基于深度學(xué)習(xí)的“微專題”教學(xué)分析與設(shè)計
——以“一次函數(shù)與面積問題”為例

廣東省佛山市順德區(qū)龍江外國語學(xué)校(528318)白彩云

廣東省佛山市順德區(qū)龍江里海學(xué)校(528318)陳明熾

1 引言

微專題教學(xué)為何會引起教師關(guān)注,因為微專題主要針對的是學(xué)生在練習(xí)中暴露出來的薄弱環(huán)節(jié),一般都是學(xué)生知識缺失的地方,所以也就更能引起學(xué)生的興趣,激發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).它立足于學(xué)情、教情、考情,選擇一些切入小、角度新、針對性強的微型專題,力求解決教學(xué)中的真問題、小問題和實問題.微專題的“微”,是來自學(xué)生學(xué)習(xí)的難點或疑點,是解析某一種數(shù)學(xué)問題過程中想不到或不注意的突破口,是容易發(fā)生偏差與疏漏的思想方法、思考角度,且這種“突破口”、“思想方法”、“思考角度”在解析其他知識問題或題型時同樣會出現(xiàn),真正的“微”是“突破口”、“方法”、“角度”.微專題的“?！笔侵附馕鰯?shù)學(xué)問題或題型過程中影響正確結(jié)論的某一點知識、某一種思維方法、某一個思考角度等.這就需要教師立足在“點”、“角度”、“方法”,將相關(guān)的各“數(shù)學(xué)問題”、各類“題型”組織起來,集中“火力”專門解決這類問題“小切口”的教學(xué).

微專題的作用是主要體現(xiàn)在應(yīng)用變式教學(xué)促進深度學(xué)習(xí),它整合聯(lián)系一類問題橫向和縱向的深入,引導(dǎo)學(xué)生對典型方法進行提煉,深度探究,拓展數(shù)學(xué)思維.微專題教學(xué)的目標(biāo)指向是: 基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想(數(shù)形結(jié)合、分類討論),基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.微專題教學(xué)的素養(yǎng)指向是: 數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.

微專題提思維,改編教材,分散難點,穿插教學(xué),提分磨尖.微專題雖是“小專題”,卻體現(xiàn)“大智慧”.微專題教學(xué)應(yīng)該是什么樣的教學(xué)? 如何進行微專題教學(xué)設(shè)計? 本文就“一次函數(shù)與面積問題微專題”教學(xué)設(shè)計案例進行解析探究.

2 研課標(biāo)

2.1 顯性關(guān)聯(lián)的課標(biāo): 函數(shù)、三角形面積、坐標(biāo)與圖形位置

(1)探索簡單實例中的數(shù)量關(guān)系.(求函數(shù)表達式,數(shù)學(xué)建模和待定系數(shù)法)

(2)能確定簡單實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍,并會求出函數(shù)值.(列、解不等式組,最值,配方法)

(3)能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關(guān)系.(圖像法、解析式法,列表法)

(4)結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析,能對變量的變化情況進行初步討論.(變量的取值范圍,分類討論思想)

(5)會寫出三角形的頂點坐標(biāo),體會可以用坐標(biāo)刻畫一個簡單圖形.(坐標(biāo)的意義,直線平行與垂直的直觀感知,作輔助線——坐標(biāo)軸的垂線)

2.2 隱性關(guān)聯(lián)的課標(biāo): 方程、不等式、尺規(guī)作圖、坐標(biāo)與圖形運動

能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程,體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.(函數(shù)與方程的思想)

能根據(jù)具體問題的實際意義,檢驗方程的解是否合理.(會做解題后的反思、驗證解(多個解時)的合理性)

3 磨考題

3.1 考題集錦

題1(佛山市順德區(qū)2019 學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測第22 題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一直線對應(yīng)的一次函數(shù)是.

(1)在x軸上畫出對應(yīng)的點A;

(2)若直線l經(jīng)過點A,求直線l與坐標(biāo)軸所圍的三角形面積.

題1 圖

題2 圖

題2(佛山市順德區(qū)2018 學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測第23 題)已知點A(0,4),C(-2,0)在直線l:y=kx+b上,l和函數(shù)y=-4x+a的圖像交于點B.

(1)求直線l的表達式;

(2)若點B的橫坐標(biāo)是1,求關(guān)于x、y的方程組的解及a的值.

