從線面平行談立體幾何復(fù)習(xí)策略

摘要：以線面平行為突破口，梳理其證明方法，對二面角的平面角也做了傳統(tǒng)方法和向量法的訓(xùn)練，以此拋磚引玉，希望點燃學(xué)生主動總結(jié)反思的積極性，也教給學(xué)生以方向、思路和方法，從而更好地結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)總結(jié)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：線面平行;二面角的平面角;向量;核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0068-04

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：巨小鵬，男，陜西省漢中人，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

將某些方法融入知識進(jìn)行整合復(fù)習(xí)，以思維為突破口，讓學(xué)生覺得有新意，能調(diào)動學(xué)生復(fù)習(xí)的積極性，又能啟迪學(xué)生自覺理解知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu).立體幾何的解題策略無非就是：①利用向量一做到底;②利用純傳統(tǒng)方法;③利用傳統(tǒng)方法加向量法相結(jié)合.

1 目標(biāo)學(xué)情解析

1.1 教學(xué)目標(biāo)

以線面平行為突破口，梳理其證明方法，復(fù)習(xí)鞏固立體幾何解題策略.

1.2 目標(biāo)內(nèi)容解析

知識層面：讓學(xué)生理解線面平行不僅僅單一地從線線平行入手或者面面平行入手，也讓學(xué)生理解二面角的平面角問題的解題策略;

思想方法層面：讓學(xué)生深刻理解向量法和傳統(tǒng)方法各有優(yōu)勢;從核心素養(yǎng)方面培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和空間想象能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運算能力.

1.3 學(xué)情分析

學(xué)生基礎(chǔ)較好，學(xué)習(xí)新知能力較強(qiáng)，富有空間想象能力和邏輯推理能力.

1.4 重難點

重點：掌握向量法和傳統(tǒng)方法的立體幾何解題策略.

難點：構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的空間想象能力并靈活選擇解題方法.

2 教學(xué)過程

2.1 復(fù)習(xí)提問

立體幾何中證明線面平行有哪些方法？什么是二面角的平面角？

（學(xué)生從定義和判定定理出發(fā)，也有從向量出發(fā)，但是向量法并不全面，暫且不說，給出例題再做補(bǔ)充）

2.2 例題引入

例1如圖1，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，點E是PD的中點.

（1）求證：PB∥平面AEC;

（2）在線段PB上（不含端點）是否存在一點M，使得二面角M-AC-E的平面角的余弦值為1010？若存在，確定點M的位置;若不存在，請說明理由.

（開始點名讓學(xué)生在黑板板演，然后鼓勵學(xué)生依次展示分享自己的其他方法，然后補(bǔ)充答案，學(xué)生對此印象更加深刻）

2.2.1 第（1）問解析

思路1如圖2，連接BD交AC于點F，連接EF.因為ABCD為平行四邊形，所以F是BD的中點.

又E是PD的中點，所以EF∥PB.

又EF平面AEC，PB平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

思路2 如圖3，以點A為坐標(biāo)原點，射線AC，AB，AP分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，假設(shè)EF=λPB存在，則EF=（0，32，-32）=λ（0，3，-3）=（0，3λ，-3λ），可得λ=12.

即存在λ=12使得EF=λPB成立，結(jié)合思路1得證.

思路3求出平面AEC的法向量n和向量PB，求得n·PB=0，即得證.

思路4 假設(shè)λEA+μEC=PB存在，同樣的方法解得λ=μ=12，即利用共面向量定理即可.

（學(xué)生最初并沒有思路3和思路4，通過引導(dǎo)，思路3就出來了，再點撥鼓勵，才有思路4的脫穎而出，此處強(qiáng)調(diào)總結(jié)向量法解題的策略，思路4應(yīng)該是最優(yōu)方法，也是通法，也體現(xiàn)了向量法的優(yōu)越性.）

2.2.2 第（2）問解析

解法1（向量法）由題意知，如圖3，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)M（x0，y0，z0），PM=λPB（0<λ<1），則（x0，y0，z0-3）=λ（0，3，-3）.

得M（0，3λ，3-3λ）.

設(shè)平面AEC的法向量為n1=（x1，y1，z1）.

由n1·AE=0，n1·AC=0及

AE=（1，-32，32），AC=（2，0，0），

得n1=（0，1，1）.

設(shè)平面MAC的法向量為n2=（x2，y2，z2）.

由n2·AM=0，n2·AC=0及

AM=（0，3λ，3-3λ），AC=（2，0，0），

得n2=

（0，1-1λ，1）.

設(shè)二面角M-AC-E的平面角的大小為θ，則

|cosθ|=|n1·n2||n1|·|n2|）

=|2-1λ|

2·（1-1λ）2+12=1010.

化簡，得9λ2-9λ+2=0.

解得λ=13或λ=23（舍）.

當(dāng)λ=13時，PM=12PB.

故PM=13PB時，二面角M-AC-E的平面角的余弦值為1010.

解法2（傳統(tǒng)法）連接BD交AC于點F，連接EF.因為ABCD為平行四邊形，所以F是BD的中點.

因為AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，在Rt△PAD中，AE=12PD.

在Rt△PCD中，EC=12PD.

所以在等腰△EAC中，EF⊥AC.

可證得CA⊥面PAB.

可知CA⊥AM.

在面ACM中，過中點F可作FN//AM，

即∠EFN為二面角M-AC-E的平面角.

