膨脹性土壤中水分反常吸附的分形導(dǎo)數(shù)模型1)

田沛博 梁英杰

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院,南京 211100)

膨脹性土壤是含有較多親水性礦物成分,具有明顯的吸水膨脹和失水收縮特性的塑性土。由于其對環(huán)境濕熱變化敏感,性質(zhì)極不穩(wěn)定。按黏土礦物分類,可以將膨脹土歸納為兩大類。一類以蒙脫石為主；另一類以伊利石土和高嶺土為主。按膨脹性分類可分為弱膨脹、中膨脹、強(qiáng)膨脹三類[1]。土壤膨脹變形受初始含水量[2]以及自重應(yīng)力[3]的影響,具有明顯的非線性流變特征[4-5],并且膨脹力和膨脹變形隨土壤增濕程度增加而增加。在水分滲透吸附的過程中,水分會(huì)進(jìn)入土壤間的孔隙,可侵入黏土的層間,與此同時(shí)會(huì)逐漸滲透入土體顆粒,引起黏土體積增大的現(xiàn)象。不同污染物在膨脹性土層的擴(kuò)散過程、含水層在復(fù)雜土壤中的滲透過程、垃圾填埋場的選址以及海水倒灌過程均涉及水分在膨脹性土壤中運(yùn)移規(guī)律這一問題。因此研究膨脹性土壤累積吸附過程對工程建設(shè)與維護(hù)和自然環(huán)境保護(hù)以及新材料的研發(fā)具有重要意義。

吸附性可以解析地定義為土壤含水量和擴(kuò)散系數(shù)的函數(shù)。研究表明,水分在均質(zhì)、各向同性的環(huán)境中,其擴(kuò)散為菲克擴(kuò)散[6-8],其均方位移為時(shí)間的線性函數(shù)〈x2〉～t,但在膨脹性土壤中的擴(kuò)散過程較為復(fù)雜,不是菲克擴(kuò)散,而是反常擴(kuò)散,其均方位移為時(shí)間的非線性函數(shù)關(guān)系〈x2〉～tα,當(dāng)階數(shù)α>1 時(shí)為快擴(kuò)散,α <1 時(shí)為慢擴(kuò)散。因此,膨脹性土壤中水分吸附過程偏離正常吸附,為反常吸附過程[9]。近年來,分形導(dǎo)數(shù)已成功應(yīng)用于反常輸運(yùn)相關(guān)的物理問題上[10-15],目前的一些主要工作如下。陳文等[16]采用分形Richards 方程推導(dǎo)出更一般的非均質(zhì)土壤入滲率,并分析了與現(xiàn)有水文模型的關(guān)系,其中分形導(dǎo)數(shù)的階數(shù)能夠刻畫土壤的非均質(zhì)性。曲藝等[17]以Sierpinski 分形地毯構(gòu)建孔隙分形模型模擬多孔介質(zhì)空間結(jié)構(gòu),并根據(jù)隨機(jī)行走模型模擬反常擴(kuò)散過程。王書鴻等[18]利用時(shí)空分形導(dǎo)數(shù)模型刻畫了軟物質(zhì)的磁共振信號(hào)衰減的規(guī)律,用以表征和區(qū)分軟物質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。Su[19]分析了剛性和膨脹性介質(zhì)中水分滲流的機(jī)制,將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入擴(kuò)散方程中,在物質(zhì)坐標(biāo)下給出了累積吸收、吸收速率和反常吸附率的一般方程。隨后Su[20]通過考慮重力項(xiàng)的影響,推導(dǎo)了膨脹性多孔介質(zhì)中水分運(yùn)動(dòng)的分?jǐn)?shù)階Fokker–Planck 方程,并給出了方程的基本解。Voller[21]通過滲透實(shí)驗(yàn),構(gòu)建了不同入滲情況下粒子運(yùn)動(dòng)的模型,證明了介質(zhì)的非均質(zhì)性與反常擴(kuò)散之間的相關(guān)性。張東輝等[22]采用有限容積法構(gòu)建了粒子在多孔介質(zhì)中熱傳導(dǎo)反常擴(kuò)散模型?；诂F(xiàn)有的工作,本文將采用分形導(dǎo)數(shù)建立反常吸附模型,準(zhǔn)確刻畫膨脹性土壤中水分的吸附過程。

