歸因,筑基,提能

江蘇省無(wú)錫市第一中學(xué)(214031)孫桂梅

日常教學(xué)過(guò)程中,時(shí)常會(huì)遇到一些形式問(wèn)法簡(jiǎn)單卻又容易錯(cuò)的基礎(chǔ)問(wèn)題.在面對(duì)這些問(wèn)題時(shí)教師時(shí)常會(huì)出現(xiàn)“強(qiáng)調(diào)多遍,依然易錯(cuò)”的教學(xué)困惑.而復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是由多個(gè)基礎(chǔ)的問(wèn)題通過(guò)整合形成的,如果在基礎(chǔ)問(wèn)題上就錯(cuò)誤很多,那面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)就更難有效解決了.教師平時(shí)應(yīng)該關(guān)注這些基礎(chǔ)題,通過(guò)分析易錯(cuò)原因,尋找解決錯(cuò)誤的方法,幫助學(xué)生提高解題的能力,形成較為扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功,并在這一過(guò)程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者結(jié)合實(shí)例談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí).

1 基礎(chǔ)題錯(cuò)因歸納

1.1 概念容易混淆

題組1 展示的四個(gè)問(wèn)題,我們可以發(fā)現(xiàn)其中的共同特征就是面對(duì)的數(shù)學(xué)對(duì)象有相近概念,容易混淆.第一問(wèn)是集合運(yùn)算,集合的交集和并集,是高中數(shù)學(xué)起始課內(nèi)容,作為一種基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,其在描述問(wèn)題,解決問(wèn)題的過(guò)程中起著重要的作用,但是又因?yàn)槠浜?jiǎn)單,其概念往往容易受到學(xué)生的忽視,在新學(xué)的過(guò)程中,通過(guò)短期記憶雖然能夠做到有效區(qū)分,但是時(shí)間一長(zhǎng)經(jīng)常因?yàn)檫z忘而導(dǎo)致概念混淆,把“∪”,“∩”概念弄反是典型的錯(cuò)誤.第二問(wèn)是函數(shù)的零點(diǎn)求解,函數(shù)的零點(diǎn)在文字定義的時(shí)候以“點(diǎn)”收尾,故在概念識(shí)別時(shí)經(jīng)常導(dǎo)致學(xué)生將零點(diǎn)認(rèn)識(shí)為一個(gè)點(diǎn)而不是實(shí)數(shù).第三問(wèn)是已知直線截距特征判斷直線條數(shù),直線的截距這一概念和函數(shù)零點(diǎn)類(lèi)似,最后文字定義是以“距”收尾,故在概念識(shí)別時(shí)容易和距離產(chǎn)生混淆,出現(xiàn)將其看作是坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等的錯(cuò)誤.第四問(wèn)是已知兩圓位置關(guān)系求參數(shù)范圍.圓與圓的位置關(guān)系中相交是指兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn),但是此概念容易和生活中的相交即有公共點(diǎn)的慣性思維相混淆,出現(xiàn)|r-1|≤O1O2≤r+1 的錯(cuò)解.上述問(wèn)題易錯(cuò)主因是概念容易混淆,學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中因?yàn)閮?nèi)容簡(jiǎn)單,概念形成階段就忽視了對(duì)概念的仔細(xì)辨析,沒(méi)有形成正確的認(rèn)知,導(dǎo)致錯(cuò)誤的產(chǎn)生.

1.2 多含隱性條件

1.3 方法多易錯(cuò)選

題組3:(1)過(guò)點(diǎn)A(0,1)作直線l,使它夾在直線x -3y+ 10=0 和2x+y -8=0 間的線段被A點(diǎn)平分,則直線l的方程為_(kāi)___.

(2)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my -2=0 的距離,當(dāng)θ,m變化時(shí),d的最大值為_(kāi)___.

