小波分析在直升機結構損傷識別中的應用

王鵬飛 李瑋

（中國直升機設計研究所，江西景德鎮(zhèn) 333001）

1.一維連續(xù)小波變換

小波分析是一種變分辨率的時頻分析工具[1]，很適合探測、識別、分析正常信號中夾雜著的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象，故被譽為“數(shù)學顯微鏡”，被廣泛應用于信號處理、語音識別、故障診斷等領域，并取得了良好的效果[2]。

設ψ(t)=L2(R)，它的傅里葉變換是ψ(w)，當ψ(w)滿足完全重構條件：

此時ψ(t)稱為一個基本小波，將ψ(t)平移和壓縮后得：

ψ(t)被稱為小波序列；a是伸縮因子，體現(xiàn)了被分析信號的頻率信息；b是平移因子，體現(xiàn)了被分析信號的時間信息；ψa,b(t)為小波函數(shù)。對于任意的函數(shù)f(t)∈L2(R)，其連續(xù)小波變換為：

重構公式是：

設θ(t)是可以起光順效果的低通平滑函數(shù)，且θ(t)滿足。小波函數(shù)ψ(t)是這個低通平滑函數(shù)的一階導數(shù)，因此ψ(t)=dθ(t)/dt。因為θ(t)是1/(1+t2)的高階無窮小，可以得到θa(t)=aθ(t/a)。

因此小波變換最后可以表示為：

由此可見，對需要分析的信號使用小波變換后再求導，等同于用小波函數(shù)的一階導數(shù)對該信號進行小波變換[3]。x(t)經(jīng)過低通平滑函數(shù)θ(t)平滑后的倒數(shù)與Wx(a,t)成正比。Wx(a,t)沿著時間序列的最值點對應了x(t)＊θa(t)的拐點位置，也就是信號的突變點[4]。所以小波變換后的模極大值點對應著采集信號中的突變點。

2.有限元模型

2.1 幾何尺寸與邊界條件

為了研究使用小波分析基于監(jiān)測信息定位損傷位置以及損傷程度的方法，以直升機框梁下部區(qū)域的腹板為研究對象，建立了如圖1所示的模型。其板長度a=290mm，寬度b=145mm，厚度t=2mm，鋁合金材料泊松比γ=0.33，彈性模量E=71000MPa，密度ρ=2823kg/m3。

圖1 腹板位置與含損傷有限元模型圖

腹板的網(wǎng)格劃分采用shell單元，施加四邊簡支邊界條件，在左側區(qū)域預置2個深度為0.4mm的凹坑，在右側區(qū)域預置1個深度為0.8mm的凹坑，計算含損傷鋁合金平板的振動模態(tài)。

2.2 模態(tài)程序驗證

通過使用蘭索斯法對板的振動模態(tài)進行分析，可以求出板的振型模態(tài)和轉角模態(tài)，并驗證數(shù)值計算結果的準確性，對于四邊簡支板，板的各階固有圓頻率存在理論解，公式為，計算腹板的第一階自振頻率為286.4Hz，數(shù)值解為286.2Hz，二者吻合（見表1），程序能正確計算板的一階振動模態(tài)。

表1 腹板一階自振頻率理論解與數(shù)值解對比表

板的一階振型模態(tài)和轉角模態(tài)如圖2所示。

圖2 含缺陷平板的振型模態(tài)和轉角模態(tài)

3.小波分析方法識別腹板的損傷

3.1 系數(shù)極大值點與信號中的突變點

直升機腹板在服役過程中會存在一定的損傷，如圖3所示。此時板厚減少，該區(qū)域的剛度D=Et3/[12＊(1-μ2)]降低。其中E為彈性模量，t為板厚，μ為泊松比。含損傷腹板結構仍然滿足變形協(xié)調方程以及內力平衡方程：

圖3 含損傷的四邊簡支腹板模型

根據(jù)變形協(xié)調條件，損傷邊界處撓度相同

根據(jù)內力平衡條件，損傷邊界處彎矩相同

其中x1-，x1+分別為損傷邊界左右兩側出的坐標值。

因為D(x1-,y)≠D(x1+,y)，所以，所以板損傷處撓曲線二階偏導數(shù)在邊界處不連續(xù)，即奇異性，可以通過小波變換后根據(jù)系數(shù)的模極大值點確定測量信號中的突變點，進而識別直升機腹板損傷的位置。

3.2 基于轉角模態(tài)信息的損傷識別

使用Haar小波對板的轉角模態(tài)信號進行小波分解，分析發(fā)現(xiàn)板節(jié)點的轉角信號是連續(xù)無間斷的，但是在損傷位置處，出現(xiàn)了小波系數(shù)的突變點，如圖4所示。在存在0.4mm深度缺陷位置處，出現(xiàn)模極大值，可根據(jù)小波系數(shù)的突變點定位腐蝕損傷的位置。小波分析也能進行邊緣檢測，因為板邊緣處節(jié)點的信號特性會發(fā)生突變，所以在邊緣節(jié)點處，小波分析也會出現(xiàn)模極大值點，應該人為分析后舍棄。

圖4 轉角模態(tài)的小波分解系數(shù)曲線圖

與下側缺陷相比，上部區(qū)域發(fā)生了2處深度不同的損傷，分別為0.4mm和0.8mm，使用Haar小波對轉角模態(tài)信號進行一維連續(xù)小波分解，可以發(fā)現(xiàn)小波系數(shù)的模極大值點有2個，分別對應2個腐蝕損傷發(fā)生的位置。并且損傷程度越嚴重，小波系數(shù)模的絕對值越大。因此小波分析不僅可以用于分析損傷位置，還能確定損傷的嚴重程度。

通過對比分析可知，使用小波分析可以進行損傷的定位與損傷程度監(jiān)測。小波信號出現(xiàn)模極大值點的位置對應有損傷發(fā)生；當有2個位置存在損傷時，損傷程度大的位置小波系數(shù)模值更大。

3.3 小波基類型的影響

小波基函數(shù)不是唯一的，任何滿足小波條件的函數(shù)都可以作為一個小波基，也可根據(jù)特定問題建立一個小波基。常見的小波類型有Haar小波、dbN小波、morlet小波、Mexh小波等，需要研究小波類型對含缺陷板損傷識別準確度的影響，如圖5和圖6所示。

圖5 db2小波形狀與小波系數(shù)曲線圖

圖6 Mexh小波形狀與小波系數(shù)曲線圖

可知選用不同的小波基，對轉角模態(tài)進行小波分解時，都會出現(xiàn)小波系數(shù)模的極大值點，從而實現(xiàn)損傷位置的識別。

4.結論

本文針對含損傷鋁合金腹板結構，在建立數(shù)值模型的基礎上，采用蘭索斯法計算板的振動模態(tài)，并基于板自振時的轉角模態(tài)，使用小波分析方法準確定位了損傷的位置及程度，主要結論如下：

（1）對板在一階自振時的轉角模態(tài)進行小波分析，可以定位損傷的位置和程度，在小波系數(shù)的模極大值點的位置對應有損傷發(fā)生。當有2個位置存在損傷時，損傷程度大的位置小波系數(shù)模值更大。

（2）使用不同的小波基對信號進行小波分解，如Haar小波、dbN小波等都可根據(jù)小波系數(shù)模的極大值點實現(xiàn)損傷識別。