基本功不扎實(shí)，遺漏或隨意添加條件導(dǎo)致的錯誤；等等.

1.1 概念不清

概念是學(xué)生思維的基本形式，也是解題的重要依據(jù).學(xué)生在解題過程中由于對概念、規(guī)律的內(nèi)容認(rèn)識不清或不能正確理解它們的確切含義而產(chǎn)生的一些錯誤就是概念性錯誤.

例1下列方程哪些是一元二次方程？

（1）ax2+bx+c=0；

（2） x2=0；

（3）x2－1x2－2=0；

（4）2x2－x－1=0；

（5）3x（x－1）=3x2+1；

（6）（1－m）x2+mx－2=0.

錯解：（1），（2），（3），（4），（5），（6）.

分析：例1中對一元二次方程概念的理解，特別容易忽視方程ax2+bx+c=0中系數(shù)a，b，c的限制條件.授新課時應(yīng)講明——（1）a≠0，b，c為常數(shù)；（2）三種特殊形式，即ax2=0（a≠0），ax2+bx=0（a≠0，b為常數(shù)），ax2+c=0（a≠0，c為常數(shù)）；（3）方程要先化簡為一般形式，牢牢抓住二次項(xiàng)系數(shù)a≠0.

1.2 法則不明

初中代數(shù)法則多、公式多且易混、易錯.學(xué)生運(yùn)算出現(xiàn)問題往往是公式記憶錯誤，運(yùn)算法則混淆等.

例2計(jì)算：（1）－42=? ，－22= ；（2）3x－22=? .

錯解：（1）－8 ，4；（2）9x2－4

分析：例2（1）錯解的原因是將乘方的運(yùn)算法則與數(shù)的運(yùn)算法則相混淆了.例2（2）中把乘法公式中完全平方公式和平方差公式記混淆了.

2 邏輯性錯誤

邏輯性錯誤主要表現(xiàn)為推理欠嚴(yán)密，條理不清，自相矛盾.有些學(xué)生思維發(fā)展水平低，推理能力弱，數(shù)學(xué)知識、能力、方法儲備不足，推理思路不明，從而得出不準(zhǔn)確的結(jié)論[1].

2.1 變形不恒等

把代數(shù)式當(dāng)?shù)仁絹碜冃?、化?

例3計(jì)算2x+2－2x－2.

錯解：原式=2（x－2）－2（x+2）=2x－4－2x－4=－8.

分析：對于例3，學(xué)生在進(jìn)行分式計(jì)算時，易將代數(shù)式的變形與等式的變形混在一起，錯誤地將分式轉(zhuǎn)化為整式，從而違背恒等變形這個原則.

2.2 混淆“或”與“且”

“或”表示選擇的關(guān)系，二者必居其一. “且”表示同時滿足.在使用“且”和“或”時不能混為一談.

例4當(dāng)x為何值時，分式x2－x－2x2+4x+3有意義？

錯解：要使分式x2－x－2x2+4x+3有意義，則

x2+4x+3≠0.

整理，得x+3x+1≠0.

故x≠－3或x≠－1時，x2－x－2x2+4x+3有意義.

分析：例4中，當(dāng)x=－3或x=－1時，分母都等于零.要使分式中的分母不等于0，則x既不能等于－3也不能等于－1，兩者是一個并列的關(guān)系，所以應(yīng)該用“且”.

2.3 偷換命題

學(xué)生在運(yùn)用三角形中位線定理、等腰三角形三線合一性質(zhì)、垂徑定理解題時，往往將性質(zhì)或判定的題設(shè)和結(jié)論混淆，導(dǎo)致論題改變，發(fā)生錯誤.

例5如圖1，⊙O是Rt△ABC中以直角邊AB為直徑的圓，⊙O與斜邊AC 交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交BC于點(diǎn)E. 求證：OE是Rt△ABC的中位線.

錯解：連結(jié)OD.

∵∠ABC=90°，AB為直徑，

∴EB是⊙O的切線.

又∵DE是⊙O的切線，

∴∠BOE=∠DOE.

∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE.

又∠BOD=2∠A，

∴∠BOE=∠A.

∴OE∥AD.

∵O是AB的中點(diǎn)，

∴OE是△ABC的中位線.

分析：三角形中位線定理是由E是BC的中點(diǎn)和O是AB的中點(diǎn)得出OE∥AD.例5中由OE∥AD 和O是AB的中點(diǎn)得出OE是△ABC的中位線，顯然是沒有正確認(rèn)識三角形中位線定理，但可進(jìn)一步由平行線分線段成比例定理得出E是BC的中點(diǎn).

3 策略性錯誤

策略性錯誤是指考慮不周全導(dǎo)致解題思路受阻或解題方向錯誤，或選擇非最優(yōu)解法明顯增加了解題的難度與出錯機(jī)會，使得問題最終得不到解決.

3.1 忽視題目中的隱含條件

解題時有些條件隱含于已知條件或圖形中，但由于學(xué)生馬虎大意，未深刻把握數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求，忽視題目中的隱含條件以致得出錯誤結(jié)論.

例6已知關(guān)于x的方程x2－2k－1x+k2=0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+x2=x1x2－1，求k的值．

錯解：由題意可得x1+x2=2k－1，x1x2=k2.

所以－2k－1=k2－1.