借助坐標(biāo)，利用向量，然后解三角形即可.

總結(jié)提升第（1）問傳統(tǒng)方法思路大概有三種：①利用中點找中位線;②利用平行四邊形;③找出面面平行，必要的時候需要割補(bǔ).但是都離不開中點，不如找中位線方便簡單.利用向量求證線面平行方法如上面解答的三種思路，不做贅述，需要提醒的是，求點坐標(biāo)的時候有兩種思路：①向坐標(biāo)軸作垂線;②利用向量相等，第二種思路常常簡便得多，但是容易被忽略.

2.3 變換題型反饋

例2如圖4，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

（1）證明：MN∥平面C1DE;

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值.

2.3.1 第（1）問解析

解法1連接ME，B1C，所以ME為ΔB1BC的中位線.

所以ME∥B1C且ME=12B1C.

又N為A1D中點，且A1D

B1C，

所以ND∥B1C且ND=12B1C.

所以ME

ND.

所以四邊形MNDE為平行四邊形.

所以MN∥DE.

又MN平面C1DE，DE平面C1DE，

所以MN∥平面C1DE.

解法2取AD的中點，連接NG，GB，證明NM∥GB∥DE即可.

解法3連接DE，延長DE交AB的延長線于點G，證明NM是△A1DG的中位線，從而得證.

解法4利用向量思路證明即可.

2.3.2 第（2）問解析

解法1利用向量法，設(shè)AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，由直四棱柱性質(zhì)可知：OO1⊥平面ABCD.

因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.

則以O(shè)為原點，可建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系.

所以DF為平面AMA1的一個法向量，且DF=32，32，0.

設(shè)平面MA1N的法向量n=x，y，z，

所以n=3，1，-1.

所以cos<DF，n>=DF·nDF·n=155.

所以sin<DF，n>=105.

所以二面角A-MA1-N的正弦值為105.

解法2利用傳統(tǒng)方法，且不止一種角度.比如（1）中的解法3中，可證DE⊥面A1AD，即面A1DG⊥面A1DA.

作AO⊥A1D，垂足為點O，可證得∠OMA就是二面角A-MA1-N的平面角，從而解三角形.

也可以在面ADD1A1中過點A作AF⊥DA1，垂足為點F，可證∠AMF為二面角A-MA1-N的平面角，解三角形即可.

也可以利用等體積法求出點A到平面DMA1的距離d，即

sinα=dAM，不做贅述.

總結(jié)評注 選取傳統(tǒng)方法還是向量法，在于具體分析題中給出的條件，也根據(jù)自己掌握的兩種方法情況而定，題本身的信息量也多樣，給不同基礎(chǔ)的學(xué)生提供了想象的空間和多維度的平臺，同時考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，考查學(xué)生化歸和轉(zhuǎn)化的思想.試題把空間想象能力、邏輯推理能力、空間建系、向量運算、二面角的平面角和作圖能力很好地融合在一起.

2.4 作業(yè)布置

整理筆記，聯(lián)想思維對比，總結(jié)垂直問題解題策略，讓學(xué)生自己去揭示解題規(guī)律.

3 課后反思

本節(jié)課以問題為導(dǎo)向，以例題為載體，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，從不同角度去思考分析，解決問題，從而全面地認(rèn)識解決一個問題的多層次分析，多層次開拓，對知識進(jìn)行了梳理，對思想方法進(jìn)行了優(yōu)劣對比，有利于對學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)，但是對于二面角的平面角稍顯薄弱，表現(xiàn)在求二面角的大小分析，角度的范圍以及半平面的理解都是學(xué)生認(rèn)識模糊的地方.對于二面角的平面角的求法有五種方法：①利用定義作出二面角的平面角;②利用三垂線定理及其逆定理作出二面角的平面角;③利用射影面積公式法;④利用向量夾角公式;⑤利用法向量.由于時間關(guān)系，并沒有對此做總結(jié).作為一輪復(fù)習(xí)，全面綜合地分析問題很重要，也需要對學(xué)生進(jìn)行專門地訓(xùn)練，比如對于本節(jié)課至少需要做3-6道題對所有的方法進(jìn)行集中訓(xùn)練，才能在考場上做到游刃有余，省時高效.

教育的主題是喚醒人的超越性，超越需要開闊的精神空間.教書就是“拋磚引玉”，就是“留白”的藝術(shù)，就是“授人以漁”，就是鼓勵，就是解放手腳嘴巴，就是發(fā)現(xiàn)，是欣賞，是激發(fā)，是引導(dǎo)，是潛移默化地讓思維散開，讓精神升華，通過思維的引導(dǎo)讓精神變得豐富，在此之間，會有感情的碰撞，學(xué)生與學(xué)生，老師與學(xué)生，以及問題與學(xué)生都會產(chǎn)生微妙的感知變化，這種感知會引導(dǎo)大家向著更好的方向發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3] 程靖，鮑建生.“四基”：中國特色數(shù)學(xué)教育體系的核心理念[J].數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)報，2019，28（03）：2-6.

[4] 李鐵安，宋乃慶.高中解析幾何教學(xué)策略——數(shù)學(xué)史的視角[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007（02）：90-94.

[5] 高立東，孫立文.立體幾何專題備考策略與復(fù)習(xí)建議探討[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報（中旬），2013，29（02）：102-103.

[責(zé)任編輯：李璟]