三角形邊等差的解法及命題意圖探究

摘要：關(guān)于三角形邊成等差、等比的結(jié)論有很多，甚至關(guān)于角成等差等比也有一些結(jié)論.本文通過一道高考模擬卷試題的多種解法探究邊等差三角形的簡(jiǎn)單性質(zhì).

關(guān)鍵詞：邊等差;基本不等式;構(gòu)造橢圓;琴生不等式;命題

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0100-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：劉小樹（1985.8-），男，安徽省蚌埠人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

1 試題呈現(xiàn)

題目（蚌埠市2020屆高考第四次模擬考試?yán)砜频?6題）△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若sinB=sinA+sinC2 ，求1sinA+1sinC 的最小值.

2 試題解析

解法1（基本不等式法）

由正弦定理，sinB=sinA+sinC2，①

可化為b=a+c2.②

又由余弦定理及不等式，得

cosB=a2+c2-b22ac

=a+c2-2ac-a+c242ac

=34a+c2-2ac2ac

≥342ac2-2ac2ac=12.

而0<B<π，所以0<B≤π3.

由sinB=sinA+sinC2化為1=sinA+sinC2sinB，因此1sinA+1sinC=1×1sinA+1sinC=12sinB×sinA+sinC×1sinA+1sinC=12sinB×2+sinCsinA+sinAsinC≥12sinB×2+2sinCsinA·sinAsinC=2sinB≥433.

上面兩次不等式等號(hào)成立的條件為A=B=C=π3，即△ABC 為正三角形.

解法2（配角三角公式變換法）

由已知條件sinB=sinA+sinC2，得2sinB=sinA+sinC.又由二倍角sinB=sinA+C=sin2×A+C2，配角得到A=A+C2+A-C2，C=A+C2-A-C2，

于是2×2sinA+C2·cosA+C2=2sinA+C2·

cosA-C2sinA+C2≠0.

從而2cosA2cosC2-sinA2sinC2

=cosA2cosC2+sinA2sinC2.

化簡(jiǎn)整理為3sinA2sinC2=cosA2cosC2.即tanA2tanC2=13.③

故1sinA+1sinC=1+tan2A22tanA2+1+tan2C22tanC2

=12·tanC21+tan2A2+tanA21+tan2C2tanA2tanC2=2tanA2+tanC2≥2×2tanA2·tanC2=433.

當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=π3時(shí)，上式等號(hào)成立.

解法3（建系構(gòu)造橢圓法）

令2a0=a+c，2c0=b，則a0=b，c0=b2.

以點(diǎn)A，C分別為橢圓的左右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1，其中不妨取橢圓離心率為e=12，標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1，

Bx0，y0x0≠±2，y0≠0，0<y0≤3.

故1sinA+1sinC=2sinBsinAsinC=2sinAcosC+cosAsinCsinAsinC，

所以1sinA+1sinC=21tanA+1tanC.④

在△ABC中，tanA=y01+x0，tanC=y01-x0，

于是④化為

1sinA+1sinC=21+x0y0+1-x0y0=4y0≥433，

當(dāng)且僅當(dāng)x0=0，y0=3時(shí)，

即當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)取到最小值.

解法4（Jensen不等式法）

因?yàn)閒（x）=sinx，x∈0，π，f ″（x）=-sinx<0，所以f（x）為上凸函數(shù).

又2sinB=sinA+sinC，所以3sinB=sinA+sinB+sinC≥3sinA+B+C3=332.即sinB≥32.因此0<B≤π3或2π3≤B<π.又因?yàn)?sinB=sinA+sinC，2b=a+c，即a，b，c成等差數(shù)列.故b不是最大邊.所以0<B≤π3.

由基本不等式，得2sinB=sinA+sinC≥2sinA·sinC，sin2B≥sinA·sinC，當(dāng)且僅當(dāng)A=C取等號(hào).即1sinA·sinC≥1sin2B.

所以1sinA+1sinC=2sinBsinA·sinC≥2sinBsin2B=2sinB≥433，當(dāng)B=π3時(shí)取到等號(hào).

故當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=π3時(shí)，上式等號(hào)成立.

