需求不確定下的網(wǎng)約車司機最優(yōu)工資水平研究

王景鵬，祝蕊，王鵬飛

(1.山東大學(xué)，a.管理學(xué)院，b.社會超網(wǎng)絡(luò)計算與決策模擬實驗室，濟南 250100；2.燕山大學(xué)，河北省土木工程綠色建造與智能運維重點實驗室，河北秦皇島 066004；3.河北科技師范學(xué)院，秦皇島市交通系統(tǒng)智能分析與決策重點實驗室，河北秦皇島 066004)

0 引言

伴隨著移動互聯(lián)技術(shù)和GPS 定位技術(shù)的快速發(fā)展，基于需求的網(wǎng)約車出行發(fā)展迅猛。網(wǎng)約車出行模式通過盤活社會閑置資源，將尋求出行服務(wù)的乘客和愿意提供服務(wù)的司機連接在一起，提高了交通系統(tǒng)的運行效率。

國內(nèi)外關(guān)于網(wǎng)約車出行系統(tǒng)乘客收費和司機工資機制設(shè)計的研究有很多。BAI 等[1]研究了收費-工資對于價格敏感型乘客和工資敏感型司機的影響，并探討當出行平臺最大化利潤時的收費-工資機制。TAYLOR[2]研究乘客等待時間參數(shù)的不確定性對網(wǎng)約車系統(tǒng)中收費和工資水平的影響。BIMPIKIS 等[3]研究交通網(wǎng)絡(luò)中的空間收費對網(wǎng)約車平臺利潤的影響。依據(jù)傳統(tǒng)的瓶頸模型，WANG等[4]研究了合乘出行下的司機-乘客間的收費-工資機制設(shè)計問題。針對高峰時需求激增現(xiàn)象，YANG 等[5]從司機工資層面設(shè)計了紅包獎勵機制。研究發(fā)現(xiàn)，在某些情況下，乘客、司機以及平臺都會受益。對共享出行中乘客收費和司機工資水平設(shè)計的研究，WANG 等[6]做了總結(jié)性的評述。另外，很多學(xué)者還從運作管理的角度，將收費-工資研究擴展到了以網(wǎng)約車出行平臺為代表的一般化的按需服務(wù)平臺，例如，YU 等[7]和WANG 等[8]。趙道致等[9]研究不同監(jiān)管目標的網(wǎng)約車服務(wù)價格管制策略；在考慮等待時間的基礎(chǔ)上，趙道致等[10]研究了網(wǎng)約車與出租車的均衡定價問題；彭向等[11]基于社會福利最大化，研究網(wǎng)約車平臺定價機制設(shè)計。除此之外，在共享汽車領(lǐng)域，王寧等[12]分析了動態(tài)定價對消費者取車、還車行為的影響機制，構(gòu)建動態(tài)定價機制下共享汽車自適應(yīng)調(diào)度模型。

但是，現(xiàn)有研究大多假設(shè)在當前時段網(wǎng)約車平臺獲知了準確的乘客出行需求，在此基礎(chǔ)上，進行相應(yīng)的收費和司機工資水平策略研究[1-3]；或者假設(shè)工資是收入的固定比例。然而，現(xiàn)實中乘客需求具有極大的不確定性。網(wǎng)約車平臺只有在時段末端才能獲知全部的乘客需求，如果此時再制定司機工資水平，吸引數(shù)量足夠多的司機提供出行服務(wù)，則具有一定的時間滯后性，很難滿足即時乘客需求，從而導(dǎo)致乘客取消訂單，降低交通系統(tǒng)的運行效率。而且，固定比例的工資機制過于保守和僵化，平臺很難調(diào)控供需關(guān)系。

因此，本文研究的主要問題是：在乘客出行需求不確定的情況下，以利潤最大化為目標的網(wǎng)約車平臺如何制定司機工資水平，才能夠吸引足夠數(shù)量的司機提供出行服務(wù)。本文對乘客出行需求不確定性問題進行方法論研究，給出最優(yōu)工資水平的建模思路和求解框架，并在此基礎(chǔ)上分析司機工資水平。

