振動(dòng)工況下剪式可展單元模態(tài)分析與結(jié)構(gòu)優(yōu)化

吳上生 陳柘 周運(yùn)岐

(1.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640； 2.廣東韶關(guān)市宏乾智能裝備科技有限公司，廣東 韶關(guān) 512028)

剪式可展單元是一種基本的空間可展結(jié)構(gòu)，具有運(yùn)動(dòng)收縮功能，可以疊加構(gòu)造多種復(fù)雜可展空間桁架結(jié)構(gòu)，在航天用天線太陽(yáng)能電池板、航空伸縮停機(jī)坪等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1]。早在1961年，西班牙的建筑師Pineo[2]就成功地將剪式可展單元應(yīng)用于折疊式可移動(dòng)歌劇院的設(shè)計(jì)之中。Zhao等[3]將剪式可展單元組合形成平面、圓柱、球形等空間機(jī)構(gòu)，并使用機(jī)械理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。徐坤等[4]基于剪式單元設(shè)計(jì)了一種彎曲折展變胞機(jī)構(gòu)單元，該機(jī)構(gòu)不但像剪式單元一樣可以伸展升降運(yùn)動(dòng)，還由于限位桿的存在而產(chǎn)生彎曲運(yùn)動(dòng)。紀(jì)斌等[5]對(duì)非對(duì)稱平面剪式單元機(jī)構(gòu)的展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行了分析與仿真，討論了非對(duì)稱機(jī)構(gòu)的展開(kāi)條件。在工程應(yīng)用方面，吳新燕等[6]利用伸縮桿驅(qū)動(dòng)的六棱柱展開(kāi)單元，并設(shè)計(jì)了一大型構(gòu)架式切割拋物面天線；Ren等[7]研究了剪式可展單元在高空升降機(jī)中的穩(wěn)定性問(wèn)題，提出了在受到?jīng)_擊及路面有凹坑時(shí)結(jié)構(gòu)的抗傾覆措施；王臻等[8]利用剪式可展單元設(shè)計(jì)了一種可變后掠伸縮式變體機(jī)翼結(jié)構(gòu)；徐志剛[9]將剪式可展單元應(yīng)用于攀爬機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，利用其伸縮特性實(shí)現(xiàn)向上攀爬的功能。

總體而言，目前對(duì)剪式可展單元的研究有了相當(dāng)?shù)倪M(jìn)展，且在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，然而其中圍繞剪式可展單元運(yùn)動(dòng)機(jī)理研究較多，關(guān)于在工程應(yīng)用中其動(dòng)力學(xué)特性研究較少，基于此，本文選取某新型船舶除銹裝備[10]中的剪式可展單元作為對(duì)象，該裝備除銹頭中分布著3個(gè)帶有多個(gè)小鋼珠的旋轉(zhuǎn)盤，工作時(shí)在在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下由旋轉(zhuǎn)盤帶動(dòng)小鋼珠在船舶壁面打磨除銹，該過(guò)程既有旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)激勵(lì)也有碰撞過(guò)程的隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)傳遞到下方剪式可展單元，研究剪式可展單元在上述振動(dòng)激勵(lì)情況下的動(dòng)力學(xué)特性問(wèn)題是該裝備正常高效工作的前提。本文中采用一種動(dòng)應(yīng)力分析間接法，該方法結(jié)合頻域隨機(jī)振動(dòng)分析高效和時(shí)域疲勞評(píng)估直觀的優(yōu)點(diǎn)[11]，并采用數(shù)值模態(tài)分析方法，得到前15階模態(tài)頻率，分析振動(dòng)工況下的響應(yīng)特性，找出并消除其共振問(wèn)題，提出剪式可展單元不同改進(jìn)方案，并評(píng)估各改進(jìn)方案剪式可展單元?jiǎng)討?yīng)力水平。

