黎曼扭曲乘積流形中的完備超曲面*

張 寧

(河南工學(xué)院 理學(xué)部,河南 新鄉(xiāng)453003)

0 引言

黎曼流形中的超曲面一直是幾何學(xué)家所鐘情的研究領(lǐng)域,也是數(shù)學(xué)的中心之一。它與偏微分方程、復(fù)分析、函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)以及微分幾何的各個(gè)方向都有深刻的聯(lián)系,且已經(jīng)推廣到了高維和高余維。這其中有個(gè)非常重要的唯一性問題,即Bernstein問題。對于歐氏空間中的極小超曲面,Bernstein問題已經(jīng)有了很好的解答,極小超曲面的維數(shù)n≤7時(shí),Fleming[1]、De Giorgi[2]、Almgren[3]和Simons[4]證明了Bernstein定理成立,即當(dāng)極小超曲面可表示為整體圖時(shí)一定是平坦的。但是當(dāng)極小超曲面的維數(shù)n≥8時(shí),Bombieri、De Giorgi和Giusti[5]給出了著名的反例。此外在高余維,Lawson和Osserman[6]也證明了存在反例,那么接下來需要尋找使得Bernstein定理成立的最佳條件。近幾年來,幾何學(xué)家們對這個(gè)困難的問題做出了一些有趣的研究,如將關(guān)于超曲面唯一性的研究拓展到更廣的外圍空間領(lǐng)域。

本文主要研究黎曼扭曲乘積流形中超曲面的唯一性。此外,黎曼扭曲乘積流形是由一個(gè)正定義的區(qū)間作為基,一個(gè)黎曼流形為纖維,一個(gè)正定的光滑函數(shù)為扭曲乘積函數(shù)。在詳細(xì)給出我們的結(jié)果之前,先簡要介紹一下與我們的結(jié)果相關(guān)的一些最近的研究結(jié)果。

Montiel[7]研究了常平均曲率緊致超曲面浸入黎曼扭曲乘積流形中的唯一性,且要求纖維的Ricci曲率和扭曲乘積函數(shù)滿足NCC融合條件。之后,文獻(xiàn)[8,9]拓廣了[7]中的結(jié)論到完備非緊致超曲面。Alias、Impera和Rigoli[9]通過應(yīng)用推廣的Omori-Yau極大法則將[8]中結(jié)果延拓到常高階平均曲率。

我們發(fā)現(xiàn)關(guān)于該唯一性問題的很多研究成果都有相似的要求,即截面曲率有界且滿足合適的融合條件?；谝阎难芯砍晒?本文旨在利用弱極大值法則證明黎曼扭曲乘積流形中拋物的完備超曲面的新的唯一性結(jié)果。第一部分給出黎曼扭曲乘積流形及其超曲面的一些概念與結(jié)論;第二部分證明黎曼扭曲乘積流形中的拋物的完備超曲面的唯一性結(jié)果;第三部分將所得的唯一性結(jié)果推廣至高階平均曲率。此外,作為定理的應(yīng)用我們考慮了一類特殊的超曲面即浸入乘積空間中的超曲面,給出了此超曲面的一些剛性結(jié)果。

1 黎曼扭曲乘積流形及其超曲面

本節(jié)主要回顧黎曼扭曲乘積流形及其超曲面的一些基本理論和基本方程等基礎(chǔ)知識。

令A(yù):Τ(Σ)→Τ(Σ)是超曲面Σn上關(guān)于N的形狀算子。則對于任意點(diǎn)p∈Σn,A限制了一個(gè)自共軛線性算子Ap:Τp(Σ)→Τp(Σ),并且其特征值λ1,…,λn為超曲面Σn的主曲率。此外,對于形狀算子Ap,超曲面Σn上存在n個(gè)代數(shù)不變量,即關(guān)于Ap特征值的r階初等對稱函數(shù)Sr,定義為

我們注意到形狀算子A的特征多項(xiàng)式滿足:

此外,超曲面Σn上的r階平均曲率Hr被定義為

(1)

我們定義A相對應(yīng)的牛頓變換Pr:Τ(Σ)→Τ(Σ)為

Lr(f)=tr(PrHessf)

其中Hessf:Τ(Σ)→Τ(Σ)是f的Hessian算子且等價(jià)于

〈Hessf(X),Y〉=〈Xf,Y〉,X,Y∈Τ(Σ)

此外,由(1)式可知,若Lr是橢圓算子當(dāng)且僅當(dāng)牛頓變換Pr是正定的。顯然,L0=Δ是橢圓算子。

故,高度函數(shù)h在Σn上的梯度表達(dá)式為

特別地,

其中,( )Τ是向量場沿Σn的切叢,而||為向量場在Σn上的范數(shù)。

為了證明我們的結(jié)論,我們需要用到文獻(xiàn)[9]的如下結(jié)果:

引理1 設(shè)ψ:Σn→I×ρMn是浸入黎曼扭曲乘積流形I×ρMn中的超曲面。令h是高度函數(shù),σ(t)是扭曲乘積函數(shù)ρ(t)的原函數(shù),則

