合理轉(zhuǎn)化 妙設(shè)巧算

摘要：一題多解是培養(yǎng)能力、體現(xiàn)素養(yǎng)的一種行之有效的方法，它對(duì)溝通各模塊知識(shí)之間的聯(lián)系，開拓解題思路，培養(yǎng)思維能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣都大有裨益.文章從一道高三診斷性試題的解法入手，探究一題多解在教學(xué)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：一題多解;巧算;探究

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0051-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：李小蛟（1984.10-），男，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：四川省數(shù)學(xué)會(huì)重點(diǎn)立項(xiàng)課題“提升學(xué)生核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課程校本化研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2020SXHJY004）.[FQ）]

1 題目呈現(xiàn)

題目已知等邊ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在圓x2+y2=4上，點(diǎn)P（3，6），則PA·PB+PA·PC的最小值為（）.

A.14B.10C.8D.2

2 解法探析

解法1令D為BC中點(diǎn)，則PB+PC=2PD.

令點(diǎn)A（2cosθ，2sinθ），因?yàn)镺為△ABC的重心，則AO=2OD.

所以D（-cosθ，-sinθ）.

所以PA=（2cosθ-3，2sinθ-6），

PD=（-cosθ-3，-sinθ-6）.

所以PA·PB+PA·PC=2PA·PD

=2（7-3cosθ-6sinθ）

=14-6cos（θ-φ）（tanφ=2） .

故當(dāng)φ=θ時(shí)，PA·PB+PA·PC有最小值為8.

評(píng)注將和向量利用向量加法的三角形法則PB+PC=2PD合理轉(zhuǎn)化，從而將題目所求轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)量積求解，再利用重心分中線所成比例巧妙化歸，利用圓上點(diǎn)的參數(shù)方程簡(jiǎn)化運(yùn)算，回歸到三角函數(shù)問題求最值.

解法2由題意，得

∠AOB=∠BOC=∠COA=23π.

所以不妨令A(yù)（2cosθ，2sinθ），

則B（2cos（θ+23π），2sin（θ+23π）），

C（2cos（θ-23π），2sin（θ-23π））.

所以PA=（2cosθ-3，2sinθ-6），

PB=（2cos（θ+23π）-3，

2sin（θ+23π）-6），

PC=（2cos（θ-23π）-3，

2sin（θ-23π）-6）.

代入化簡(jiǎn)，得

PA·PB+PA·PC=14-6cos（θ-φ）（tanφ=2）.

故當(dāng)φ=θ時(shí)，PA·PB+PA·PC有最小值為8.

評(píng)注圓上點(diǎn)的坐標(biāo)之間相互依存，圓心角為定值，所以直接采用圓心角之間的關(guān)系三角換元（參數(shù)方程），直接代入化簡(jiǎn).

解法3由題意可得O為ΔABC的重心，

故OA+OB+OC=0.

所以PA·PB+PA·PC

=（OA-OP）（OB-OP）+（OA-OP）（OC-OP）

=14-2OA·OP-（OP·OB+OP·OC）

=14-2OA·OP+OA·OP

=14-OA·OP

=14-OA×OP×cos<OA，

OP>

=14-6cos<OA，OP>≥8，

當(dāng)且僅當(dāng)OA，OP同向時(shí)取等.評(píng)注利用三角形中重心與頂點(diǎn)的向量關(guān)系OA+OB+OC=0將分散的向量數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為以O(shè)為起點(diǎn)的向量，讓向量的數(shù)量積運(yùn)算回歸定義，回歸到本質(zhì)（即長(zhǎng)度與角度的運(yùn)算），此法是解決平面向量數(shù)量積最原始的思路起點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)概念、公式最模型化的運(yùn)用.解法4不妨設(shè)P在圓x2+y2=9上運(yùn)動(dòng)，于是可令

A（0，2），B（-3，-1），P（3cosθ，3sinθ），

PA=（-3cosθ，2-3sinθ），

PB=（-3-3cosθ，-1-3sinθ），

PC=（3-3cosθ，-1-3sinθ），

所以PA·PB+PA·PC

=PA·（PB+PC）

=（-3cosθ，2-3sinθ）·（-6cosθ，-2-6sinθ）

=18cos2θ-4-6sinθ+18sin2θ

=14-6sinθ≥8（當(dāng)sinθ=1時(shí)取等）.

解法5不妨設(shè)P在圓x2+y2=9上運(yùn)動(dòng)，于是可令A(yù)（0，2），B（-3，-1），P（x，y），

PA=（-x，2-y），

PB=（-3-x，-1-y），

PC=（3-x，-1-y），

所以PA·PB+PA·PC

=PA·（PB+PC）

=（-x，2-y）·（-2x，-2-2y）

=2x2-4-2y+2y2

=14-2y.

因?yàn)閥∈-3，3 ， 所以PA·PB+PA·PB≥8.