(3)若點A關(guān)于x軸的對稱點為P,求ΔPBC的面積.

3.2 解題反思

3.2.1 立意解讀

(1)考點梳理: 一次函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系為情境的綜合題,主要考查一次函數(shù)的定義(求函數(shù)解析式)、一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系、利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度求三角形的面積等知識.

(2)設(shè)問方式: 三角形的存在性問題,即由存在三角形求點的坐標(biāo),再轉(zhuǎn)化為線段長度.

(3)技能要求: 處理方程和方程組計算的運算能力(先化簡后求值的解方程),構(gòu)造圖形面積的幾何直觀作圖(作坐標(biāo)軸的垂線)、利用割補方法挖掘求三角形面積的數(shù)感.

(4)解題思維: 易想難求(解決三角形面積問題的方法容易想得到、如何確定不規(guī)則三角形的底和高是思維突破的難點、列出方程后的解方程是運算的難點).

3.2.2 障礙梳理

(1)解方程(組)的運算、復(fù)雜方程(無理數(shù)系數(shù))的求解.

(2)確定三角形的底和高的方法.

(3)動點問題分類討論的全面性.

(4)點的坐標(biāo)與線段的長度的轉(zhuǎn)化.

3.2.3 方法歸納

(1)求一次函數(shù)的解析式時用待定系數(shù)法.

(2)求點的坐標(biāo)用解方程(組)法.

(3)作圖構(gòu)造三角形的高輔助數(shù)形結(jié)合法.

(4)分析動點三角形面積時需要用到對應(yīng)的思想進行分類討論法.

(5)探究的思路: 先根據(jù)題目條件求出一次函數(shù),再確定所求三角形的底(一般選擇落在坐標(biāo)軸上的線段作為底),然后根據(jù)底確定高的情況(一般是解方程得到交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)作為高).

4 教學(xué)設(shè)計

(一)教學(xué)目標(biāo)對解決此類問題的幾個障礙點形成有效地解決方法,能形成解決一次函數(shù)與三角形問題的思維范式和操作程序.

(二)教學(xué)關(guān)鍵三角形面積模型的整合與構(gòu)造、重在關(guān)聯(lián)和生成聯(lián)系.

(三)教學(xué)重點講審題、講障礙、講方法、講思維、講聯(lián)系、講變化

(四)教學(xué)方法問題驅(qū)動法、啟發(fā)講授法、交流內(nèi)化法

(五)教學(xué)流程

1、障礙點突破講練

預(yù)習(xí)稿:

(1)如 圖 1-1,點A,B,C的 坐 標(biāo) 分 別 為(3,2),(1,0),(4,0),則ΔABC的面積為____.

圖1-1

(2)如 圖 1-2,點A,B,C的 坐 標(biāo) 分 別 為(-1,3),(-3,0),(2,0),則ΔABC的面積為____.

圖1-2

(3)如圖1-3,點A,B,C的坐標(biāo)分別為(-1,3),(-3,-2),(2,-2),則ΔABC的面積為____.

圖1-3

(4)如圖1-4,已知點A、B的坐標(biāo)分別為(1,2),(3,0),點C在x軸上,且ΔABC的面積為5,則點C的坐標(biāo)為____.

圖1-4

(5)點M(3,4)到x軸的距離是____,到y(tǒng)軸的距離是____,到原點的距離是____.

(6)已知點P在坐標(biāo)軸上,且OP=3,則點P的坐標(biāo)為____.

(7)已知在平面直角坐標(biāo)系中有一點P,它到x軸的距離為3,到y(tǒng)軸的距離為5,則點P的坐標(biāo)為____.

(8)直線y=-x+6 與x軸的交點坐標(biāo)是____,與y軸的交點坐標(biāo)是____.

(9)畫出直線y=2x+2 與直線y=-x+6 的草圖,并求它們的交點坐標(biāo).

(10)如圖1-5,求直線y=-x+ 6 與坐標(biāo)軸圍成的ΔABC的面積.

圖1-5

設(shè)計說明本環(huán)節(jié)設(shè)計目的是解決學(xué)生的畫圖障礙、計算障礙和點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長的障礙.要求學(xué)生課前完成,教師課前5 分鐘進行總結(jié)求三角形面積的方法以及點評在函數(shù)求三角形面積的技巧利用點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為底和高.