需要指出的是,膨脹土受干濕循環(huán)過程的影響,土壤顆粒會(huì)不同程度地膨脹或收縮。對于膨脹性土壤,使用經(jīng)典的固定坐標(biāo)是不合適的。本文考慮引入物質(zhì)坐標(biāo)[15]作為描述膨脹性介質(zhì)吸附過程的媒介。達(dá)西定律描述了流體相對于相對不動(dòng)的黏土顆粒的流動(dòng),該物質(zhì)坐標(biāo)理論是基于參考黏土質(zhì)量分布而定義的長度標(biāo)度,而不是傳統(tǒng)的固定長度標(biāo)度而發(fā)展而來的[23]。物質(zhì)坐標(biāo)反映固體土壤顆粒的體積與水分的體積之間的關(guān)系,通過含水率在垂向的積分體現(xiàn)。物質(zhì)坐標(biāo)是含水率和空間位置坐標(biāo)的函數(shù),通過在垂直方向上積分可以計(jì)算出含水率累積吸附量,是描述膨脹土累積吸附的有效工具。因此,本文將基于物質(zhì)坐標(biāo)下的分形導(dǎo)數(shù)模型,描述膨脹性土壤中水分的累積吸附過程。

1 分形導(dǎo)數(shù)累積吸附模型

1.1 物質(zhì)坐標(biāo)與分形導(dǎo)數(shù)

物質(zhì)坐標(biāo)不是基于傳統(tǒng)的長度標(biāo)度,而是基于由吸附劑質(zhì)量分布定義的長度標(biāo)度,或者當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)總質(zhì)量恒定時(shí),根據(jù)兩個(gè)互擴(kuò)散組分的質(zhì)量分布而定義的[23]。考慮到膨脹土壤的特性,采用物質(zhì)坐標(biāo)描述其膨脹性。膨脹性介質(zhì)的物質(zhì)坐標(biāo)定義為[24]

其中z為垂直方向上通常的空間坐標(biāo),e為孔隙比,e=?/(1??),?=?l/?s為含水率,?l和?s分別為液體和固體的體積分?jǐn)?shù)[25-26]。

膨脹性土壤中累積吸附的計(jì)算表達(dá)式[27-28]為

其中t為時(shí)間。

時(shí)間分形導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式[15]為

當(dāng)t0=0 時(shí),則式(3) 簡化為

空間上的分形導(dǎo)數(shù)為

式(3)～式(5) 中的α和β分別為時(shí)間和空間分形導(dǎo)數(shù)的階數(shù),可以描述粒子運(yùn)動(dòng)的分形軌跡,描述介質(zhì)的空間分形維數(shù)。構(gòu)建分形導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散方程時(shí)[15],通常采用的分形導(dǎo)數(shù)為

其中p(x,t) 是時(shí)刻t下,空間位置x對應(yīng)的粒子濃度。

在基于非歐距離理論的尺度變換下

分形時(shí)空中的擴(kuò)散方程

其中,Dα,β為擴(kuò)散系數(shù),是坐標(biāo)下的拉普拉斯算子,其基本解為

采用式(8),可以得到擴(kuò)展高斯分布

當(dāng)α=1,β=1 時(shí),式(11) 退化為高斯分布。時(shí)空分形導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散模型對應(yīng)粒子的均方位移為[18]

1.2 膨脹性土壤累積吸附的分形導(dǎo)數(shù)模型

根據(jù)物質(zhì)坐標(biāo),建立膨脹性土壤中水分吸附的時(shí)間分形導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散波動(dòng)模型。物質(zhì)坐標(biāo)下的分形導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散波動(dòng)方程為

