類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

劉勤鳳

[摘 ?要] 類比作為思考之源、思維之火，在如今的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用得較為廣泛. 它可將教授內(nèi)容與學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)建立有效的連接，使學(xué)生深層次地理解新知. 文章就類比法在新授課、復(fù)習(xí)以及解題教學(xué)中的應(yīng)用談一些認(rèn)識(shí).

[關(guān)鍵詞] 類比;教學(xué);復(fù)習(xí);解題

亞里士多德提出：“類比表示的是平行者之間的關(guān)系，而非部分對(duì)整體或整體對(duì)部分的關(guān)系. ”可見(jiàn)，類比是一種平行式的思維方式，主要通過(guò)對(duì)事物某些相同或相似面的比較，來(lái)推理某事物也具有另一事物相同或相似的特性. 類比結(jié)論的可靠度與類比對(duì)象之間的共通點(diǎn)的數(shù)量有關(guān)，共通點(diǎn)數(shù)量越多，說(shuō)明兩者之間的關(guān)聯(lián)度越大，結(jié)論的可靠性就越高.

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，可通過(guò)類比法使知識(shí)“由此及彼”，讓知識(shí)在歸納與演繹中更加深刻化、系統(tǒng)化.

類比法在新授課中的應(yīng)用

古往今來(lái)，人們?cè)谟龅叫碌膯?wèn)題時(shí)，常會(huì)習(xí)慣性地將自身已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與現(xiàn)在遇到的問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，希望從已有的認(rèn)知范疇中對(duì)新事物產(chǎn)生更多的認(rèn)識(shí). 對(duì)比后會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一是通過(guò)粗淺的類比，將新事物完全歸納到原有認(rèn)知范疇中，導(dǎo)致原有認(rèn)知范疇發(fā)生一定的改變或擴(kuò)大;二是在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上對(duì)新事物產(chǎn)生新的概念，獲得新的認(rèn)知，這是思維發(fā)展的重要體現(xiàn)[1]. 教學(xué)新知時(shí)，我們的目標(biāo)就是實(shí)現(xiàn)第二種情況，讓學(xué)生通過(guò)類比獲得新的定義或概念，實(shí)現(xiàn)思維的成長(zhǎng).

案例1 “立方根”的教學(xué).

從字面上來(lái)看，“立方根”與我們學(xué)過(guò)的“平方根”有著一定的聯(lián)系. 教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從平方根的概念和性質(zhì)著手，通過(guò)類比的運(yùn)用，開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生在自主類比與分析中獲得新知.

平方根的概念：若一個(gè)數(shù)的平方為a，我們可稱此數(shù)為a的平方根，即±（a≥0）.

平方根的性質(zhì)：①每個(gè)正數(shù)都有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根;②0的平方根有且只有一個(gè)，即0;③負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

教師可以要求學(xué)生根據(jù)以上學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，通過(guò)合作學(xué)習(xí)的方式來(lái)自主探討立方根的概念與性質(zhì).

探討過(guò)程中，有學(xué)生根據(jù)平方根的概念推導(dǎo)出了立方根的概念：若一個(gè)數(shù)的立方為a，則稱該數(shù)為a的立方根，即，讀作三次根號(hào)a. 雖然這種說(shuō)法不夠標(biāo)準(zhǔn)與完善，但從中可以看出學(xué)生類比方法的應(yīng)用程度.

在教師的引導(dǎo)與學(xué)生的積極交流之后，立方根的概念與性質(zhì)也悄然浮出了水面.

立方根的概念：若一個(gè)數(shù)的立方為a，則稱該數(shù)為a的立方根，寫(xiě)作.

立方根的性質(zhì)：①正數(shù)只有一個(gè)正數(shù)立方根;②0只有一個(gè)立方根，且為0;③負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)數(shù)立方根.

學(xué)生在上述類比中，深化了對(duì)立方根的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，類比思想也在類比法的應(yīng)用中生根、發(fā)芽.

建立原有經(jīng)驗(yàn)與新信息的聯(lián)系是學(xué)習(xí)的本質(zhì)，要讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容豐富、學(xué)法靈活，避免出現(xiàn)“堆砌知識(shí)積木”的弊端，教師就該應(yīng)用一些方法將學(xué)生的思維串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生從中深刻體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展動(dòng)態(tài). 而類比法就是聯(lián)系新知與舊知的重要紐帶[2]. 通過(guò)類比不僅能加強(qiáng)知識(shí)的聯(lián)系，還能幫助學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，將新知很好地內(nèi)化到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.

類比法在復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用

根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，新知只有在一定的時(shí)間內(nèi)及時(shí)溫習(xí)，才能達(dá)到記憶的恒久. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)亦如此，每隔一段時(shí)間，我們都要對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，從而達(dá)到鞏固與提高的目的，為更好地解題奠定基礎(chǔ). 在復(fù)習(xí)教學(xué)中使用類比法，可讓知識(shí)在縱橫交融與拓展中達(dá)到以點(diǎn)串線、以點(diǎn)連線與點(diǎn)線成網(wǎng)的良好效果.

案例2 “中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”的復(fù)習(xí)教學(xué).