1 模型構(gòu)建

考慮網(wǎng)約車出行系統(tǒng)的現(xiàn)實特點，對模型做出以下假設(shè)：

假設(shè)1 某一時段內(nèi)，當平臺制定乘客收費標準時，會預(yù)估得到乘客最大出行需求。

假設(shè)2 某一時段內(nèi)，每個乘客只能完成單次出行，乘客出行具有同質(zhì)性。

假設(shè)3 某一時段內(nèi)，乘客出行需求數(shù)量隨機分布，但其概率分布函數(shù)已知。

假設(shè)4 為吸引更多網(wǎng)約車司機提供出行服務(wù)，平臺提供更高的工資水平；司機的服務(wù)速度為1，即單位時段內(nèi)每個司機服務(wù)一個乘客。

以上4個假設(shè)符合現(xiàn)實場景。實際工作中，網(wǎng)約車平臺通過早高峰時段上調(diào)車費，普通時段降低費用，一方面鼓勵錯峰出行，減少擁堵；另一方面，平臺調(diào)控了出行市場需求-供給關(guān)系，使需求與供給得到更好的匹配。在不同時段，平臺對乘客的收費與最大乘客需求呈現(xiàn)動態(tài)性；而在某一具體時段內(nèi)，收費與出行需求呈現(xiàn)確定性關(guān)系。雖然，網(wǎng)約車平臺通過歷史數(shù)據(jù)挖掘等方法獲知某一時段的乘客最大出行需求，但由于出行需求的隨機性，平臺事前無法獲知準確的出行信息。與文獻[1]、文獻[2]及文獻[7-8]一致，本文假設(shè)在某一時段內(nèi)，乘客只能完成單次出行，且出行活動具有同質(zhì)性(相同的出行距離)。將出行距離異質(zhì)化雖然可能帶來新的分析亮點，但將增加問題處理的復(fù)雜度。為分析方便，本文假定出行距離是同質(zhì)的。司機根據(jù)網(wǎng)約車平臺提供的工資水平?jīng)Q定是否提供出行服務(wù)。一般而言，工資水平越高，司機越有意愿提供出行服務(wù)；反之，則不然。為吸引足夠數(shù)量的司機提供搭乘服務(wù)，網(wǎng)約車平臺需要提供足夠高的工資水平。

令pi,Qi,xi,wi,ki,qi分別代表i時段的乘客收費、最大乘客需求、隨機到達的乘客數(shù)量、司機工資水平、愿意提供服務(wù)的司機人數(shù)以及乘客-司機匹配率。為便于標記，在后面的分析中，統(tǒng)一省略下標i。

根據(jù)假設(shè)4，當工資水平上升時，會有更多的網(wǎng)約車司機提供服務(wù)，即司機為追求收入最大化，只考慮替代效應(yīng)而不考慮收入效應(yīng)。根據(jù)勞動供給理論，假設(shè)某一時段內(nèi)，網(wǎng)約車出行系統(tǒng)中愿意提供服務(wù)的司機人數(shù)k是工資水平w的增函數(shù)，即

式中：K為愿意提供出行服務(wù)的最大司機數(shù)量；w為某時段內(nèi)網(wǎng)約車平臺提供給司機的工資水平，滿足，即為使得更多的司機有意愿提供服務(wù)，平臺需要提供更高的工資水平。

用x表示某一時段的乘客真實出行需求；F(·)表示累積概率分布函數(shù)，滿足：F(0)=0，F(xiàn)(∞)=1；f(·)表示乘客出行需求的概率密度分布函數(shù)。盡管某一時段內(nèi)乘客真實出行需求存在不確定性，但網(wǎng)約車平臺可以通過歷史數(shù)據(jù)挖掘等多種方法預(yù)測乘客出行需求分布函數(shù)。假設(shè)每個乘客只能完成單次出行，則司機的服務(wù)速度為1，即在每時段內(nèi)，每個司機只能服務(wù)一個乘客。乘客真實出行需求x是一個隨機變量，既可能大于愿意提供服務(wù)的司機人數(shù)k(此時，部分出行需求不能被滿足)，也可能小于愿意提供服務(wù)的司機人數(shù)k(此時，所有出行需求都能被滿足)。

