利用X-Bar & R chart控制圖對(duì)混凝土強(qiáng)度波動(dòng)控制的討論

李庚

（信陽(yáng)市新縣月華加工有限公司，河南 信陽(yáng) 464000）

統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制（Statistical Process Control，簡(jiǎn)稱SPC），指應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控，科學(xué)地區(qū)分出生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品質(zhì)量的隨機(jī)波動(dòng)與異常波動(dòng)，從而對(duì)生產(chǎn)過(guò)程的異常趨勢(shì)提出預(yù)警，以便生產(chǎn)管理人員及時(shí)采取措施，消除異常，恢復(fù)過(guò)程的穩(wěn)定，從而達(dá)到提高和控制質(zhì)量的目的。SPC 管制圖建立在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)上，是由美國(guó)貝爾電話公司休哈特工程師發(fā)明的一種非常實(shí)用的管制方法，他把統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“發(fā)現(xiàn)異?！弊鳛榭刂粕a(chǎn)過(guò)程中的一種工具。因此，“發(fā)現(xiàn)異?！背蔀?SPC 管制圖的基礎(chǔ)。它利用有效數(shù)據(jù)建立管制界限，一般分上管制限（UCL）和下管制限（LCL），上管制限通常設(shè)為管制中心線 CL+3σ，σ 為標(biāo)準(zhǔn)偏差，下管制限設(shè)為 CL-3σ。如果該過(guò)程不受系統(tǒng)原因影響，那么，得到的觀測(cè)數(shù)據(jù)將不會(huì)超出管制界限。強(qiáng)度波動(dòng)控制主要以平均值與移動(dòng)極差的波動(dòng)折線圖加上幾條水平控制線來(lái)分析需要控制的參數(shù)的波動(dòng)情況?？刂凭€與正態(tài)分布的關(guān)系見(jiàn)圖 2。

圖1 控制線與正態(tài)分布的關(guān)系

首先了解一下與 SPC 相關(guān)的幾個(gè)重要的概念：

（1）變差

任何一個(gè)工廠，無(wú)論其多么先進(jìn)，從其生產(chǎn)線出來(lái)的同一種產(chǎn)品或多或少總會(huì)存在一些差異，這種差異就是變差。

（2）普通原因和特殊原因

導(dǎo)致普遍的、固有的、可接受的變差的原因，叫做普通原因。

若不再是常見(jiàn)的、普通的變差，而是有某種特殊原因?qū)е碌淖儾?，比如員工的操作的失誤，我們把導(dǎo)致這種非普遍的、非固有的、異常的變差的原因叫做特殊原因。

（3）受控和不受控

如果一個(gè)過(guò)程僅僅只有普通原因引起的變差，我們就說(shuō)這個(gè)過(guò)程受控，如果一個(gè)過(guò)程存在特殊原因引起的變差，我們就說(shuō)這個(gè)過(guò)程不受控。

控制圖的使命就是幫助我們發(fā)現(xiàn)并消除導(dǎo)致過(guò)程變異的特殊原因，這是一個(gè)使過(guò)程從不受控變成受控的過(guò)程。

（4）中心極限定理

中心極限定理是 SPC 的重要理論依據(jù)。

這個(gè)定理是這樣的：“設(shè) X1，X2，...，Xn為 n 個(gè)相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其總體的分布未知，但其均值和方差都存在，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的分布將趨近于正態(tài)分布”。

樣本容量與正態(tài)分布的關(guān)系見(jiàn)圖 2。

圖2 樣本容量與正態(tài)分布的關(guān)系

（5）合理的抽樣

抽樣就是從研究總體中選取一部分代表性樣本的方法。

合理抽樣涉及到幾個(gè)問(wèn)題：樣本大小、抽樣頻率、抽樣類型（連續(xù)取樣、隨機(jī)取樣或其他結(jié)構(gòu)化取樣）。抽樣大?。ㄗ咏M大?。?huì)影響控制圖的敏感度，樣本越大能探測(cè)到的均值偏移越小。一般來(lái)說(shuō)，混凝土的強(qiáng)度可以度量，計(jì)量取樣優(yōu)于計(jì)數(shù)取量，我們采用計(jì)量型。計(jì)量型數(shù)據(jù)中最常用的是 X-Bar & R chart（均值—極差控制圖）。

（6）控制圖綜合觀察

控制圖所反應(yīng)的是“過(guò)程”的變化。生產(chǎn)的過(guò)程輸入的要項(xiàng)為 5M1E（人、機(jī)、料、法、環(huán)、量），5M1E 的任何變化都可能對(duì)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品造成影響。換句話說(shuō)，如果產(chǎn)品的變差過(guò)大，那是由 5M1E 其中的一項(xiàng)或多項(xiàng)變動(dòng)所引起的。如果這些變動(dòng)會(huì)引起產(chǎn)品平均值或產(chǎn)品變差較大的變化，那么，這些變化就會(huì)在X-Bar & R chart 上反映出來(lái)，我們通過(guò)查找管制圖中記錄的重大事項(xiàng)就可以明了。