第三個(gè)錯(cuò)因?yàn)榻夥ㄍ緩捷^多,但是不同解法的繁易差別大,學(xué)生錯(cuò)選繁瑣的方法以后導(dǎo)致出錯(cuò).題組3 的第一小問(wèn)大部分同學(xué)初遇問(wèn)題均會(huì)使用設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線的斜率,列出所求直線斜截式方程與已知兩直線方程聯(lián)立求解出交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而通過(guò)中點(diǎn)為A求解斜率的方法,但是中途往往會(huì)因?yàn)榉爆嵉挠?jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤.若通過(guò)設(shè)點(diǎn)法,先設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)再通過(guò)中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化,求解出其關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)后再代入另一直線方程從而求出所設(shè)點(diǎn),最后通過(guò)兩點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出直線方程的解法,那么計(jì)算過(guò)程就會(huì)大大簡(jiǎn)化.第二問(wèn)若直接通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式寫(xiě)出那么面對(duì)的問(wèn)題函數(shù)形式復(fù)雜,變量關(guān)系不易把握,容易出現(xiàn)思維的障礙,導(dǎo)致錯(cuò)解,如若將題中θ的范圍加以限定,那么代數(shù)的解法將更加難以繼續(xù)下去.若采用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為單位圓上一點(diǎn),到過(guò)定點(diǎn)A(2,0)的直線x-my-2=0 的最大距離,就可迅速得到d的最大值為OA+1=3.

從上述問(wèn)題我們可以看出,好的方法可以簡(jiǎn)化問(wèn)題,提高解題效率,但是錯(cuò)誤的方法往往會(huì)增加求解難度,導(dǎo)致錯(cuò)誤的出現(xiàn).

1.4 需分類(lèi)易漏解

題組4:(1)設(shè)A={x|x2-8x+15=0},B={x |ax-1=0},若A ∩B=B,求實(shí)數(shù)a組成的集合的子集有____個(gè).

(2)在ΔABC中,a=52,c=10,A=30°,則B等于____.

(3)正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為2 和4 的矩形,則它的體積為_(kāi)___.

(4)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn且數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)___.

第四個(gè)錯(cuò)因?yàn)閱?wèn)題情況較多,分類(lèi)過(guò)程中容易出現(xiàn)漏解.題組4 中的第一問(wèn)題由條件A ∩B=B可得B ?A,任何集合的子集都需討論空集,但在實(shí)際解題過(guò)程中極易忽略這種特殊情況造成漏解.第二問(wèn)中通過(guò)正弦定理解得后,容易忽略C在(0,π)內(nèi)有兩解導(dǎo)致漏解.第三問(wèn)中的正三棱柱側(cè)面源自矩形的折疊,但是解題時(shí)若忽視了折疊的兩種方式,容易出現(xiàn)漏解.第四問(wèn)中在應(yīng)用Sn與an的關(guān)系時(shí)容易出現(xiàn)an=Sn -Sn-1對(duì)于任意n值都成立的錯(cuò)解,實(shí)際其只對(duì)n≥2 的正整數(shù)成立,需對(duì)n=1 的情況單獨(dú)驗(yàn)證,只有在當(dāng)n=1 適合an=Sn -Sn-1(n≥2)時(shí)才能得到其為等比數(shù)列,否則其通向公式要寫(xiě)成分段形式.我們從以上問(wèn)題可以看出,分類(lèi)討論作為一種重要的思想方法,若在簡(jiǎn)單題中有效滲透同樣能夠起到很好的考查效果,但是若學(xué)生沒(méi)有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),缺乏必要的數(shù)學(xué)思想方法,同樣也容易出現(xiàn)解題的錯(cuò)誤.

1.5 規(guī)范強(qiáng)易出錯(cuò)

題組5:(1)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)___.

(2)?x ∈(1,2),x2-ax+1＞0 恒成立,則a的取值集合為_(kāi)___.