與文獻[8]一致，本文采用“一對一”精準匹配表述供給-需求匹配函數(shù)，某一時段匹配成功的乘客-司機數(shù)量由該時段的乘客需求和車輛數(shù)的最小值決定，即匹配率是乘客出行需求與司機服務(wù)供給的最小值，計算公式為

當網(wǎng)約車出行系統(tǒng)達到均衡時，在給定的工資水平w下，愿意提供出行服務(wù)的司機不會退出網(wǎng)約車出行系統(tǒng)，即均衡下的司機人數(shù)為k。對于隨機到達的乘客出行需求x，網(wǎng)約車平臺利潤函數(shù)為

式(3)給出不同情形下的網(wǎng)約車平臺利潤。研究發(fā)現(xiàn)，乘客出行需求會影響網(wǎng)約車平臺的利潤。由于網(wǎng)約車平臺的目標是考慮需求隨機性下的利潤最大化，因此，其目標可以被描述為數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，即

服從于

定理1 最優(yōu)化問題至少存在一個最優(yōu)解。

證明：由于式(4)目標函數(shù)的連續(xù)性，且決策變量w的可行集是緊的閉集，因此，最優(yōu)化問題式(4)至少存在一個最優(yōu)解。

2 網(wǎng)約車出行系統(tǒng)均衡

在乘客出行需求服從均勻分布的特殊情形下，分析式(4)的解析性，目的是為了得到封閉解，探索乘客出行需求不確定下網(wǎng)約車出行系統(tǒng)的均衡性質(zhì)。

基于假設(shè)1，最大乘客出行需求Q是基于時段的。當時段劃分較為密集時(例如，每0.5 h 為1 個時段)，可以認為乘客出行需求服從0～Q之間的均勻分布：x～U[0,Q]。

由于司機追求收入最大化，在不考慮收入效應(yīng)的前提下，更高的工資水平會導(dǎo)致更多的司機提供出行服務(wù)。根據(jù)式(1)，假設(shè)愿意提供服務(wù)的司機人數(shù)k是關(guān)于工資水平的線性增函數(shù)，即

式中：愿意提供出行服務(wù)的最大司機數(shù)量K滿足K≥Q，表示愿意提供出行服務(wù)的最大司機數(shù)量大于乘客最大出行需求，現(xiàn)實中潛在的司機數(shù)量確實遠大于乘客出行需求；η為固定參數(shù)，η越大，表示工資水平的每單位增加值會導(dǎo)致更多的司機提供出行服務(wù)，司機供給曲線越陡峭，因此，參數(shù)η客觀反映了網(wǎng)約車平臺對出行系統(tǒng)中司機的影響力。現(xiàn)實中，影響力可以反映在平臺的市場壟斷力量和司機對平臺的依賴度等。一般來說，平臺的市場份額越大，壟斷程度越大，其影響力越高。在其他條件相同的情況下，市場份額較大的網(wǎng)約車平臺可以獲得更高的利潤。在市場培育初期，許多網(wǎng)約車公司為了獲取較大的市場份額而給司機提供補貼，目的是吸引較多的自駕車司機加入網(wǎng)約車系統(tǒng)中，從而占據(jù)較大的市場份額，獲取一定的壟斷力量；當市場較為成熟時，用戶對于某網(wǎng)約車平臺的接受認可程度較高，用戶黏性度較高，其影響力增強，工資水平的每單位增加值會導(dǎo)致更多的司機提供出行服務(wù)。當影響力足夠高時，可能呈現(xiàn)出“店大欺客”的社會現(xiàn)象。由式(6)得到k≤K，即

證明：反證法。假設(shè)網(wǎng)約車平臺目標最優(yōu)時k＞Q，即，網(wǎng)約車平臺期望的提供服務(wù)的司機數(shù)量大于乘客最大出行需求，此時，網(wǎng)約車平臺可以通過降低工資水平而減少司機數(shù)量，達到增大利潤的目的。因此，必然有k≤Q。由式(6)得到

