極限思想在教學(xué)中的漸進(jìn)理解

河北正定師范高等專科學(xué)校 楊曉然 賈小玲

在數(shù)學(xué) 的發(fā)展 過(guò)程 中，極限 的概 念有著舉足輕重的地位。這決定了在數(shù)學(xué)教學(xué)中，極限的教 學(xué)必須 要深 入淺出 。極 限是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接部分。透徹理解極限，對(duì)于 大學(xué)微 積分的學(xué)習(xí) 也起到 了至關(guān)重要的作 用。 因此，極 限的 學(xué)習(xí)與 教學(xué)顯得尤為重要。

一、極限思想發(fā)展與演變

極限的思想早在古代就已萌生。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米 德“窮 解法”求拋 物 弓 形的面 積，構(gòu)造 了一系列 三角形 ，使 它 們 的面積和不斷接近拋物弓形的面積。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽 （公元 3 世紀(jì)）“割圓術(shù)”利用圓內(nèi)接正n邊形邊數(shù)n無(wú)限增大，則正多邊形面積無(wú)限接近于圓的面積。這些都是極限最初的形式。

十 九 世紀(jì)法 國(guó) 數(shù) 學(xué)家柯 西 從 定 性 的角度比較完 整地說(shuō) 明 了 極限概 念 及 其理論。之后，德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯給出了極限的定量定義。

了解極限思想的發(fā)展史，可以使學(xué)生在理解極限 時(shí)更有 興 趣 ，也更 有 數(shù) 學(xué)根據(jù)。只有這樣才能使極限更好地融入學(xué)生的心理。

二、極限 概念和 高等 數(shù)學(xué)中 微積 分學(xué)的關(guān)系

數(shù)學(xué)是 一門(mén)基 礎(chǔ)學(xué) 科 ，它的 基礎(chǔ)性 與應(yīng)用廣泛性是任何學(xué)科所無(wú)法比擬的。一切的自然科學(xué) ，各個(gè) 經(jīng)濟(jì)生 活領(lǐng) 域都有 數(shù)學(xué)留下的足跡 ，因此 可以說(shuō) 數(shù)學(xué) 是學(xué)科 界的“學(xué)科先 驅(qū)”。運(yùn)用 數(shù)學(xué) 思想，數(shù) 學(xué)方 法思考和解決問(wèn) 題，不僅 可以 培養(yǎng)人 們科 學(xué)的世界觀，而且 可以使 人們 在解決 任何 實(shí)際問(wèn)題時(shí)具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。如果把整個(gè)高等數(shù)學(xué) 看作 一個(gè)人 體，那 么極限 是高等數(shù)學(xué)中微積分的主動(dòng)脈。導(dǎo)數(shù)與微分可以看到定義 的新 運(yùn)算，這 種運(yùn)算 類(lèi)似 小學(xué)所 學(xué) 的 加 減 法 和 乘 除 法 中 互 為 逆 運(yùn) 算 一樣。導(dǎo)數(shù)和 微分 也應(yīng)該 有逆 運(yùn)算，可 以說(shuō)“ 不 定 積 分 ”與“ 定 積 分 ”是 導(dǎo) 數(shù) 的 兩 種 不同的逆運(yùn)算。導(dǎo) 數(shù)、微 分、不定 積分 、定積分這四個(gè)概 念雖然 各不 相同，但 它們 存在著極其密切 的 關(guān)系 ，即它們 的概 念中都 貫穿了極限概念。

三、極限思想的教學(xué)演變

在新課程改革 （人教 A 版 2007 與人教 A 版 2017 數(shù)學(xué)課本） 中都將微積分放在了高中數(shù)學(xué)課程的重要位置上，并且在內(nèi)容上都體現(xiàn)出了極限思想這一數(shù)學(xué)思想，說(shuō)明了極限思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。本文從極限的概念出發(fā)，闡述極限教學(xué)中學(xué)生的學(xué)與教師的教的難點(diǎn)與重點(diǎn)并結(jié)合高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的理解差異，比較兩者教學(xué)差異，讓學(xué)生能更好地理解極限的思想。