1 剪式可展單元結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)驗(yàn)算

單獨(dú)的一個(gè)剪式可展單元由兩個(gè)連桿經(jīng)銷軸連接而成[1]，如圖1(a)所示，圖中F為單元上方所承載質(zhì)量的等效合力，用以簡(jiǎn)化模擬真實(shí)載重。兩桿可繞銷軸相互轉(zhuǎn)動(dòng)，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角度不同可以達(dá)到不同的可展范圍。本文的研究對(duì)象如圖1(b)所示，由兩個(gè)剪式可展單元線性陣列組成，除銹頭在剪式單元上方通過(guò)上工作平臺(tái)相連，履帶式小車底盤在剪式單元下方通過(guò)下工作平臺(tái)相連，除銹作業(yè)時(shí)，小車平面內(nèi)移動(dòng)，剪式可展單元使其達(dá)到不同高度，同時(shí)剪式可展單元受到上方振動(dòng)源的作用，研究其振動(dòng)工況下的響應(yīng)尤為重要。

(a)單元結(jié)構(gòu)靜力分析

(b)剪式可展單元工作環(huán)境

結(jié)構(gòu)與水平面的夾角為α，假設(shè)桿件均為理想均質(zhì)直桿，不計(jì)桿的質(zhì)量和鉸鏈處的摩擦力，則由靜力學(xué)方程求得鉸接處的內(nèi)力為

(1)

式中,FA2y、FA2x、FB2y、FB2x、FC2y、FC2x均為鉸接處相應(yīng)的內(nèi)力。α取值為10°～60°。圖2是鉸接處內(nèi)力隨角度α的變化關(guān)系，由圖可知當(dāng)結(jié)構(gòu)與水平面的夾角α越小，鉸孔處的受力越大，并且接近到0度時(shí)到達(dá)無(wú)窮大，這對(duì)驅(qū)動(dòng)設(shè)備要求嚴(yán)格，因此為了減輕驅(qū)動(dòng)力，結(jié)構(gòu)與水平面初始夾角α定為10°，此情況下下層剪式可展單元3個(gè)鉸孔受力數(shù)值分別為：FA2x=7 940 N，F(xiàn)A2y=350 N，F(xiàn)C1x=3 970 N，F(xiàn)C1y=350 N，F(xiàn)B2x=11 910 N。

圖2 鉸孔水平受力隨夾角變化曲線

為了驗(yàn)證當(dāng)前載荷下剪式可展單元整體安全性和穩(wěn)定性，對(duì)受力最大的連桿即A2C1，對(duì)其受力進(jìn)行沿著軸向和法向分解后，得到連桿上等效應(yīng)力最大值為

(2)

式中,y為連桿橫截面上距中性軸最大的距離，Iz為關(guān)于中性軸的慣性矩，A為橫截面面積。代入數(shù)值求得：

σ=163 MPa<[σ]=250 MPa.

以上證明保證結(jié)構(gòu)與水平面夾角在10°～60°時(shí)，連桿的最大應(yīng)力低于許用應(yīng)力[12]，安全性強(qiáng)。

2 剪式可展單元有限元模型

本研究采用ANSYS Workbench進(jìn)行有限元分析。剪式可展單元所有的材料均采用結(jié)構(gòu)鋼，材料楊氏模量為2×1011Pa，泊松比為0.3，失效應(yīng)力為：2.5×108Pa，密度為7 850 kg/m3。刪除其他附屬零件，僅保留主體結(jié)構(gòu)，模型中對(duì)部分倒角、螺栓孔進(jìn)行了適當(dāng)簡(jiǎn)化[13]。模型上、下兩個(gè)工作臺(tái)采用殼單元(Shell 181)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對(duì)每個(gè)殼單元賦予與原始材料相同厚度的實(shí)常數(shù)。8個(gè)連桿均采用三維實(shí)體單元(Solid 185)對(duì)其網(wǎng)格進(jìn)行劃分，最小尺寸單元為2 mm，結(jié)構(gòu)部分單元尺寸普遍控制在5 mm內(nèi)。劃分完網(wǎng)格以后整體模型見(jiàn)圖3,整個(gè)模型包含103 666個(gè)單元，共180 904個(gè)節(jié)點(diǎn)。上工作臺(tái)作用均布載荷700 N，方向豎直向下，模擬的是真實(shí)載重，即圖1中所示的F。采用遠(yuǎn)端唯一約束來(lái)模擬連桿之間的轉(zhuǎn)動(dòng)，底部端面采用固定約束來(lái)模擬其在履帶式地盤上的裝配狀態(tài)，上工作臺(tái)釋放豎直方向的移動(dòng)位移，模擬工作臺(tái)的升降能力。