1 建立管制界限的條件

1.1 標(biāo)準(zhǔn)差的預(yù)估

利用鮑羅米強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)式以誤差傳遞的方法推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)差：

式中：

σ——標(biāo)準(zhǔn)差；

f——混凝土強(qiáng)度；

CVc——水泥強(qiáng)度誤差變異系數(shù)；

CVt——試驗(yàn)誤差變異系數(shù)；

CVc/w——膠水比誤差變異系數(shù)；

m——一組試模的試塊數(shù)量；

a, b——影響系數(shù)；

C——水泥強(qiáng)度。

其中 CVc/w是由水泥用量變異系數(shù)和用水量變異系數(shù)共同組成，水泥用量誤差即水泥稱量誤差，用水量的誤差除了水的稱量誤差外，還有其他很多因素，所以攪拌站主要控制的是用水量的誤差。

CVc/w、CVc、CVt、三者中 CVt最小，CVc次之，CVc/w最大，按照公式做出了控制水平優(yōu)秀、良好和普通三個(gè)等級(jí)，利用這三個(gè)等級(jí)分別求出了不同的標(biāo)準(zhǔn)差。如表 1。

從表 1 中可以看出：隨著控制水平的逐漸降低，標(biāo)準(zhǔn)差 σ 越來(lái)越大。相應(yīng)可以求出混凝土強(qiáng)度的變異系數(shù) CV = σ/f，代入公式 (1)，已知混凝土強(qiáng)度的截距 B（混凝土強(qiáng)度回歸后的截距 B），一組試件 m=3，以及 CVc、CVt和 CVc/w的上限值，代入式 (1)，得到了不同強(qiáng)度等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù) CV（上限值）圖（圖3），不同控制水平的條件見(jiàn)表 2。

表1 三個(gè)不同控制水平的標(biāo)準(zhǔn)差

表2 不同控制水平的條件

從圖 3 可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差隨著混凝土強(qiáng)度等級(jí)變大從接近 0 開始逐漸變大，變異系數(shù)隨著強(qiáng)度等級(jí)變大從無(wú)窮大逐漸變小。

圖3 不同強(qiáng)度等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)

1.2 試件組數(shù) n 與概率度

隨機(jī)抽樣必然存在客觀與主觀因素影響，當(dāng)試件組數(shù) n 足夠多，這種誤差影響才會(huì)降低。根據(jù)中心極限理論，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的分布將趨近于正態(tài)分布，客觀與主觀因素影響正態(tài)分布曲線集中分布正態(tài)分布的左右邊，對(duì)概率度造成影響。根據(jù)不同結(jié)構(gòu)不同試件組數(shù) n 得到的概率度統(tǒng)計(jì)表見(jiàn)表 3。

表3 不同結(jié)構(gòu)不同試件組數(shù) n 得到的概率度統(tǒng)計(jì)表

本文只討論方法 1。方法 1 按樣本最小值隨樣本容量增大而減小的統(tǒng)計(jì)規(guī)律確定。

對(duì)于 n 的選擇可以根據(jù)實(shí)際情況選擇，在這里我們?nèi)?n=30。

1.3 預(yù)測(cè)強(qiáng)度均值（配制強(qiáng)度）

由于混凝土強(qiáng)度的變異性和抽樣的隨機(jī)性，抽樣必然對(duì)試件強(qiáng)度有影響，影響因素有試件組數(shù) n 和兩類錯(cuò)誤 α 和 β。α 為抽樣檢驗(yàn)的第一類錯(cuò)誤，生產(chǎn)方損失，把低于驗(yàn)收強(qiáng)度 fa的錯(cuò)判為不合格，α 一般取 10%；β為第二類錯(cuò)誤，使用方風(fēng)險(xiǎn)，將不合格漏判為合格。β 根據(jù)工程施工養(yǎng)護(hù)情況可以取 5% 和 10%，要求兩類錯(cuò)誤越小，則配制強(qiáng)度越高，允許兩類錯(cuò)誤越大，則配制強(qiáng)度越小。根據(jù)圖 4 確定了預(yù)測(cè)強(qiáng)度均值的計(jì)算公式（式 (2)）。根據(jù)工程類型和混凝土強(qiáng)度等級(jí)、試件組數(shù) n，以及兩類錯(cuò)誤 α 和 β 的取值，可以求得配制強(qiáng)度。