四、學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析

在 2007 年 新課 程改革 中， 之 前 很 多傳 統(tǒng) 上 在 高 校 數(shù) 學(xué) 課 堂 中 講 解 的 內(nèi) 容 也成為了高中 數(shù)學(xué)的 重點(diǎn) 。比如 ：極限 ，導(dǎo)數(shù) ，定 積 分 等 。 實(shí) 際 上 ，由 于 高 考 指 揮 棒中，要求學(xué)生必須會(huì)應(yīng)用這些知識(shí)。但是，是否能夠真正 理解 ，這有待 考究 ？由于 高中應(yīng)試教育背 景下 ，學(xué)生對(duì) 于應(yīng) 用導(dǎo)數(shù) 來(lái)解 決 單 調(diào) 性 ，極 值 ，最 值 ，零 點(diǎn) ，不 等 式 等問(wèn)題比較熟練 。但是 學(xué)生 對(duì)于極 限，導(dǎo) 數(shù)等的概念的理解卻深淺不一。

實(shí)際上，這 樣的教 學(xué)會(huì) 使學(xué)生 產(chǎn)生 很多誤區(qū)。學(xué)生對(duì)于初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在思維方法，研究 內(nèi)容的 側(cè)重點(diǎn) 的差 異認(rèn)識(shí)不夠。盡管學(xué)生們對(duì)于極限部分有一定的基 礎(chǔ) ， 但 是 這 種 基 礎(chǔ) 能 起 到 什 么 樣 的 作用？這些都是 有待對(duì) 學(xué)生 的了解 和分 析 。倘若學(xué)生思維認(rèn) 識(shí)不 到位 ，問(wèn) 題可 能就會(huì)想不明白。如果 沒(méi)有 清晰和 明確 的認(rèn)知 ，就不會(huì)去直觀地 理解 ，更別說(shuō) 用數(shù)學(xué) 精確語(yǔ)言去描述極限概念了。

種種問(wèn) 題與 困惑交 織在 一起，使 得學(xué)生對(duì)極限的學(xué)習(xí)比較迷茫。感覺(jué)自己好像學(xué)過(guò)，但是 好像 又 沒(méi)有 學(xué)過(guò) 。 學(xué)習(xí) 中表現(xiàn)出來(lái)的是：一方 面，感 覺(jué)已經(jīng) 懂了 ，不屑于聽(tīng) ；另 一 方 面 ，接 觸 高 等 數(shù) 學(xué) 中 極 限 定 義之后發(fā)現(xiàn) 自己又 一無(wú) 所知，顛 覆了 之 前對(duì)于極限的所 有認(rèn) 識(shí)，感覺(jué) 像天 書(shū)一樣 難以理解。在高 等數(shù) 學(xué)的教 學(xué)實(shí) 踐中，往 往會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生有 上述 兩種表 現(xiàn)。 因此，需 要引導(dǎo)學(xué)生端正 學(xué)習(xí)態(tài)度，走 出認(rèn)識(shí) 和學(xué) 習(xí)誤區(qū)就顯得尤其重要了。

五、揭示本質(zhì)屬性，加深理解

對(duì)高等數(shù)學(xué)中微積分的極限概念的理解，從數(shù)列極限，函數(shù)極限（x→+ ∞,x→x0）的順序進(jìn)行教學(xué)，并要 對(duì)三種 極限 在概念方面進(jìn)行差異的比較。

1 .數(shù)列極限。

（1）直觀描述——定性定義。

如果數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大 時(shí)，其一般項(xiàng){an}無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)a，則稱a為數(shù)列{an}的極限，或稱數(shù)列{an}收斂于a，記作

數(shù)列{an}的極限為a的幾何解釋：

數(shù)列 {an} 中的項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)an與a接近的程度可以用它們之間的距離 |an-a|來(lái)衡量an無(wú)限接近于a，就意味著距離 |an-a|可以任意小.