圖3 剪式可展單元有限元模型

3 計(jì)算模型驗(yàn)證

Ansys隨機(jī)振動(dòng)分析是基于模態(tài)疊加法的，因此完成隨機(jī)振動(dòng)的前提是獲取準(zhǔn)確模態(tài)解。本文中的模態(tài)分析是有預(yù)應(yīng)力下的模態(tài)分析，采用Ansys默認(rèn)的Block Lanczos法進(jìn)行計(jì)算。模態(tài)分析能夠獲取系統(tǒng)的固有特性，特別是固有頻率和振型，通過(guò)改變頻率進(jìn)行模態(tài)優(yōu)化是較為普遍的方法[14]。為使隨機(jī)振動(dòng)理論在工程上得以應(yīng)用，對(duì)隨機(jī)過(guò)程作出了平穩(wěn)性假設(shè)、各態(tài)歷經(jīng)假設(shè)和正態(tài)分布假設(shè)。由文獻(xiàn)[15- 17]中的隨機(jī)振動(dòng)理論可知，使用頻響函數(shù)和模態(tài)疊加技術(shù)，在考慮弱阻尼條件下，第i階自由位移均方響應(yīng)的絕對(duì)值可表示為

(3)

式中，Sdi(ω)為自譜密度函數(shù)動(dòng)態(tài)范圍，Ssi(ω)為自譜密度函數(shù)準(zhǔn)靜態(tài)部分，Ssidi(ω)為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)自由度的互譜密度函數(shù)；|·|Re表示該項(xiàng)取實(shí)數(shù)部分。式(3)中功率密度函數(shù)計(jì)算式為

Sdi(ω)=

(4)

(5)

(6)

圖4展示了本文隨機(jī)振動(dòng)分析方法流程圖。首先對(duì)除銹頭運(yùn)行狀態(tài)下利用加速度傳感器對(duì)振動(dòng)加速度進(jìn)行測(cè)試，獲取振動(dòng)加速度的功率譜密度(PSD)；PSD是穩(wěn)態(tài)隨機(jī)過(guò)程的頻域描述，提供了有關(guān)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)學(xué)的大量信息，使用PSD的譜距可以獲得其他統(tǒng)計(jì)學(xué)特性[12]；然后通過(guò)有限元模型隨機(jī)振動(dòng)，獲取連桿上各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力PSD；獲取最大應(yīng)力處頻率與自身各階模態(tài)對(duì)比；最后獲取與激勵(lì)形成共振的模態(tài)振型，評(píng)估不同狀態(tài)的動(dòng)應(yīng)力水平，從而達(dá)到結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設(shè)計(jì)目的。

圖4 分析方法流程圖

3.1 模態(tài)計(jì)算

對(duì)有約束、有預(yù)應(yīng)力狀態(tài)下剪式可展單元進(jìn)行模態(tài)分析，分析階數(shù)定為前15階，分析頻率范圍為0～900 Hz。模態(tài)主要計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1，對(duì)應(yīng)前六階振型見(jiàn)圖5。由振型圖可知，前4階振型以單一變形方式為主，隨著階次的增加，出現(xiàn)彎曲、扭轉(zhuǎn)等組合變形形式。最大變形在不同階次模態(tài)中發(fā)生在不同的位置，上工作臺(tái)和連桿均有薄弱環(huán)節(jié)。

