關(guān)于“飲馬問題”的教學(xué)思考

摘要：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“飲馬問題”的題型既是常考題，又是初中數(shù)學(xué)教學(xué)一個很難突破的知識點，學(xué)生遇到這類的題目，往往找不到解決問題的突破口，不懂得對知識進行遷移、應(yīng)用.在教學(xué)中需給學(xué)生灌輸一個思想：求直線上一點到直線同側(cè)兩點的連線段長度之和的最小值問題就是”飲馬問題“，解決這類問題的關(guān)鍵依據(jù)是：“ 兩點之間線段最短”或是“三角形任意兩邊之和大于第三邊”.

關(guān)鍵詞：飲馬問題;數(shù)形結(jié)合;對稱求值

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）11-0050-03

收稿日期：2022-01-15

作者簡介：沈力坤（1975.4-），男，福建省漳州人，大專，中技九級，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

古希臘亞里山大里亞城里，有一位將軍從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后回到同一河岸邊的B地軍營視察，問他應(yīng)該怎樣走距離才最短？這類問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中都稱為“將軍飲馬問題”.在北師大版初中數(shù)學(xué)七年下冊第123頁第5題有一個典型的飲馬問題：如圖1所示，在一條街道的同側(cè)有A、B為居民區(qū)，某一天小明要從居民區(qū)A出發(fā)，先到街道旁一井邊打水，送到居民區(qū)B.請你幫他確定最短路線？有關(guān)飲馬問題的解決關(guān)鍵是找出表示“河流”所在的直線，再找出其中點A或B的對稱點，屬于動態(tài)幾何問題.我們對北師大版初中數(shù)學(xué)七年下冊第123頁第5題進行分析，街道就是“河流”所在的直線，點A關(guān)于“河流”的對稱點為A′，連結(jié)A′B，交街道于點P，則AP+BP=A′P+BP=A′B.則A′B就是所求的最短線段.

本題實質(zhì)上是求“兩點之間線段最短”.它考查的是兩點之間線段最短，是應(yīng)用較為靈活的題型，從最為簡單的直接考查兩線段之和最小，推廣到以三角形、四邊形、特殊四邊形、圓、一次函數(shù)、二次函數(shù)為背景的相關(guān)題目.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“飲馬問題”的題型出現(xiàn)多次，它一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)一個很難突破的知識點，學(xué)生遇到這類的題目，往往找不到解決問題的突破口，不懂得對知識進行遷移、應(yīng)用.因此，在教學(xué)中需給學(xué)生貫灌輸一個思想：求直線上一點到直線同側(cè)兩點的連線段長度之和的最小值問題就是”飲馬問題“，解決這類問題的關(guān)鍵依據(jù)是：“ 兩點之間線段最短”或是“三角形任意兩邊之和大于第三邊”.

下面由這一知識點演繹出來的相關(guān)題型進行歸類，提出自己的見解.

1 把飲馬問題這個模型放在圓中，利用圓的直徑作為“河流”來創(chuàng)建題目.例1如圖2，AB是⊙O的直徑，AB=a點M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點，若MN=b，則△MNP周長的最小值是多少？

分析在解決這一題目時要教會學(xué)生抓住本題的實質(zhì)是一個飲馬問題，MN兩點在直徑AB同側(cè).因此只要作出N關(guān)于AB的對稱點N′連結(jié)MN′，交AB于P，則△MNP周長的最小值是PM+PN+MN= PM+PN′+MN=MN+MN′=M+N′弦NM的長.求弦MN′的長就必須用到直徑a和弦MN′所對圓心∠MON′，∠MON′=∠MOB+∠N′OB=40°+20°=60°又OM= ON′，因為△MON′是等邊三角形 因此弦MN′=a/2（半徑）則△MNP周長的最小值為b+a/2.

解作點N關(guān)于AB的對稱點N′，又因為N是弧MB的中點，所以∠BON′=∠BON=1/2∠BOM=20°，所以∠MON′=∠MOB+∠N′OB=40°+20°=60° ，又OM= ON′，所以△MON′是等邊三角形，所以弦MN′=a/2，△MNP周長的最小值是PM+PN+MN= PM+PN′ +MN=MN+MN′= b+a/2.

2 把這個模型放在多邊形中，以三角形或特殊四邊形為背景，利用特殊三角的對稱軸作為“河流”或特殊四邊形的對角線為“河流”來設(shè)計題目

數(shù)學(xué)來源于生活，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.飲馬問題在日常生活中經(jīng)常遇到，怎樣節(jié)省材料降低成本需求最小值，這對于我們構(gòu)建環(huán)境友好型、資源節(jié)約型的美麗中國有著重要的意義.

參考文獻：

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[3] 覃秀敏，劉運龍，張金江.從“將軍飲馬問題”談模型思想的滲透[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2021（02）：29-30.[責(zé)任編輯：李璟]