評(píng)注由于三角形上三點(diǎn)之間相互依存，雖位置不定但始終存在任意兩點(diǎn)距離相等的聯(lián)系，故可將三角形頂點(diǎn)固定，將點(diǎn)P看成圓上的動(dòng)點(diǎn)，將多動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題，再利用圓的參數(shù)方程將坐標(biāo)雙變量轉(zhuǎn)化為角度的單變量，回歸三角，減少運(yùn)算，直接利用三角函數(shù)的有界性求取最值.

解法6令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由題意可得O為△ABC的重心.

故x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0.

所以PA·PB+PA·PC

=（x1-3，y1-6）·（x2-3，y2-6）+（x2-3，y2-6）·（x3-3，y3-6）

=x1（x2+x3）+y1（y2+y3）-3x1-6y1+18

=-x21-y21-3x1-6y1+18

=14-3x1-6y1.

不妨設(shè)x1=2cosθ，y1=2sinθ，

則原式=14-6cos（θ-φ）（tanφ=2）.

所以當(dāng)θ=φ時(shí)，原式有最小值為8.

評(píng)注利用三角形重心的坐標(biāo)公式將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)建立等量關(guān)系，將平面向量數(shù)量積回歸到坐標(biāo)運(yùn)算，通過三頂點(diǎn)在圓上，進(jìn)行一系列代換，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)中一點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算，再次利用參數(shù)方程.

解法7由解法6，得

PA·PB+PA·PC=14-3x1-6y1.

令s=14-3x-6y，

記直線l方程為y=16（-3x+14+s），

顯然，當(dāng)直線l與圓x2+y2=4相切且在圓上方時(shí)有（14-s6）max=6，此時(shí)（s）min=8.

評(píng)注考慮到s=14-3x-6y直線中s的幾何意義，故可以將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題處理，此法直接利用直線與圓相切時(shí)得到最值;當(dāng)然也可以將直線l的方程與圓方程聯(lián)立，通過直線與圓有公共點(diǎn)（Δ≥0）解答.

解法8PA·PB+PA·PC

=14[（PA+PB）2-（PA-PB）2+（PA+PC）2-（PA-PC）2]，

令M，N分別為AB，AC中點(diǎn)，Q為MN中點(diǎn)，

則原式=PM2+PN2-6

=12（PM+PN）2+（PM-PN）2-6

=12（4PQ2+3）-6.

又因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2+y2=14上運(yùn)動(dòng)，

所以PQmin=OP-12=52，此時(shí)原式有最小值為8.

評(píng)注平面向量運(yùn)算中的極化恒等式a·b=14（a+b）2-（a-b）2往往將向量運(yùn)算中的變量轉(zhuǎn)化為向量和與差的定量，本題中要注意到PM+PN=2PQ，PM-PN=MN=3.在求解定點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)Q距離時(shí)，又充分考慮到點(diǎn)Q在定圓x2+y2=14上運(yùn)動(dòng)，所以又將PQ的最值轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)P與定圓圓心O的距離.

解法9令D為BC中點(diǎn)，Q為AD中點(diǎn)，

則原式=2PA·PD=12（PA+PD）2-（PA-PD）2=12（4PQ2-DA2）=12（4PQ2-9）.

又因?yàn)镼在圓x2+y2=14上運(yùn)動(dòng)，

所以PQmin=OP-12=52，此時(shí)原式有最小值為8.

評(píng)注首先利用平面向量和運(yùn)算法則將PB+PC轉(zhuǎn)化為2PD，再利用極化恒等式進(jìn)行變換.極化恒等式這個(gè)概念在高中教材中雖然沒有提及，實(shí)際推導(dǎo)比較簡(jiǎn)單，在處理一類向量積的時(shí)候往往有事半功倍的效果.

解法10令D為BC中點(diǎn)，由A，B，C三點(diǎn)的輪換對(duì)稱性可知當(dāng)原式最小時(shí)一定有PB=PC，即此時(shí)B，C關(guān)于直線PA對(duì)稱，即P，A，O，D四點(diǎn)共線，易得AP=1，OA=2，DP=4，此時(shí)PA·PB+PA·PC=2PA·PD=8.

評(píng)注本題作為選擇題，觀察題目結(jié)構(gòu)，分析題目條件和所求數(shù)量積之間關(guān)系，盡量數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，做到小題小做，優(yōu)化解法，提升解題效率.

平面向量的數(shù)量積一直是高考的熱點(diǎn)問題，正確理解數(shù)量積的定義和幾何意義是處理問題的關(guān)鍵;同時(shí)要將三角、函數(shù)、解析幾何、不等式等相關(guān)知識(shí)加以遷移滲透，綜合運(yùn)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想;在解題歸納上注重模型意識(shí)，合理轉(zhuǎn)化，妙設(shè)巧算，才能將核心素養(yǎng)在解題中得到真正體現(xiàn)和展示.

參考文獻(xiàn)：

[1] 孔繁晶.挖掘幾何意義 巧解平面向量數(shù)量積問題[J].數(shù)理化解題研究，2021（25）：6-7.

[責(zé)任編輯：李璟]