由于K≥Q，因此，網(wǎng)約車平臺目標最優(yōu)時有

將式(6)代入式(4)，網(wǎng)約車平臺的利潤函數(shù)為

最優(yōu)情況下，由一階最優(yōu)性條件得到

由此可得

由式(9)可知，此時，需要滿足不等式p-2w≥0成立，即因此，結(jié)合定理2，得到最優(yōu)工資水平約束為

由于假設(shè)乘客出行需求服從均勻分布x～U[0,Q]，故f(x)=，關(guān)系式為

將式(10)代入式(9)可得

將式(11)展開，為了求得最優(yōu)解，需求解方程，即

上述關(guān)于w的一元二次函數(shù)的兩個解w1,w2分別為

當ηpK≥Q，得到；當ηpK＜Q，得到，因此，一元二次函數(shù)式(12)存在唯一最優(yōu)解w*=w2。

此外，由于w2=，因此，當當ηpK＞因此，最優(yōu)解w*=w2，滿足式(9)中的要求。

由此得到乘客出行需求服從均勻分布下的司機最優(yōu)工資水平和愿意提供出行服務(wù)的司機數(shù)量。研究發(fā)現(xiàn)，存在最優(yōu)的最優(yōu)工資水平w*使得網(wǎng)約車平臺利潤最大，其值與參數(shù)η、p、K、Q相關(guān)，可以指導(dǎo)網(wǎng)約車平臺制定司機工資水平。根據(jù)本文提出的模型，網(wǎng)約車平臺可以獲得給定參數(shù)η、p、K、Q下的最優(yōu)工資水平w*和愿意提供服務(wù)的司機數(shù)量k*，獲知平臺的最大利潤。

3 參數(shù)敏感性分析

敏感性分析考察乘客最大出行需求Q和網(wǎng)約車平臺對司機影響力的變化對最優(yōu)工資水平w*和司機人數(shù)k*的影響。

定理3 在其他參數(shù)不變的情況下，隨著乘客最大出行需求的增加，司機工資水平增加，愿意提供出行服務(wù)的司機數(shù)量增加。

證明：將最優(yōu)工資水平w*和愿意提供服務(wù)的司機數(shù)量k*對最大乘客需求Q取一階導(dǎo)數(shù)，得到

(1)如果ηpK≥4Q，得到

(2)如果ηpK＜4Q，則有

因此，無論ηpK與4Q大小關(guān)系如何，最優(yōu)工資水平與司機人數(shù)都隨著乘客最大出行需求Q的增大而增大。

定理3 說明，在乘客最大出行需求比較大的早、晚高峰期間，網(wǎng)約車平臺可以適當調(diào)高司機工資水平，調(diào)動更多的司機提供出行服務(wù)，獲得更高的利潤；在乘客最大出行需求比較小的時段，網(wǎng)約車平臺可以適當降低司機工資水平。

定理4 在其他參數(shù)不變的情況下，隨著網(wǎng)約車平臺對司機影響力的增強，司機工資水平降低，愿意提供出行服務(wù)的司機數(shù)量增加。

證明：將最優(yōu)工資水平w*和愿意提供服務(wù)的司機數(shù)量k*對網(wǎng)約車平臺影響力參數(shù)η取一階導(dǎo)數(shù)，得到

(1)如果ηpK≤Q，得到

(2)如果ηpK＞Q，則有，得到

定理4說明，網(wǎng)約車平臺可以通過提高自身的影響力降低司機工資水平并增大利潤。

研究發(fā)現(xiàn)，愿意提供服務(wù)的司機數(shù)量k*對參數(shù)Q、η正相關(guān)，最優(yōu)工資水平w*對參數(shù)Q正相關(guān)，對參數(shù)η負相關(guān)。

4 平均值模型

分析平均值模型下網(wǎng)約車系統(tǒng)司機最優(yōu)工資水平以及愿意提供出行服務(wù)的司機數(shù)量，并與前述所建模型作對比分析。

在乘客出行需求服從均勻分布的情況下，x～U[0,Q]，其概率密度函數(shù)?；谄骄的Ｐ停W(wǎng)約車平臺估計的乘客出行需求為此時，網(wǎng)約車平臺的收益函數(shù)需要根據(jù)Q分別討論。