（2）精確定義——定量定義。

若對(duì)任給的正數(shù) ε（不論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)有 |an-a|＜ε，

則稱數(shù)列{an}收斂于a，記作

ε-N定義：N+，當(dāng)n＞N時(shí)，有 |an-a|＜ε.

關(guān)于 ε-N定義，從以下理解：

①ε 的任意性。盡管 ε 有其任意性，但一經(jīng)給出，就被暫時(shí)確定下來(lái)了，以便依靠它來(lái)求出N。又 ε 是任意小的正數(shù)，因此定義中 ε 的可以用等來(lái)代替。

②N的相應(yīng)性。一般說(shuō)，定義中的正整數(shù)N是一個(gè)與 ε 密切相關(guān)的項(xiàng)數(shù)，與N相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是an。因此，常把N寫(xiě)作N（ε），來(lái)強(qiáng)調(diào)N是依賴于 ε 的。但是，這種依賴關(guān)系，也不意味著N是由 ε 所唯一決定的。這里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小。

從 幾 何 意 義 上 看 ，“ 當(dāng)n＞N時(shí) ，有|an-a|＜ε.”表示點(diǎn)an與a之間的距離可以為任意小的正數(shù) ε，它可以是 0.1 、0.01 、0.001 或更小。但不管多么小，數(shù)列{an}與a的距離 |an-a|，當(dāng)n→∞ 時(shí)，總比 ε 還小，因而an與a可以任意接近。也就是說(shuō)，在U（a；ε）之外，數(shù)列{an}中的項(xiàng)至多只有N個(gè)（有限個(gè)）。

通過(guò)直觀定義 與精 確定義 ，可以 使得學(xué) 生 們 對(duì) 于 數(shù) 列 極 限 概 念 的 理 解 更 加 深刻。初等數(shù)學(xué)研究 的是 固定的 ，靜態(tài) 下量與量之間的數(shù)量關(guān) 系。 然而，高 等數(shù)學(xué) 研究 的 是 量 與 量 在 運(yùn) 動(dòng) 變 化 過(guò) 程 中 的 數(shù) 量關(guān)系，這是初等 數(shù)學(xué) 與高等 數(shù)學(xué) 的根本 差異。因此，學(xué)生們由高中到大學(xué)的過(guò)渡，需要一個(gè)過(guò)程與時(shí)間。如果學(xué)生們有清楚與明確地認(rèn)識(shí)到量與量之間的“運(yùn)動(dòng)”。在以后的高等數(shù)學(xué) 的學(xué) 習(xí)中，可 能相 對(duì)會(huì)容 易些。這就要求學(xué)生們應(yīng)該從思維認(rèn)識(shí)上要突破從有限過(guò) 渡到 無(wú)限，學(xué) 會(huì)并 習(xí)慣使 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述 問(wèn)題，使 得學(xué) 生的 思 維變 得更加嚴(yán)密。

基 于 以 上 學(xué) 生 們 可 能 在 初 入 大 學(xué) 時(shí)存在的問(wèn)題，在教學(xué)中有哪些應(yīng)對(duì)措施呢？一方面通過(guò)有 趣的 例子提 高學(xué) 生 認(rèn)識(shí) ，另一方面還是要幫助學(xué)生理清極限概念出現(xiàn)的內(nèi)在邏輯過(guò)程，把握極限概念本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生能用以上的精確定義來(lái)描述極限。

找N可能出現(xiàn)兩種情況：

①如果n＞N（ε），則即為所求。

②如果 |xn-a|＜ε 較繁瑣時(shí)，可適當(dāng)放大。如 何放大 ？可 以 放 大 為 如 下 形 式 ：|xn-a|＜g（n）。只要有，放大就是適當(dāng)?shù)模?/p>

由此可見(jiàn)，極限 的證 明步驟 幾乎是 模板化的格式。以下就是證明的格式模板：

證：對(duì)?ε＞0，要使 |xn-a|＜ε.