第五個(gè)錯(cuò)因?yàn)榛卮鹨?guī)范要求比較強(qiáng),在形式上容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.題組5 中第一問(wèn)在回答過(guò)程中學(xué)生極易將答案寫(xiě)成(-∞,0)∪(0,+∞),原因在于學(xué)生關(guān)注了其單調(diào)性為減,忽視了定義域?qū)⑶€斷開(kāi)成兩段并未連續(xù)減,結(jié)合單調(diào)性的定義,沒(méi)有真正理解單調(diào)性應(yīng)為函數(shù)的局部性質(zhì),此處無(wú)法用并集相連.第二問(wèn)是形式簡(jiǎn)單的不等式恒成立問(wèn)題,但是卻蘊(yùn)含著兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),首先給出的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間,因端點(diǎn)值無(wú)法取得,故若在端點(diǎn)處取得函數(shù)最值時(shí)結(jié)論需帶等號(hào).其次,問(wèn)的是a的取值集合,根據(jù)形式化要求,最后結(jié)果需寫(xiě)成集合或者區(qū)間形式.從上面兩例可看到,回答簡(jiǎn)單題時(shí),依然要關(guān)注解題步驟中的每一個(gè)細(xì)節(jié),否則都可能導(dǎo)致結(jié)論出錯(cuò).

2 幾點(diǎn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)

2.1 重視基礎(chǔ)概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們能夠用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題的內(nèi)在素養(yǎng),其由數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,數(shù)學(xué)思想和方法,數(shù)學(xué)能力和觀念等組成.而數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)保證,故而教師在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中就應(yīng)當(dāng)重視基礎(chǔ)概念的教學(xué).例如面對(duì)題組1 中呈現(xiàn)的因?yàn)楦拍罨煜霈F(xiàn)的錯(cuò)誤,學(xué)生反復(fù)出錯(cuò)的根本原因在于起始課概念習(xí)得的過(guò)程多為自學(xué),或者教師直接告知,沒(méi)有經(jīng)歷概念的完整生成過(guò)程,故容易遺忘.要讓學(xué)生做到概念清晰,首先教師自己要弄清每一個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念,并且能夠加以串聯(lián),揭示不同概念間的內(nèi)在聯(lián)系,努力做到即能展示其形式,又能揭示其本質(zhì).其次教師在概念教學(xué)中一定要合理設(shè)計(jì),切不可因?yàn)楦拍詈?jiǎn)單就一帶而過(guò).教師可以通過(guò)自主學(xué)習(xí),探究式教學(xué),變式教學(xué)等多種教學(xué)形式幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程.最后教師可以打破章節(jié)壁壘,通過(guò)對(duì)知識(shí)題目的重新整合,利用簡(jiǎn)單易錯(cuò)題,再次引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí).

2.2 重視數(shù)學(xué)思維的教學(xué)

要具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)必須先具備分析、綜合、比較、聯(lián)想、類(lèi)比、抽象、概括等數(shù)學(xué)思維能力.而簡(jiǎn)單易錯(cuò)題在學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)上同樣能夠發(fā)揮至關(guān)重要的作用.從簡(jiǎn)單易錯(cuò)題的類(lèi)型上可以看出,后面三類(lèi)易錯(cuò)題其易錯(cuò)的本質(zhì)原因在于數(shù)學(xué)思維的缺失,轉(zhuǎn)化問(wèn)題缺乏對(duì)隱性條件的挖掘,在多種思想方法可以解決同一問(wèn)題時(shí)無(wú)法有效識(shí)別方法繁易,在問(wèn)題需要進(jìn)行多情況討論時(shí),分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不明確,造成錯(cuò)解或者漏解,故而教師在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中就應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)思維的教學(xué).首先教師在教學(xué)過(guò)程中一定要充分暴露學(xué)生解題時(shí)的思維,在易錯(cuò)點(diǎn)位設(shè)計(jì)探索環(huán)節(jié),讓學(xué)生真正的體會(huì)到在解決問(wèn)題的過(guò)程中數(shù)學(xué)思維方法的作用,培養(yǎng)學(xué)生解題過(guò)程中思維的調(diào)整能力.其次教師講題一定要從學(xué)生的思維起點(diǎn)出發(fā),對(duì)于簡(jiǎn)單易錯(cuò)題的剖析要符合學(xué)生的原始認(rèn)知,注重?cái)?shù)學(xué)思維對(duì)于問(wèn)題求解的作用,將幾個(gè)易錯(cuò)環(huán)節(jié)逐個(gè)擊破.