Lrh=(logρ)′(h)(crHr-〈Prh,h〉)+crθHr+1

(2)

Lrσ(h)=cr(ρ′(h)Hr+θρ(h)Hr+1)

(3)

接下來,給出我們的主要分析工具,弱極大值法則[11]。

此外,流形F滿足弱極大值法則當(dāng)且僅當(dāng)F是隨機(jī)完備的。

2 黎曼扭曲乘積流形中的唯一性結(jié)果

在本節(jié)中,我們將給出有關(guān)黎曼扭曲乘積流形中完備超曲面的主要結(jié)果。此外,黎曼扭曲乘積流形I×ρMn中的有界塊是指如下類型的區(qū)域:

[t1,t2]×Mn={(t,p)∈I×ρMn:t1≤t≤t2}

通過應(yīng)用弱極大值法則,下面我們給出關(guān)于平均曲率H,角度函數(shù)θ和扭曲乘積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ρ′三者之間的正負(fù)符號關(guān)系,此結(jié)果推廣了作者在文獻(xiàn)[12]中命題8的結(jié)論。

引理2 設(shè)ψ:Σn→I×ρMn為具有非零平均曲率的完備超曲面,且包含于I×ρMn的有界塊中。若H>0,θ在Σn上不變號,并且在Σn上弱極大值法則對Laplacian算子Δ成立。假設(shè)以下兩個(gè)條件中的任意一個(gè)成立:

(i)(logρ)′′≥0,(ii)扭曲乘積函數(shù)ρ單調(diào),則ρ′(h)θ≤0。另一方面,若H<0,則ρ′(h)θ≥0。

證明:由于超曲面包含于一有界塊中,可知h是有界的。首先由h*=infΣh>-∞和弱極大法則在Laplacian算子上成立,可得存在點(diǎn)列{pj}?Σn使得

則

(4)

類似地,利用h*=supΣh<+∞,可找到點(diǎn)列{qj}?Σn使得

則

(5)

(6)

因此(logρ)′(h*)≥0。由(i)(logρ)′′≥0,有

0≤(logρ)′(h*)≤(logρ)′(h)

(7)

所以(logρ)′(h*)≤0。利用(logρ)′′≥0,則

(logρ)′(h)≤(logρ)′(h*)≤0

綜上所述,當(dāng)(i)(logρ)′′≥0時(shí),結(jié)論成立。

另一方面,由以上證明過程我們還可得如果H<0且角度函數(shù)θ不變號,則有ρ′(h)θ≥0。

接下來,我們將證明黎曼扭曲乘積流形中拋物超曲面的唯一性結(jié)果。首先,我們給出下面的引理,并且此引理拓展了文獻(xiàn)[12]中命題7的相應(yīng)結(jié)論。

引理3 設(shè)M是拋物的黎曼流形,u∈C2(M)是M上的正的光滑函數(shù)且u*=supMu<+∞。如果Δu在M上定號,則u在M上是常數(shù)。

證明: 由于Σn是拋物的,利用文獻(xiàn)[13]中的推論6.4可知Σn是隨機(jī)完備的超曲面,故在Σn上弱極大值法則對Laplacian算子Δ成立。此外,結(jié)合定理1中的條件,可得引理2成立。

此外,因?yàn)棣?h)在Σn上有界,所以存在常數(shù)C使得σ(h)≤C。利用引理2,可知σ(h)是常數(shù),故,高度函數(shù)h也是常數(shù)。因此,Σn是一類空片。

同理可證Σn是一類空片。

接下來,類似于H>0中的討論, 我們可得Σn是一類空片。

考慮外圍空間為乘積空間I×Mn,作為定理1的應(yīng)用,我們可得如下結(jié)論。

證明:由等式(2),可知

Δh=nHθ

因?yàn)棣群虷均在Σn上不變號,所以Δh在Σn上也不變號。類似于定理1的證明,我們有Σn是一類空片。

3 延拓至高階平均曲率

在這一節(jié), 我們延拓第2節(jié)中唯一性的結(jié)論至高階平均曲率超曲面上。首先,我們給出引理2拓展至高階平均曲率的情況。

已知,若超曲面上p0∈Σn處所有的主曲率ki(p0),1≤i≤n符號相同,則稱點(diǎn)p0為Σn上的橢圓點(diǎn)。

下面,我們將定理1的結(jié)論推廣到高階平均曲率上,可得定理2,并且定理2拓展了文獻(xiàn)[14]中的相應(yīng)結(jié)論。

因?yàn)镻r在Σn有上界,所以存在常數(shù)β滿足Pr≤βI,即Lrσ(h)≤βΔσ(h)。

類似于推論1,我們可得如下結(jié)論。

證明:由等式(2)可得

Lrh=crHr+1θ

結(jié)合假設(shè)條件有Lrh在Σn上不變號,類似于定理2的證明可知Δh在Σn上也不變號。利用引理3有高度函數(shù)h在Σn上是常數(shù),所以Σn是一類空片。