……這里是解 |xn-a|＜ε 的過(guò)程，得結(jié)果n＞ 某個(gè)數(shù) （關(guān)于 ε 的表達(dá)式）；或當(dāng)|xn-a|＜ε 比較繁瑣不易解得，則在這里將|xn-a|作適當(dāng)?shù)姆糯螅?|xn-a|＜g（n），然后從g（n）＜ε 中解得n＞ 某個(gè)數(shù)。

取N= 某個(gè)數(shù) （關(guān)于 ε 的表達(dá)式）或N= max{[某個(gè)數(shù)（關(guān)于 ε 的表達(dá)式）]，N0}，

則當(dāng)n＞N時(shí)，有 |xn-a|＜ε 成立，

歸納出數(shù)列極 限的 一般證 明方 法，這樣學(xué)生可能未必能夠理解。但是，學(xué)生可以先模仿，在做題過(guò)程中可以邊做邊理解。最起碼學(xué)生能夠去做，可以有法可循。這樣可以慢慢培養(yǎng)學(xué)生的興趣。先做，再慢慢理解。數(shù)學(xué)也是一個(gè)理解和消化的過(guò)程。這樣從定性理解，到定量計(jì)算。全方位的去理解，可以使得學(xué)生能夠更好地接受。

“ 好 的 開(kāi) 始 ，是 成 功 的 一 半 ”，數(shù) 列 極限 的 充 分 理 解 可 以 幫 助 學(xué) 生 更 好 地 理 解函數(shù)極限。

2.函數(shù)的極限。

（1）當(dāng)x→+ ∞ 時(shí)，函數(shù)f（x）的極限。

①直觀描述—定性定義。

當(dāng)x→+ ∞ 時(shí)，函數(shù)f（x）的極限：

此種情況與數(shù)列類(lèi)似，不同之處在于n→+ ∞ 是整序變量（n只取 1、2、3、……）等離散的正整數(shù)點(diǎn)變到 + ∞。而x→+ ∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限，自變量x可以沿x軸的正方向，負(fù)方向連續(xù)地?zé)o限增大，正因?yàn)槿绱?，此處的N不一定要求必是正整數(shù)，僅要求N是正數(shù)即可。如（圖1）當(dāng)無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)。自然引出：當(dāng)x→+ ∞ 時(shí)，y→0；

圖1

當(dāng)x→-∞ 時(shí)，y→0.

定性定義：設(shè)函數(shù)f（x）在x＞M（M＞0）處有定義，當(dāng)x無(wú)限增大（x→+ ∞）時(shí)，對(duì)于f（x）的函數(shù)值無(wú)限接近于確定數(shù)值A(chǔ)，則稱A為函數(shù)f（x）在x→+ ∞ 時(shí)的極限，

②精確定義—定量定義。

定量定義 ε—M：

設(shè)函數(shù)f（x）為定義在[a，+ ∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對(duì)任給的 ε＞0，存在正數(shù)M（≥a），使 得 當(dāng)x＞M時(shí) 有 |f（x）-A|＜ε，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→+ ∞ 時(shí)以A為極限，

當(dāng)x→+∞ 時(shí)函數(shù)f（x）以A為極限意味著：A的任意小鄰域內(nèi)必含有f（x）在+ ∞ 的某個(gè)鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。

定義的幾何意義如圖 2：對(duì)任給的ε＞0，在坐標(biāo)平面上平行于x軸的兩條直線y=A+ε 與y=A- ε，圍成以直線y=A為中心線、寬為 2ε 的帶狀區(qū)域。

圖2

例1證明

證：任給 ε＞0，取

則當(dāng)x＞M時(shí)有

以下就是證明的格式模板：

證：對(duì)?ε＞0，要使 |f（x）-A|＜ε.