表1 帶預(yù)應(yīng)力剪式可展單元計(jì)算模態(tài)結(jié)果

圖5 前六階振型圖

3.2 隨機(jī)振動(dòng)下連桿動(dòng)應(yīng)力計(jì)算

圖6是輸入加速度PSD激勵(lì)頻域圖，由上工作臺(tái)時(shí)域加速度信號(hào)經(jīng)傅里葉變換得到，方向是豎直方向，來(lái)自工作臺(tái)上方除銹頭振動(dòng)。該頻域信號(hào)有兩個(gè)明顯的峰值，峰值之一是頻率240 Hz，加速度功率譜密度為220(m/s2)2/Hz左右，頻率為410 Hz時(shí)，加速度功率譜密度為390(m/s2)2/Hz附近。

圖6 輸入加速度PSD激勵(lì)

有限元模型中在連桿邊線母線上，布置了一系列的測(cè)點(diǎn)，本文在計(jì)算節(jié)點(diǎn)動(dòng)應(yīng)力時(shí)選擇的是經(jīng)對(duì)比分析后變形量最大的測(cè)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)編號(hào)20628)。圖7展示了節(jié)點(diǎn)20 628處在受到加速度PSD激勵(lì)后，X向、Y向、Z向應(yīng)力PSD圖譜。

圖7 節(jié)點(diǎn)20 628計(jì)算應(yīng)力PSD

由圖7可知該應(yīng)力PSD在3個(gè)方向上的主頻均是306.15 Hz，但應(yīng)力PSD幅值不一樣，X向應(yīng)力PSD幅值達(dá)到了417.09 MPa2/Hz，Z向應(yīng)力PSD幅值達(dá)到了291.37 MPa2/Hz，而Y向應(yīng)力幅值最低，只有13.328 MPa2/Hz，相對(duì)于X向和Z向，Y向的應(yīng)力PSD可以忽略不計(jì)。通過(guò)對(duì)比圖7和表1發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力PSD峰值出現(xiàn)在306.15 Hz，而剪式可展單元第二階模態(tài)頻率為306.36 Hz，相對(duì)誤差僅為0.06%，故可得剪式單元在輸入加速度PSD激勵(lì)時(shí)，二階模態(tài)與輸入振型產(chǎn)生共振，導(dǎo)致了極大應(yīng)力，對(duì)結(jié)構(gòu)的安全性和穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。

4 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

由第3節(jié)可知，剪式可展單元二階模態(tài)頻率與輸入激勵(lì)發(fā)生共振導(dǎo)致連桿承受過(guò)大應(yīng)力會(huì)破壞結(jié)構(gòu)，而二階模態(tài)振型是上工作臺(tái)兩側(cè)發(fā)生橫彎，因此本節(jié)主要從上工作臺(tái)厚度、材料剛度方面進(jìn)行優(yōu)化，以期改變剪式可展單元固有頻率，避免與激勵(lì)出現(xiàn)模態(tài)共振，降低剪式可展單元?jiǎng)討?yīng)力水平。本節(jié)計(jì)算時(shí)得到的應(yīng)力PSD位置與前文一致，分析節(jié)點(diǎn)編號(hào)仍為20 628。

4.1 增加上工作臺(tái)厚度

原上工作臺(tái)厚度為10mm，在不改變工作臺(tái)橫截面積的情況下，為了改變上工作臺(tái)兩側(cè)橫彎模態(tài)頻率，決定增加工作臺(tái)厚度。增加厚度，會(huì)改變結(jié)構(gòu)的慣性影響系數(shù)和柔度影響系數(shù)，會(huì)增加系統(tǒng)固有頻率[18]。表2是不同上工作臺(tái)厚度時(shí)剪式可展單元二階模態(tài)。由表2可知，隨著厚度的增加，剪式可展單元二階模態(tài)有所上升，符合預(yù)期效果。

表2 不同上工作臺(tái)厚度時(shí)剪式可展單元二階模態(tài)

