應(yīng)用控制變量法推導(dǎo)一維彈性碰撞速度公式

摘要：一動一靜彈性正碰是一維彈性正碰的特例，且解方程相對容易，根據(jù)運動疊加原理，采用控制變量法可快速得到一維彈性正碰的一般解。

關(guān)鍵詞：一動一靜彈性正碰;運動疊加原理;控制變量法

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0111-02

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：李虎（1985-），男，湖北省房縣人，學(xué)士，中學(xué)一級教師，從事高中物理教學(xué)研究.

基金項目：本文是廣東省珠海市教育科研“十三五”規(guī)劃第五批（2020年度）課題《基于科學(xué)方法教育的高中物理實驗校本課程教材開發(fā)與實踐研究》（課題編號：2020KTG29）階段性研究成果之一.[FQ）]

特例一動一靜彈性碰撞規(guī)律.如圖1，碰撞前運動物體m1的速度v1，物體m2靜止;碰撞后物體m1和m2的速度分別為v1′和v2′.

根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律，得

m1v1=m1v1′+m2v2′①

12m1v21=12m1v1′2+12m2v2′2 ②

由①式得

m1v1-v1′=m2v2′ ③

由②式得

m1v21=m1v1′2+m2v2′2

m1v21-m1v1′2=m2v2′2

m1v21-v1′2=m2v2′2

m1v1-v1′v1+v1′=m2v2′2④

將③式代入④式

m2v2′v1+v1′=m2v2′2

v1+v1′=v2′⑤

成功將二元二次方程組降階為二元一次方程組

m1v1=m1v1′+m2v2′v1+v1′=v2′

聯(lián)立解得v1′=m1-m2m1+m2v1，v2′=2m1m1+m2v1

一般情況碰撞前物體m1和物體m2的速度分別為v1和v2;碰撞后物體m1和m2的速度分別為v1′和v2′.

同理，若v1=0，則

m2v2=m1v1′+m2v2′

12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2

則v2′=m2-m1m2+m1v2，v1′=2m2m2+m1v2

綜合以上分析，

①若v2=0，則彈性碰撞后小球1、2的速度分別為

v11′=m1-m2m1+m2v1，v12′=2m1m1+m2v1;

②若v1=0，則彈性碰撞后小球1、2的速度分別為

v21′=2m2m2+m1v2，v22′=m2-m1m2+m1v2

當(dāng)v1≠0，且v2≠0的一般彈性碰撞，則

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

12m1v21+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2

聯(lián)立解得

v1′=v11′+v21′=m1-m2m1+m2v1+2m2m2+m1v2

v2′=v12′+v22′=2m1m1+m2v1+m2-m1m2+m1v2

反思一動一靜彈性碰撞規(guī)律是中學(xué)階段學(xué)習(xí)的重點，理解了碰撞后的速度公式，遇到類似的問題，便可“套公式求解”，大大簡化計算.如果說，一動一靜彈性碰撞速度公式的推導(dǎo)，還在大多數(shù)高中生的能力范圍之內(nèi)，那么一般情況下彈性碰撞的速度公式的推導(dǎo)，就讓相當(dāng)一部分高中生望塵莫及了.基于“科學(xué)方法是知識通向能力的橋梁”，筆者在教學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)，在深入理解一動一靜彈性碰撞規(guī)律的情況下采用控制變量法和運動疊加，可輕而易舉推導(dǎo)出一般彈性碰撞的速度公式.成功的喜悅，溢于言表，分享成功進行了一次科學(xué)方法教育的案例.

參考文獻：

[1] 單文忠.一動一靜彈性碰撞的推論、拓展及應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2009（18）：33-35.

[責(zé)任編輯：李璟]