圖4 試件強(qiáng)度平均值的驗(yàn)收強(qiáng)度 fa配制強(qiáng)度 fm 的確定方法圖示

2 X-Bar & R chart 控制圖

在這里不分析標(biāo)準(zhǔn)差很大的情況，只分析標(biāo)準(zhǔn)差最小的情況。根據(jù) GB 50164—2011《混凝土質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)》，C35 選取最小標(biāo)準(zhǔn)差 3.5MPa。

（1）C35 混凝土的 28 天強(qiáng)度 30 組數(shù)據(jù)見(jiàn)表 4。

表4 30 組混凝土的 28 天強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)表 MPa

由表 3 得：預(yù)期強(qiáng)度為 35+2.18×3.5=42.6(MPa)，再算出上控制線為：42.6+3×3.5=53.1(MPa)，下控制線為：42.6-3×3.5=32.1(MPa)，上警戒線為 42.6+2×3.5=49.6(MPa)，合格下限為 35-0.5×3.5= 33.25(MPa)，實(shí)際平均值為 42.8MPa，實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)差為 2.5MPa。根據(jù)表 4及算出的線值作圖，見(jiàn)圖 5。

圖5 C35 混凝土強(qiáng)度控制圖

從圖 5 明顯可以看出預(yù)測(cè)強(qiáng)度平均值與實(shí)際強(qiáng)度平均值距離相不大，但是預(yù)估強(qiáng)度平均值在實(shí)際強(qiáng)度平均值下面，說(shuō)明有普通原因?qū)е碌淖儾?，還是處于受控狀態(tài)。

（2）假如表 4 強(qiáng)度數(shù)據(jù)是 C30 混凝土 28 天強(qiáng)度，預(yù)估標(biāo)準(zhǔn)差為 3.5MPa，由式(2) 得：預(yù)估強(qiáng)度平均值為 37.4MPa，再算出上控制線為 47.9MPa，下控制線為26.9MPa，上警戒線為 44.4MPa，合格下限為 28.25。作圖見(jiàn)圖 6。

圖6 C30 混凝土強(qiáng)度控制圖

從圖 6 明顯可以看出預(yù)測(cè)強(qiáng)度平均值在實(shí)際強(qiáng)度平均值之下，而且距離相差很大，部分已經(jīng)超出了上警戒線。這是由特殊原因造成的失控狀態(tài)，例如砂含水測(cè)量偏高，水泥強(qiáng)度測(cè)量偏低，外加劑多計(jì)量。

（3）假如表 4 強(qiáng)度數(shù)據(jù)是 C45 混凝土 28 天強(qiáng)度，預(yù)估標(biāo)準(zhǔn)差為 3.5MPa，由式 (2) 得：預(yù)估強(qiáng)度平均值為 52.4MPa，上控制線為 62.9MPa，下控制線為 41.9MPa，上警戒線為 59.4MPa，合格下限為43.25MPa。作圖見(jiàn)圖 7。

圖7 C45 混凝土強(qiáng)度控制圖

從圖 7 明顯可以看出預(yù)測(cè)強(qiáng)度平均值在實(shí)際強(qiáng)度平均值之上，而且距離相差較遠(yuǎn)，并達(dá)到了合格下線邊緣，說(shuō)明砂含水測(cè)量偏低，水稱計(jì)量出錯(cuò)，操作加水，砂含泥量增大等問(wèn)題，處于失控狀態(tài)，繼續(xù)下去會(huì)造成安全質(zhì)量事故。

控制水平普通，選取標(biāo)準(zhǔn)差 σ=5MPa，同樣的強(qiáng)度數(shù)據(jù)，如圖 8 所示，預(yù)測(cè)強(qiáng)度平均值在實(shí)際強(qiáng)度平均值之上，距離相差不遠(yuǎn)，說(shuō)明控制水平良好。

圖8 標(biāo)準(zhǔn)差為 5 的 C35 混凝土強(qiáng)度控制圖

移動(dòng)極差 Rs 數(shù)據(jù)詳見(jiàn)表 5。通過(guò)移動(dòng)極差明顯可以看出每個(gè)值之間的波動(dòng)情況（圖 9）。移動(dòng)極差平均值為 2.1。移動(dòng)極差沒(méi)有最低值，但限制上限值，我們需要做的就是不能超過(guò)上警戒線。

3 結(jié)語(yǔ)

混凝土的強(qiáng)度波動(dòng)可以用 X-Bar & R chart 控制圖，三條線與預(yù)測(cè)均值的比較，方便明了，直觀反映控制水平。對(duì)于強(qiáng)度的預(yù)警作用非常明顯。在實(shí)施時(shí)主要做好標(biāo)準(zhǔn)差、概率度和配制強(qiáng)度的準(zhǔn)確把握。

表5 移動(dòng)極差表 MPa

圖9 移動(dòng)極差波動(dòng)圖