圖8是不同上工作臺(tái)厚度下，其他加載條件相同的情況下節(jié)點(diǎn)20 628處X向應(yīng)力PSD，表3是不同厚度下X向應(yīng)力PSD的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，隨著上工作臺(tái)厚度的增加，應(yīng)力PSD主頻逐漸增加，并與剪式可展單元二階模態(tài)頻率幾乎一致。應(yīng)力PSD峰值大幅降低說(shuō)明避開(kāi)了此前的共振頻率范圍，振動(dòng)減小。

圖8 不同上工作臺(tái)厚度時(shí)節(jié)點(diǎn)20 628處X向應(yīng)力PSD

通過(guò)主頻應(yīng)力PSD峰值對(duì)比，發(fā)現(xiàn)當(dāng)厚度為14 mm時(shí)，對(duì)于降低動(dòng)應(yīng)力PSD的效果最好，比原始厚度(10 mm)時(shí)的幅值降低了94%，這對(duì)剪式可展單元使用壽命的延長(zhǎng)比較關(guān)鍵。

表3 不同上工作臺(tái)厚度時(shí)節(jié)點(diǎn)20 628處X向應(yīng)力PSD幅值

圖9是不同上工作臺(tái)厚度時(shí)，其他加載條件相同的情況下節(jié)點(diǎn)20 628處Z向應(yīng)力PSD，表4是不同厚度下Z向應(yīng)力PSD的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

圖9 不同上工作臺(tái)厚度節(jié)點(diǎn)20 628處Z向應(yīng)力PSD

表4 不同上工作臺(tái)厚度時(shí)節(jié)點(diǎn)20 628處Z向應(yīng)力PSD幅值

由以上圖表數(shù)據(jù)可知，當(dāng)上工作臺(tái)厚度為16 mm時(shí)，Z向的應(yīng)力PSD幅值降低最多，降低了87.9%，結(jié)合X向應(yīng)力PSD幅值降低幅度，顯而易見(jiàn)當(dāng)厚度為14 mm時(shí)，剪式可展單元整體的動(dòng)應(yīng)力PSD降低效果最明顯，兩個(gè)方向上總共降低了89.8%，高于12 mm時(shí)的82.8%和16 mm時(shí)的87.4%。

4.2 增加剛度

由4.1節(jié)已知，在增加上工作臺(tái)厚度工況中，增加厚度至14 mm時(shí)對(duì)剪式可展單元?jiǎng)討?yīng)力水平的降低最為有效。本節(jié)將探究改變上工作臺(tái)剛度分別對(duì)厚度10 mm(原厚度)和厚度14 mm下剪式可展單元?jiǎng)討?yīng)力的影響。上工作臺(tái)原彈性模量為20 GPa,通過(guò)改變上工作臺(tái)彈性模量模擬剛度變化，設(shè)置上工作臺(tái)彈性模量變化范圍為18.5～21.5 GPa(增量為0.5 GPa)。由模態(tài)分析可得，改變上工作臺(tái)剛度可以初步改變剪式可展單元二階模態(tài)頻率，如表5所示。

表5 不同上工作臺(tái)剛度時(shí)剪式可展單元二階模態(tài)

圖10展示了不同上工作臺(tái)剛度下節(jié)點(diǎn)20 628處應(yīng)力PSD幅值。在上工作臺(tái)厚度為10 mm時(shí)剪式可展單元改變上工作臺(tái)剛度工況中，上工作臺(tái)剛度為19.5 GPa時(shí)節(jié)點(diǎn)X向應(yīng)力PSD幅值為411.82 MPa2/Hz,降低剪式可展單元?jiǎng)討?yīng)力水平效果最佳；14 mm厚剪式可展單元改變上工作臺(tái)剛度工況中，上工作臺(tái)剛度為19.5 GPa時(shí)節(jié)點(diǎn)X向應(yīng)力PSD幅值為20.70 MPa2/Hz,降低剪式可展單元?jiǎng)討?yīng)力水平效果最佳。當(dāng)上工作臺(tái)剛度不變時(shí)，增加厚度仍能顯著降低剪式可展單元?jiǎng)討?yīng)力水平。