2.3 重視數(shù)學(xué)糾錯(cuò)的教學(xué)

目前很多教師都會(huì)讓學(xué)生訂正錯(cuò)題,但是很多時(shí)候并未取得良好的效果,最后學(xué)生的糾錯(cuò)也都停留在形式上,沒(méi)有真正的起到糾錯(cuò)的效果.教師對(duì)于簡(jiǎn)單易錯(cuò)題的處理存在以下兩種錯(cuò)誤方式,第一種因?yàn)楹?jiǎn)單易錯(cuò)題難度較小,所以教師會(huì)摒棄不講,長(zhǎng)此以往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生忽視簡(jiǎn)單易錯(cuò)題,失去通過(guò)其鞏固基本概念,培養(yǎng)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思維能力的機(jī)會(huì);第二種因?yàn)閷?duì)學(xué)生不放心,幾乎學(xué)生錯(cuò)的題目都會(huì)講,但受限時(shí)間往往成為老師的一言堂,在這樣的課堂上很難看到教師和學(xué)生的思維互動(dòng),學(xué)生對(duì)自身錯(cuò)誤的原因得不到充分的認(rèn)知,這樣就限制了學(xué)生思維的發(fā)展.因此教師可以要求學(xué)生重視簡(jiǎn)單易錯(cuò)題的自查、自糾,通過(guò)學(xué)生的反思,再結(jié)合課上有針對(duì)性的講評(píng),回溯錯(cuò)誤原因,糾正認(rèn)知的錯(cuò)誤,幫其掌握基本概念,思想方法和解題細(xì)節(jié).這樣就可以充分的借助易錯(cuò)題,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、以及解決問(wèn)題的能力,最大限度的激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情,使得數(shù)學(xué)素養(yǎng)再糾錯(cuò)的過(guò)程中得到充分的培養(yǎng).

2.4 重視數(shù)學(xué)規(guī)范的教學(xué)

數(shù)學(xué)是最體現(xiàn)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的學(xué)科之一,任何規(guī)范性的錯(cuò)誤都是不被允許的.解題時(shí)即使是簡(jiǎn)單題依然要關(guān)注解題細(xì)節(jié),避免出現(xiàn)如回答形式,范圍端點(diǎn),解題跳步等細(xì)節(jié)錯(cuò)誤.因此教師在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中一定要關(guān)注細(xì)節(jié)教學(xué),從學(xué)生學(xué)習(xí)伊始就認(rèn)識(shí)到規(guī)范的解答和結(jié)論是什么樣子的,形成正確的認(rèn)識(shí).教學(xué)中應(yīng)該盡量避免因?yàn)橹v解不到位,學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤意識(shí),再通過(guò)糾錯(cuò)去扭轉(zhuǎn)認(rèn)知的情況.因?yàn)殄e(cuò)誤意識(shí)一旦形成想要快速糾正是難以實(shí)現(xiàn)的.在糾正的過(guò)程中,同類(lèi)型的問(wèn)題會(huì)反復(fù)出錯(cuò),糾正得當(dāng)固然可以,但一旦沒(méi)有得到有效糾正,則嚴(yán)重影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展,從而影響數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.

綜上所述,我們?cè)谌粘＝虒W(xué)過(guò)程中“知識(shí)”是基礎(chǔ),“方法”是手段,“思想”是深化,“細(xì)節(jié)”定成敗.提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)該重視基礎(chǔ),包括重視基礎(chǔ)概念,重視基本數(shù)學(xué)思維和方法,重視細(xì)節(jié)等.只有這樣才能將素養(yǎng)真正轉(zhuǎn)化為“能力”,為將中學(xué)生培養(yǎng)成為全面發(fā)展的人打下良好的基礎(chǔ).