其中α(0< α≤2) 為時(shí)間分形導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。1<α≤2 表征快吸附,0< α <1 為慢吸附,α= 1 時(shí)為正常吸附；Dm為擴(kuò)散系數(shù),cm2/h。初值條件為?=?i,t= 0,m >0,邊界條件為?=?0f(t),t >0,m=0；? →0,m →∞。其中f(t)為時(shí)間依賴的函數(shù),?0為土壤表面含水率,?i為初始含水率。

物質(zhì)坐標(biāo)下的分形導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散波動(dòng)方程的基本解為

根據(jù)式(14),物質(zhì)坐標(biāo)m為

結(jié)合式(2) 和式(15),推導(dǎo)分形導(dǎo)數(shù)模型對應(yīng)膨脹性土壤中的累積吸附量

圖1 給出了式(16)中不同時(shí)間分形導(dǎo)數(shù)的階數(shù)(α=0.4,0.6,0.8,1.0),Dm=1 cm2/h,?i=0.000 1和?0=0.000 2 對應(yīng)的累積吸附曲線。由圖1 可見,α的值越小,累積吸附量增長得越慢。

圖1 分形導(dǎo)數(shù)模型的不同階數(shù)α=0.4,0.6,0.8,1.0對應(yīng)的累積吸附曲線Fig.1 Curves of cumulative adsorption for α=0.4,0.6,0.8,1.0 in the fractal derivative model

需要指出的是,傳統(tǒng)模型即整數(shù)階模型,對應(yīng)膨脹性土壤中水分累積吸附量的表達(dá)式為

式中,S為土壤滲吸率,cm/h1/2。

2 分形導(dǎo)數(shù)模型應(yīng)用與驗(yàn)證

2.1 膨脹性黑土中累積吸附過程應(yīng)用實(shí)例

該實(shí)驗(yàn)中使用的膨脹性土壤為0.5～1.0 mm 的黑土表層團(tuán)聚體對應(yīng)的累積吸附數(shù)據(jù)[29]。實(shí)驗(yàn)中使用了直徑為5.09 cm,長為90 cm 的有機(jī)玻璃柱,其結(jié)構(gòu)類似于土柱。入滲測量采用與土柱相同的方式進(jìn)行,隨著入滲的進(jìn)行,張力計(jì)元件插入濕潤鋒后面。當(dāng)柱底出現(xiàn)毛細(xì)管條紋并達(dá)到穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí),實(shí)驗(yàn)終止。由此,在水流達(dá)到穩(wěn)定之前,可以得到入滲水分隨著時(shí)間的累積吸附曲線。

分別采用分形導(dǎo)數(shù)模型和整數(shù)階模型,即式(16)和式(17)擬合黑土中的水分累積吸附量,其中?0=0.04,?i=0.32。運(yùn)用非線性最小二乘法估計(jì)模型的參數(shù),并計(jì)算均方根誤差,計(jì)算公式為

其中I1為擬合結(jié)果,I0為實(shí)際累積吸附,n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

得到分形導(dǎo)數(shù)模型的參數(shù)α= 0.87,表明水分在黑土中的吸附過程為慢吸附。土壤擴(kuò)散系數(shù)Dm=43.12 cm2/h,模擬結(jié)果的均方根誤差e0= 0.002 7。整數(shù)階模型的土壤滲吸率S=5.80 cm/h1/2,均方根誤差e0=1.264 9。圖2 給出了整數(shù)階以及分形導(dǎo)數(shù)模型累積吸附I ?t的對比曲線。由圖2 可知,由于膨脹性土壤在擴(kuò)散前期具有較強(qiáng)的吸附性,隨著吸附量逐漸增加,土壤吸附水分的速率也逐漸放緩,分形導(dǎo)數(shù)模型在預(yù)測膨脹性土壤中水分累積吸附變化過程上具有明顯的優(yōu)勢,均方根誤差較小。