以上問題的最優(yōu)解需要分情形討論：

因此，平均值模型下平臺的最優(yōu)策略為

當Q≤ηKp時，有

當ηKp＜Q≤K時，有

相較于本文提出的模型，平均值模型下，乘客出行需求為最大需求的1/2，這只是平臺對于出行需求的預(yù)估，只代表了1 種可能情形，并未考慮實際交通系統(tǒng)中出行需求的隨機性，例如，由極端惡劣天氣、大型集會活動等突發(fā)事件導(dǎo)致的需求激增現(xiàn)象。因而，平均值策略中條件的成立依賴于概率。本文提出的模型，給出期望利潤最大化下的最優(yōu)解，相較平均值模型具有一定的魯棒性。因此，對于網(wǎng)約車平臺而言，本文提出的模型能夠更好地刻畫現(xiàn)實，是一種考慮較為穩(wěn)妥、風險中性的策略。

推論1 當ηKp≤Q≤K，平均值模型下司機工資水平和愿意提供出行服務(wù)的司機數(shù)量要比本文模型中相關(guān)數(shù)值大。

5 數(shù)值實驗

利用兩個數(shù)值算例進一步驗證本文的結(jié)論。利用從滴滴出行獲取的2017年5月?？谑械某鲂袛?shù)據(jù)集，得到工作日每1 h 段的平均訂單數(shù)據(jù)，如圖1所示。

圖1 工作日訂單數(shù)據(jù)Fig.1 Trip order for working day

由圖1可知，出行需求存在早、晚高峰的潮汐現(xiàn)象，一天之中出行需求變化較為劇烈，峰值為2772單，谷值為230單。

算例1 主要為驗證定理3 的結(jié)論，即最優(yōu)工資水平和司機人數(shù)與最大乘客需求正相關(guān)。由于缺乏最大出行需求數(shù)據(jù)，因此，將每小時的最大出行需求設(shè)為圖1出行數(shù)據(jù)集中的訂單數(shù)據(jù)，設(shè)p=20元，η=0.05，K=3000。司機工資水平及愿意提供服務(wù)的司機人數(shù)變化如圖2所示。

由圖2可知，司機人數(shù)、工資水平與最大出行需求呈現(xiàn)相同變化趨勢，驗證了定理3的結(jié)論。且曲線變化更加平緩，司機人數(shù)和工資水平的變化幅度更小(司機人數(shù)峰值為1245單，谷值為220單；工資水平峰值為8.3元，谷值為1.5元)，說明本文提出的模型綜合考慮了波峰與波谷出行需求，平滑了司機工資水平與司機供給關(guān)系，有效保障網(wǎng)約車平臺利潤，具有一定的魯棒性。

圖2 司機人數(shù)與最優(yōu)工資水平變化Fig.2 Number of drivers and optimal wage level

算例2 主要為考察網(wǎng)約車平臺影響力變化對工資水平和愿意提供服務(wù)的司機數(shù)量的影響。設(shè)K=3000 人，p=20 元，Q=2000 人，網(wǎng)約車平臺影響力η在0.00～0.10之間變化，如圖3所示。

由圖3可知，隨著網(wǎng)約車平臺影響力的增加，司機工資水平降低；而愿意提供服務(wù)的司機人數(shù)卻增加，驗證了定理4的結(jié)論。

圖3 司機人數(shù)與最優(yōu)工資水平變化Fig.3 Number of drivers and optimal wage level

6 結(jié)論

在乘客出行需求不確定的背景下，本文給出求解網(wǎng)約車平臺利潤水平的建模思路和求解框架。由于需求函數(shù)和勞動力供給函數(shù)具有一般性，模型得不到封閉解，因此，本文給出解的特例：假設(shè)乘客出行需求服從均勻分布，且愿意提供服務(wù)的司機人數(shù)是關(guān)于工資水平的線性增函數(shù)。在此假設(shè)下，本文進行分析并做了數(shù)值算例研究。得出如下結(jié)論：

(1)本模型綜合考慮波峰與波谷出行需求，平滑了司機工資水平與司機供給關(guān)系，有效保障網(wǎng)約車平臺利潤，給出了期望利潤最大化下的最優(yōu)解，相較于平均值模型具有一定的魯棒性。

(2)最優(yōu)工資水平隨最大出行需求動態(tài)變化，在優(yōu)化網(wǎng)約車平臺利潤的同時，有效調(diào)控司機供給數(shù)量，平衡波峰、波谷時需求。

(3)網(wǎng)約車平臺的市場影響力間接影響司機工資水平設(shè)定。影響力越大，工資水平越低。