2、核心問題思維生長

【定點問題】

1.動手探究: 請你在右圖上添加一條直線,與原圖構(gòu)成一個封閉圖形,并求出這個新圖形的面積.要求:(1)添加的直線要標(biāo)出表達式;(2)交點用大寫字母標(biāo)圖;(3)你所選的新圖形,要涂上陰影.我添加的直線是____.我提出的問題是: 求____.

我還有另一種方案,添加的直線是____.我提出的問題是: 求____.

設(shè)計說明本環(huán)節(jié)采用讓學(xué)生構(gòu)建知識關(guān)聯(lián),發(fā)展學(xué)生思維訓(xùn)練,老師通過遞進問題驅(qū)動學(xué)生思考,通過追問引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)與反思,從而讓學(xué)生自己形成類型1 能直接確定底和高的面積問題解題方法: 交點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長.

2.如圖2-1,在上面的圖上,添加直線y=2x+2,與原直線y=-x+6 交于點C,與兩坐標(biāo)軸分別相交于點D,E.求ΔCEB的面積.

圖2-1

設(shè)計說明本環(huán)節(jié)設(shè)計這個典型問題能聚焦方法與模型,核心問題驅(qū)動,構(gòu)建知識關(guān)聯(lián),發(fā)展思維訓(xùn)練,形成類型1: 能直接確定底和高的面積問題的解題方法和程序.本環(huán)節(jié)教師需板書解題過程,并進行解題步驟總結(jié),這是解題規(guī)范性的必須,也是“復(fù)雜問題簡單寫”提高解題速度的必須.

變式1 圖

3、關(guān)聯(lián)問題思維生長

變式1: 在第2 題的基礎(chǔ)上,過點B,再多加一條直線y=-2x+12,與直線DC交于點F,求ΔFCB的面積.

設(shè)計說明本環(huán)節(jié)的變式訓(xùn)練“方法悟于過程,變式指向本質(zhì)”,聚焦典型問題的變化與拓展,聚焦聚合思維,形成類型2: 不能直接確定底和高的面積問題的解題技能,課堂訓(xùn)練可結(jié)束,但深度思考卻不停步.

4、解題總結(jié)

(1)解題方法總結(jié)

(2)解題步驟(程序)總結(jié)

①找——交點坐標(biāo),②列——方程或方程組,③解——解方程(組),④化——交點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長度(底和高),⑤求——三角形面積(直接求或割補法).

5、深化拓展

變式2: 陰影部分有何異同?

變式3: 如圖,動點M在線段OC和射線CA上運動,上否存在點M,使ΔAOM的面積是ΔCOB的? 若存在,求出此時點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

變式3 圖

變式4 圖

變式4: 如圖,動點P在折線O - C - B上運動,設(shè)ΔPOB的面積為S,請用含x的代數(shù)式表示S.

設(shè)計說明本環(huán)節(jié)根據(jù)給出情境對母題進行改編,做變式教學(xué),由定點的三角形面積問題深化到動點的三角形面積問題,加深對本節(jié)課知識的整體理解,圍繞三角形面積這個知識點,形成相互關(guān)聯(lián)、思維遞進的知識鏈,讓學(xué)生從不同角度、不同類型和不同特點出發(fā),在學(xué)習(xí)訓(xùn)練過程中建構(gòu)知識體系,考慮如何根據(jù)不同類型的實際問題,轉(zhuǎn)化為同類型的圖形和數(shù)學(xué)方法.

5 總結(jié)

微專題教學(xué)對教師自身提出了更高的要求,教師必須不斷提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對教材、試題等做更深刻的理解、探索,善于思考、總結(jié),善于歸納、提煉,善于發(fā)現(xiàn)問題.微專題的設(shè)計要符合學(xué)生需求,教師必須全面了解學(xué)生的整體學(xué)習(xí)情況,有針對性地設(shè)計微專題的教學(xué).

合理有效運用“微專題”教學(xué),能夠讓學(xué)生學(xué)會并熟練在應(yīng)用問題情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建模型,求解結(jié)論,驗證結(jié)果并改進模型,最終解決實際問題,促進數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成,積累用數(shù)學(xué)解決實際問題的經(jīng)驗.