……這里是解 |f（x）-A|＜ε 的過(guò)程，得結(jié)果M＞ 某個(gè)數(shù)（關(guān)于 ε 的表達(dá)式）；或當(dāng)|f（x）-A|＜ε 比較繁瑣不易解得，則在這里將 |f（x）-A|作適當(dāng)?shù)姆糯?，使|f（x）-A|＜g（x），然后從g（x）＜ε 中解得x＞ 某個(gè)數(shù)。

取x= 某個(gè)數(shù) （關(guān)于 ε 的表達(dá)式），則當(dāng)x＞M時(shí)，有 |f（x）-A|＜ε 成立，

高 中 數(shù)學(xué)中 給 出 的是函 數(shù) 定 性 的 定義，只是有助于理解極限定義就可以。而在大學(xué)數(shù)學(xué)中尤其是微積分中，不僅要求理解定性定義，定量定義也可以說(shuō)是微積分的“頂梁柱”。只有更加深入地理解極限ε—M，才 能 更 好 地 理 解 導(dǎo) 數(shù) ，微 分 ，級(jí) 數(shù)等更深入的微積分?jǐn)?shù)學(xué)。

（2）當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限。

對(duì)函數(shù)極限而言，自變量的變化過(guò)程有很多方式。在這里僅以x→x0為例。

①直觀描述—定性定義。

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，A為定數(shù)。如果當(dāng)自變量x→x0時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）無(wú)限接近于A，則稱A為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí) 的 極 限 ，記作：

②精確定義一定量定義。

定量定義 ε- δ：

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U°（x0；δ′）內(nèi)有定義，A為定數(shù)。

若對(duì)任給的 ε＞0，存在正數(shù) δ（＜δ′），使得當(dāng) 0＜|x-x0|＜δ 時(shí)有 |f（x）-A|＜ε，

則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限，記作或（fx）→A。

在理解定義中，學(xué)生們的疑問(wèn)有兩個(gè)方面：

第一方面：定義中“函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域有定義”強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義即可，而在點(diǎn)x0是否有定義并不影響考察函數(shù)在該點(diǎn)的極限。

例2分別求f（x）=x+2 與f（x）=時(shí)的極限。

通過(guò)此例，使得學(xué)生們能夠更加深入地理解“空心鄰域”的意義。

第二方面：x→x0函數(shù)值f（x）無(wú)限接近于A，表示無(wú)論x是從x0左側(cè)趨向于x0，還是從x0右側(cè)趨向于x0，f（x），都無(wú)限接近于同一個(gè)數(shù)值A(chǔ)。

3.綜合分析函數(shù)極限的兩種。

函數(shù)極限中的 ε—M（圖 3）定義中，是尋找M，使得當(dāng) |x|＞M時(shí)，使得f（x）的值都落在區(qū)域D1與D2內(nèi)。與函數(shù)極限的ε- δ（圖 4）定義中，是尋找 δ，當(dāng) 0＜|x-x0|＜δ時(shí)，使得f（x）的值都落在某個(gè)區(qū)域內(nèi)。

圖3

圖4

極限的 ε-N與 ε- δ 定義，雖然精確但是并未給出求極限的方法，只能用以證明某數(shù)是否為極限。證明極限問(wèn)題，還是需要逐步引導(dǎo)。即使學(xué)生覺(jué)得理解起來(lái)困難 ，還是要 鼓勵(lì)學(xué)生 ，先 在例題 的 基 礎(chǔ)上給出類(lèi)似的變式，證明過(guò)程也是類(lèi)比的過(guò)程。這里也是運(yùn)用了數(shù)學(xué)思想方法中的類(lèi)比思想。給予學(xué)生鼓勵(lì)，隨著高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 的進(jìn)一步深入，連續(xù)函數(shù) 、導(dǎo) 數(shù)、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)等等概念的引入，在逐步完整的實(shí)數(shù)理 論體 系 中，引 導(dǎo) 學(xué) 生更加 深 入 理解、體會(huì)極限思想。