圖2 分形導(dǎo)數(shù)模型和整數(shù)階模型擬合黑土中水分累積吸附量的曲線圖Fig.2 Plots of cumulative adsorption capacity of water in black soil by usingthe fractal derivative modeland integer order model

2.2 砂土中累積吸附的應(yīng)用實(shí)例

對比研究選用膨脹性不明顯的砂土累積吸附實(shí)驗(yàn)[29]。結(jié)合水分在砂土中累積吸附的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),用上述類似的方法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),擬合得到分形導(dǎo)數(shù)模型累積吸附方程中最合適的匹配參數(shù),參數(shù)的值為：α=1.91,Dm=36.37 cm2/h,均方根誤差e1=0.004 8。整數(shù)階模型的土壤滲吸率S=6.80 cm/h1/2,均方根誤差e0=2.174 7。圖3 給出了整數(shù)階以及分形導(dǎo)數(shù)模型對應(yīng)累積吸附量I ?t的對比曲線。由圖3 可知,對于砂土中的水分吸附過程,分形導(dǎo)數(shù)模型在時(shí)間分形尺度上與傳統(tǒng)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型相比具有較好的擬合效果。并且時(shí)間分形導(dǎo)數(shù)模型的階數(shù)大于1 表明水分在此種砂土中的累積吸附為快吸附,膨脹性不明顯。

圖3 分形導(dǎo)數(shù)模型和整數(shù)階模型擬合砂土中水分累積吸附量的曲線圖Fig.3 Plots of cumulative adsorption of water in the sand by using the fractal derivative model and integer order model

3 結(jié)論

本文基于物質(zhì)坐標(biāo)建立了膨脹土中水分吸附的分形導(dǎo)數(shù)模型,推導(dǎo)了膨脹性土壤累積吸附與時(shí)間的關(guān)系,其中時(shí)間分形導(dǎo)數(shù)模型的階數(shù)能夠表征水分在膨脹性土壤中擴(kuò)散類型,并表征介質(zhì)的非均質(zhì)性。通過兩個(gè)實(shí)例,觀察到膨脹性土壤具有較明顯的吸附特征,其累積吸附對應(yīng)分形導(dǎo)數(shù)階數(shù)的值小于1,表明黑土的吸附過程為慢吸附。砂土累積吸附對應(yīng)分形導(dǎo)數(shù)階數(shù)的值大于1,基本不考慮其吸附力作用。此外膨脹性土壤的累積吸附系數(shù)也是反映土壤結(jié)構(gòu)特征的另一個(gè)重要指標(biāo),需要與分形導(dǎo)數(shù)模型的階數(shù)同時(shí)考慮,其相關(guān)性還需要進(jìn)一步研究。

通過上述實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了分形導(dǎo)數(shù)模型的可行性,并且可以得到分形導(dǎo)數(shù)模型在描述膨脹性土壤反常吸附過程較傳統(tǒng)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型的優(yōu)勢,分形導(dǎo)數(shù)的擬合精度較高,能夠較為全面地表征和預(yù)測累積吸附的演化規(guī)律,并能夠?qū)ε蛎浶酝寥赖奈竭^程進(jìn)行分類。需要指出的是,對于文獻(xiàn)[19] 提出的物質(zhì)坐標(biāo)下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型,采用的是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)非局部算子,對應(yīng)的物質(zhì)坐標(biāo)是無窮級數(shù)的形式。為方便計(jì)算,僅采用無窮級數(shù)的前兩項(xiàng)推導(dǎo)得到了累積吸附的表達(dá)式,該累積吸附為時(shí)間的冪函數(shù),其中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為1 時(shí),退化為正常吸附。該簡化方法降低了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型的精度。而物質(zhì)坐標(biāo)下的分形導(dǎo)數(shù)模型則不存在此問題。本文的工作為地下土體環(huán)境污染的治理和修復(fù)提供了新的理論參考。后續(xù)將結(jié)合不同類型的膨脹性土壤水分以及溶質(zhì)的吸附實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證和推廣本文的工作。