3 試題命題意圖分析

試題用了4種方法解題，從解法1到解法4，解題要求難度逐漸加大，但是從考后調(diào)查發(fā)現(xiàn)，以上四種解法中，解法1，2僅少部分同學(xué)使用，解法3更是罕有人用，競(jìng)賽黨同學(xué)容易想到解法4.試題難度系數(shù)0.22，區(qū)分度0.45，全市得分率為22.01%，最好的學(xué)校得分率也僅為40%，足見得分很低.大多數(shù)同學(xué)使用的方法讓命題者欣慰又大跌眼鏡：直接根據(jù)對(duì)稱性取正三角形得到答案.這不得不讓人思考，為什么會(huì)出現(xiàn)這種事與愿違的結(jié)果呢？可以從兩個(gè)方面分析：一方面：大多數(shù)同學(xué)做16題常使用極限法、特殊圖形或特殊值法，加上考試時(shí)間緊，壓軸小題難度大，學(xué)生不敢在這里耗費(fèi)時(shí)間，不得不取特殊圖形法，而且驗(yàn)算后發(fā)現(xiàn)符合要求，就鋌而走險(xiǎn)解題.另一方面如果答案被學(xué)生輕而易舉猜到，說明命題沒有體現(xiàn)隱形性，要從命題角度考慮了.本題條件容易讓考生聯(lián)想到特殊圖象法.

如果設(shè)置為

2acos2C2+2ccos2A2=3b，⑤

或cosA+2cosB+cosC=2，⑥

或5cosA+5cosC-4cosAcosC=4.⑦

相對(duì)來講更能達(dá)到壓軸和考查的目標(biāo).這是因?yàn)橐陨先N情形不易被考生猜到特殊圖形，即使猜也沒有理由.實(shí)際上這三種情形是等價(jià)的，最終都可以化為2b=a+c，這樣既能達(dá)到考查要求，又不會(huì)被學(xué)生鉆了空子，從而導(dǎo)致命題的尷尬境地.對(duì)于以上重新設(shè)置的條件為什么可以達(dá)到壓軸目的呢，下面將轉(zhuǎn)化過程具體證明，大家就一目了然了.

三種形式等價(jià)證明如下：

⑤2acos2C2+2ccos2A2=3ba1+cosC+c1+cosA=3b

a+c+acosC+ccosA=a+c+b=3b2b=a+c;

⑥cosA+2cosB+cosC=2

cosA+cosC=2-2cosB

2cosA+C2·cosA-C2=2×2cos2A+C22cosA+C2=cosA-C22sinA+C2cosA+C2=sinA+C2cosA-C2sinA+C=12sinA+sinC2sinB=sinA+sinC

2b=a+c;

⑦5cosA+5cosC-4cosAcosC=4

2cosA+C2=cosA-C2

或cosA+C2=2cosA-C2.

同⑥可化為2b=a+c或b=2a+c舍.

不難發(fā)現(xiàn)， ⑤⑥⑦考查知識(shí)方法更全面、豐富、多元性、隱形性，可以多層次考查學(xué)生.另外大家還發(fā)現(xiàn)①至⑦都是等價(jià)命題.

高中數(shù)學(xué)命題原則一般是條件間要滿足相容性，不得與公理定理概念相矛盾;力求語言描述準(zhǔn)確無歧義;解題方法多元性，多種知識(shí)、思想相互溝通，對(duì)考生有啟發(fā)性;試題素材要新穎、豐富、典型、隱形性，防止猜題.

命題是一項(xiàng)重要的工作，教師命題必須緊扣教學(xué)大綱和高考核心素養(yǎng)要求，合理命題，既要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，思想方法的掌握情況，又要讓學(xué)生從問題中訓(xùn)練思維，提升能力，得到啟發(fā)，使學(xué)生在解題中領(lǐng)悟命題意圖，達(dá)到融會(huì)貫通，舉一反三.命題要反復(fù)斟酌，力求做到?jīng)]有失誤，才能命出解法自然，形式完美的經(jīng)典試題.

參考文獻(xiàn)：

[1]?徐希揚(yáng). 邊等差三角形的一個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊， 1997（08）：16-17.

[責(zé)任編輯：李璟]