圖10 不同上工作臺(tái)剛度時(shí)節(jié)點(diǎn)20 628處應(yīng)力PSD

4.3 增加兩端連桿連接軸

由4.1節(jié)和4.2節(jié)可知，相比于原上工作臺(tái)厚度10 mm和工作臺(tái)剛度20 GPa剪式可展單元，厚度為14 mm、剛度19.5 GPa剪式可展單元的動(dòng)應(yīng)力水平顯著降低。因此本節(jié)在此基礎(chǔ)上(厚度14 mm和剛度19.5 GPa)增加兩端連桿的連接軸，設(shè)立三種工況，工況1：第一級(jí)第二級(jí)連桿間均不增加連接軸(原始)，工況2：僅第一級(jí)連桿間增加連接軸，工況3：第一級(jí)和第二級(jí)連桿間均增加連接軸，觀察節(jié)點(diǎn)20 628的動(dòng)應(yīng)力水平。圖11為不同工況下節(jié)點(diǎn)20 628X向應(yīng)力PSD幅值。由圖11可知，當(dāng)剪式可展單元上工作臺(tái)厚度為14 mm、上工作臺(tái)剛度為19.5 GPa時(shí)，在兩端第一級(jí)和第二級(jí)連桿之間均增加連接軸對(duì)于剪式可展單元整體動(dòng)應(yīng)力幅值減小效果最為明顯，相對(duì)于同樣厚度和剛度的情況降低了50.14%，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)優(yōu)化前的動(dòng)應(yīng)力幅值降低了97.5%，有效避開(kāi)了共振。

圖11 不同工況下節(jié)點(diǎn)X向應(yīng)力PSD

綜上所述，選擇將上工作臺(tái)厚度從10 mm增加到14 mm，上工作臺(tái)剛度從20 GPa降低到19.5 GPa，同時(shí)在兩連桿之間加上連接軸，此結(jié)構(gòu)優(yōu)化方案為最佳。

5 結(jié)論

本文將某新型船舶除銹裝備[10]中的剪式可展單元作為對(duì)象，通過(guò)靜力學(xué)分析、數(shù)值模態(tài)分析和隨機(jī)振動(dòng)動(dòng)應(yīng)力測(cè)試，分析了剪式可展單元模態(tài)振型與激勵(lì)共振問(wèn)題。采用頻域動(dòng)應(yīng)力分析方法對(duì)剪式可展單元各優(yōu)化方案進(jìn)行了動(dòng)應(yīng)力仿真，為剪式可展單元的工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

(1)模擬剪式可展單元實(shí)際載荷，對(duì)連桿進(jìn)行了受力分析，避免過(guò)大驅(qū)動(dòng)力導(dǎo)致成本過(guò)高，從而確定了剪式可展單元的起停角度，驗(yàn)證了極限工況下的受力安全。

(2)數(shù)值模態(tài)分析表明，剪式可展單元二階模態(tài)振動(dòng)(306.15 Hz)和輸入的隨機(jī)激勵(lì)共振是引起剪式可展單元出現(xiàn)振動(dòng)疲勞問(wèn)題的主要原因。

(3)動(dòng)應(yīng)力仿真表明，增加剪式可展單元上工作臺(tái)厚度、適當(dāng)降低上工作臺(tái)剛度和在兩端連桿之間增加連接軸，均能降低剪式可展單元?jiǎng)討?yīng)力幅值，建議采用3種方式相互組合進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

(4)本文選擇將上工作臺(tái)厚度從10 mm增加到14 mm，上工作臺(tái)剛度從20 GPa降低到19.5 GPa，同時(shí)在兩連桿之間加上連接軸的優(yōu)化方法，動(dòng)應(yīng)力仿真結(jié)果顯示此方法優(yōu)化效果明顯。