解得k1=1，k2=－3.

分析：對于含字母系數(shù)的一元二次方程或二次函數(shù)的問題，學(xué)生往往忽略考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零、根的判別式Δ≥0等隱含條件，因考慮不周全出錯.例6中求k的值要進(jìn)一步檢驗(yàn)根的判別式.

3.2 忽視“分類思想”造成漏解或錯解

解題時，如遇到等腰三角形、相似三角形或動點(diǎn)、動直線問題，常常要分類討論所有可能情況，否則答案不完整.

例7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)A（1，1）.若△AOP為等腰三角形，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

錯解：滿足條件的等腰三角形AOP的點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）和（2，0）.

分析：應(yīng)分三種情況討論.

（1）當(dāng)AO=AP時，以A為圓心，AO為半徑作圓與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，則P（2，0）；

（2）當(dāng)OP=AP時，作OA的垂直平分線，交x軸的于點(diǎn)P，則P（1，0）；

（3）當(dāng)AO=PO時，以O(shè)為圓心，AO為半徑作圓與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，則P（2，0）或P（－2，0）.

3.3 解題方法繁瑣造成錯誤

同一道題，不同的解題思路或輔助線作法對解題有不同的影響，有的會直接增加題目的計(jì)算量和難度，有的會導(dǎo)致思維障礙解不出來.

例8如圖2，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F．求證：AE=EF.

證法1：如圖3，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)EM．可證△AEM≌△EFC（ASA），從而得AE=EF.

證法2：如圖4，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H.易證△ABE∽△EHF，進(jìn)而可得BEAB=FHEH.

由比例的性質(zhì)，可得BEAB－BE=FHEH－FH.由CF平分∠DCH，得△FCH是等腰直角三角形.則EH－FH=EH－CH=CE，AB－BE=BC－BE=CE，所以BEEC=FHEC，即BE=FH.由△ABE≌△EHF證得AE=EF.

分析：上述兩種方法雖然都通過作輔助線利用全等證出線段相等，但顯然證法1更簡單，證法2在尋找全等的條件時難度更大，實(shí)際操作中學(xué)生會因缺全等條件而半途而廢.

4 心理性錯誤

心理性錯誤主要表現(xiàn)為缺乏堅(jiān)強(qiáng)的意志和信心，導(dǎo)致解題出錯的急躁心理現(xiàn)象.良好的心理素質(zhì)，可以克服心理障礙而減少錯誤.

4.1 解題思維定式，思維慣性

有些數(shù)學(xué)題目在形式上相似，在解法上也雷同.學(xué)生解題時容易產(chǎn)生慣性思維，“先入為主”匆忙下結(jié)論，因負(fù)遷移而導(dǎo)致錯誤.

例9解一元二次方程x（x+2）=3x.

錯解：將方程兩邊除以x，得（x+2）=3.

所以，此方程的解是x=1.

分析：例9中方程兩邊同時除以x的前提條件是x≠0，而x=0恰好是此方程的一個解.憑經(jīng)驗(yàn)約分造成漏解.

4.2 思維抑制或情緒焦慮

心理學(xué)的研究表明，考試中學(xué)生臨場過分焦慮，心理壓力過大以致于出現(xiàn)暫時性思維障礙，稱為思維抑制.考試中，遇到運(yùn)算數(shù)字較大的計(jì)算或不熟悉的題型一時找不到思路，就會產(chǎn)生焦慮，有時產(chǎn)生暫時的遺忘，干擾思維的正常運(yùn)行，導(dǎo)致會而不對，對而不全.

例10已知二次函數(shù)y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B.

（1）證明此二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過一個定點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）當(dāng)14＜m≤8時，由（1）求出的點(diǎn)P和點(diǎn)A，B構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值？若有，求出最值及相對應(yīng)的m值；若沒有，請說明理由.

答案：（1）P （3，4）；（2）m=8，△ABP面積的最大值為314.

分析：例10證明過定點(diǎn)、求最值問題因不常見往往使學(xué)生望而卻步，心理上有思維障礙.

4.3 審題馬虎、理解膚淺

粗心大意源于不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣.審題是解題的關(guān)鍵，許多學(xué)生在審題時粗心大意，經(jīng)?？村e題或看漏條件，沒能正確地理解題意導(dǎo)致錯誤的產(chǎn)生.

例114的算術(shù)平方根是（）.

A.2B.±2C.2 D.±2

錯解：選A.

分析：正確的解題思路是先求出4=2，再求出4的算術(shù)平方根是2.學(xué)生往往審題不清，只做了一次運(yùn)算.

德國哲學(xué)家黑格爾曾說過：“錯誤本身乃是達(dá)到真理的一個必然的環(huán)節(jié).”錯題，既是學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)資料的寶庫，又是教師發(fā)現(xiàn)教學(xué)問題、改進(jìn)教法、及時調(diào)整教學(xué)策略的重要手段[2].因此，利用好錯題資源，分析產(chǎn)生錯誤的原因，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，就一定能提高數(shù)學(xué)解題水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]姜鑫輝. 初中生數(shù)學(xué)解題錯誤及應(yīng)對策略 [J].新課程（教師），2008（12）：24.

[2]孫左峰. 初中數(shù)學(xué)解題錯誤探析 [J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2009（6）：12-13.