本章節(jié)的內(nèi)容相對(duì)抽象，學(xué)生在初學(xué)時(shí)就感到困難重重. 在復(fù)習(xí)階段，教師最大的任務(wù)就是幫助學(xué)生縷清其中的關(guān)系，并讓學(xué)生對(duì)相關(guān)概念產(chǎn)生深刻、形象的認(rèn)識(shí). 筆者教學(xué)本章節(jié)復(fù)習(xí)課時(shí)，將它與“軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形”進(jìn)行類比，具體過(guò)程如下.

師：哪位同學(xué)能簡(jiǎn)單地描述一下軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形之間的關(guān)系？

生1：如圖1所示，軸對(duì)稱主要是指兩幅圖之間的位置關(guān)系. 軸對(duì)稱圖形則是一個(gè)具備一條軸線的兩邊完全對(duì)稱的圖形（如圖2所示）.

師：生1講得很清楚. 那么中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形又各自具備怎樣的特點(diǎn)呢？請(qǐng)分組討論.

組1：將中心對(duì)稱與軸對(duì)稱進(jìn)行類比，可得出表1所示的結(jié)論.

組2：中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系如表2所示.

學(xué)生通過(guò)縱橫交錯(cuò)的對(duì)比，不僅起到了溫故而知新的復(fù)習(xí)效果，還通過(guò)列表的方式將點(diǎn)狀的知識(shí)串聯(lián)成線、編織成網(wǎng)，在大腦中建構(gòu)了一個(gè)完整的知識(shí)體系. 這樣的方式不僅能讓學(xué)生深化理解知識(shí)，還能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 并在知識(shí)的遷移中通過(guò)不斷的補(bǔ)充、改造與完善，使認(rèn)知實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍.

心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)者容易遺忘孤立的知識(shí)點(diǎn)，但系統(tǒng)化的知識(shí)在認(rèn)知中則呈現(xiàn)出穩(wěn)固的狀態(tài). 從上述教學(xué)案例不難看出，類比法的應(yīng)用能有效地將知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，能幫助學(xué)生更好地建構(gòu)認(rèn)知體系.

類比法在解題教學(xué)中的應(yīng)用

知識(shí)水平的評(píng)價(jià)大多是采用考試來(lái)進(jìn)行，所以從某種程度上來(lái)說(shuō)，解題能力能反映一個(gè)人的實(shí)際認(rèn)知水平. 那么類比法的應(yīng)用對(duì)提高學(xué)生的解題能力具有顯著的促進(jìn)作用，學(xué)生通過(guò)一般例題的學(xué)習(xí)，根據(jù)其解題思想類比推導(dǎo)出新的解題思路，獲得舉一反三的解題能力.

案例3 用類比法解題.

問(wèn)題：求代數(shù)式+的最小值.

不少學(xué)生看到這道題時(shí)不知從何處下手. 為此，教師可引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度進(jìn)行思考，將本題巧妙地轉(zhuǎn)化成圖形題：

如圖3所示，C為BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)分別過(guò)B，D兩點(diǎn)作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，EC. 已知AB=1，DE=5，BD=8. 假設(shè)BC=x，那么CD=8-x，AC=，CE=. 此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求AC+CE的最小值.

顯然，當(dāng)A，C，E三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，AC+CE的值最小. 由此，我們就可以順利地求得+的最小值.

解完本題后，教師又提出問(wèn)題：請(qǐng)大家參照上述解題方法，通過(guò)構(gòu)圖獲得代數(shù)式+的最小值.

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用頻率相當(dāng)高. 本題將“數(shù)”與“形”的關(guān)系進(jìn)行類比與分析：從“數(shù)”的角度來(lái)看，我們看到的是代數(shù)式，但從“形”的角度來(lái)分析，我們看到的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離. 因此，數(shù)形結(jié)合的構(gòu)造方法會(huì)讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、形象、直接，更符合學(xué)生的思維模式與認(rèn)知發(fā)展特征. 本題若只從代數(shù)的角度分析，不借助圖形，很難求出答案. 但從圖形的角度去思考，則很容易想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

教師在學(xué)生順利解題的基礎(chǔ)上，又提出一道類似的問(wèn)題供學(xué)生思考，這其實(shí)是讓學(xué)生鞏固新知. 學(xué)生通過(guò)例題的解決過(guò)程，掌握了一定的解題技巧，但那是在教師引導(dǎo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的. 此時(shí)，新問(wèn)題的提出就是為了檢驗(yàn)學(xué)生的掌握程度，讓學(xué)生在自主應(yīng)用中熟練解題流程，并將這種解題思路內(nèi)化為自己的認(rèn)知架構(gòu)，下次再遇到類似的問(wèn)題，便可以融會(huì)貫通，自主解題.

將類比法應(yīng)用到解題教學(xué)中，不僅能有效地提高學(xué)生的解題能力，還能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的形成與發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響[3].

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，突破教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)的方法有很多，究竟要選擇哪種方法，可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和待解決問(wèn)題的性質(zhì)來(lái)決定. 用類比法將知識(shí)進(jìn)行歸納、比較與分析，不僅能提高學(xué)生的探究熱情，還能優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).