初中數(shù)學(xué)建模課程的探究與實踐思考*
——以商品的價格規(guī)律問題為例

北京市十一學(xué)校龍樾實驗中學(xué)(100096)彭芳芳

中國科學(xué)院院士李大潛提到“數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與工業(yè)、數(shù)學(xué)與創(chuàng)新的最佳結(jié)合點”.從當(dāng)前各國數(shù)學(xué)課程改革來看,通過數(shù)學(xué)建模建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系成為共同關(guān)注點.如美國課程標(biāo)準(zhǔn)將主要內(nèi)涵為“認(rèn)識到并能應(yīng)用數(shù)學(xué)于數(shù)學(xué)之外的情境中”的“數(shù)學(xué)聯(lián)系”作為重要目標(biāo).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出,“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”[1].

數(shù)學(xué)建模是一個從發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題到解釋、應(yīng)用、推廣、預(yù)測、評價的學(xué)習(xí)全過程,在滲透模型思想的同時,有助于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識,提高綜合實踐能力.

1 課程現(xiàn)狀與可行性分析

近年來,基于社會和課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)建模核心思想的強調(diào),不少高中開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程,以北京的高中為例,如北京師范大學(xué)附屬中學(xué)的“課內(nèi)延伸,內(nèi)外結(jié)合”模式,首都師范大學(xué)附屬中學(xué)的“課外活動”模式,北京市第十五中學(xué)的“調(diào)查報告式”、“論文研讀式”,北京市十一學(xué)校的“大學(xué)先修”模式等.

初中數(shù)學(xué)建模課程的開展與實踐還在探索階段,初中開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程面臨的困難主要集中在兩個方面: 一是數(shù)學(xué)工具和方法不夠,學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)工具有限,不具備深度開展數(shù)學(xué)建模的條件;二是社會支持不夠,初中階段學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模課程沒有直接的培養(yǎng)出口,導(dǎo)致學(xué)校、教師、學(xué)生和家長不愿意投入時間和精力開展此項課程.

初中階段的數(shù)學(xué)建模課程是否具有可行性? 通過廣泛調(diào)研,筆者認(rèn)為是可以的.首先,初中階段的學(xué)生已經(jīng)具備從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的抽象能力;第二,初中階段的學(xué)生已經(jīng)具備基本的解釋現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)思想和工具,比如利用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等模型工具表示數(shù)量關(guān)系與變化規(guī)律;第三,可以通過積極有效的對比實驗、專家講座等多種方式展示數(shù)學(xué)建模課程的價值,贏得學(xué)生、家長等社會相關(guān)群體的認(rèn)可.

2 數(shù)學(xué)建模的基本過程

以“同種商品不同型號的價格規(guī)律問題”為例,筆者從問題背景、模型假設(shè)、模型建立、模型的評價與優(yōu)化、模型的應(yīng)用、模型的推廣等維度談?wù)剬?shù)學(xué)建模的基本過程的思考與實踐.

2.1 課題背景

數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系,是數(shù)學(xué)發(fā)展到今天其在自身的舞臺上最精彩的表演[2].美國課程標(biāo)準(zhǔn)中強調(diào),各種水平的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),應(yīng)包括有機會解決在數(shù)學(xué)以外的情境中產(chǎn)生的問題,既可與其他學(xué)科建立聯(lián)系,又可與學(xué)生的日常生活相聯(lián)系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在總目標(biāo)中也明確提出,“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系”[1].因此,在選擇課題時,應(yīng)以生產(chǎn)生活實踐、跨學(xué)科為背景,特別是學(xué)生身邊正在發(fā)生的事例,或正在學(xué)習(xí)的跨學(xué)科知識為背景,豐富背景的趣味性和多樣性,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性,體會數(shù)學(xué)研究的價值,激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

下面是“同種商品不同型號的價格規(guī)律問題”的問題背景: 在超市中經(jīng)?？吹竭@樣的情況,同種商品有大小不同的型號,比如A 牙膏有50 克、90 克、135 克等規(guī)格,對應(yīng)的價格分別3.1 元、5.1 元、6.8 元.那么同種商品不同型號的價格有沒有什么規(guī)律呢? 你能否預(yù)測規(guī)格為210 克的該品牌牙膏的價格?

2.2 模型假設(shè)

現(xiàn)實背景的問題大多是非良構(gòu)問題,在教學(xué)過程中,可根據(jù)不同年齡階段學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、認(rèn)知能力以及個別化差異,引導(dǎo)學(xué)生進行適當(dāng)?shù)哪Ｐ图僭O(shè),將非良構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)性知識.

在“同種商品不同型號的價格規(guī)律問題”中,對于八年級的學(xué)生,可以假設(shè): 牙膏的價格與對應(yīng)規(guī)格呈線性關(guān)系.

2.3 模型建立

在課堂模型建立環(huán)節(jié),要給學(xué)生留有主動建立模型的時間與空間,啟發(fā)式教學(xué),以問題串的形式,引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象問題、分析問題、建立模型、解決問題,積極參與學(xué)習(xí)過程.

回到“同種商品不同型號的價格規(guī)律問題”中,引導(dǎo)學(xué)生以表格的方式整理問題背景中的信息,如表1所示.

表1 A牙膏不同型號信息表

問題1: 這些價格是如何制定出來的? 其中有什么規(guī)律?

問題2: 如果A 牙膏生產(chǎn)出一種新的型號,應(yīng)該定價多少?

問題3: 我們在選擇商品規(guī)格時,如何從價格上判斷哪種更合算?

【模型建立】設(shè)牙膏的規(guī)格為x克,對應(yīng)價格為y元,根據(jù)模型假設(shè),牙膏價格與牙膏規(guī)格呈一次函數(shù)關(guān)系,于是建立模型y=kx+b.任意選擇牙膏的兩組數(shù)據(jù),根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)k,b,可得如表2所示的線性模型,其圖象如圖1所示.

圖1

表2 A牙膏的三種線性模型

2.4 模型的評價與優(yōu)化

如前文所述,實際問題通常比較復(fù)雜,為了建模過程的可操作性,需要作一些必要的假設(shè),這可能會導(dǎo)致模型的解與實際情況產(chǎn)生偏差,因此我們需要對模型進行評價和優(yōu)化.模型的評價與優(yōu)化需要借助數(shù)學(xué)工具,多角度地分析、對比、評價,是一個綜合考量的過程,有助于發(fā)展學(xué)生的高階思維,培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

回到“同種商品不同型號的價格規(guī)律問題”中,從圖1 中可以發(fā)現(xiàn),對于每一條擬合直線,都恰有一個實際點不在該直線上,也就是說,各個模型與實際情況均出現(xiàn)偏差,這是由于模型關(guān)系中的線性假設(shè)造成的,那么這三條擬合直線,到底哪條的擬合程度更好呢?

為了更真實的反映數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,需要盡可能地提高直線的擬合程度.直線的擬合程度由實際值與擬合函數(shù)值的偏差決定,偏差越小,擬合程度越高,因此我們可以通過實際值與擬合函數(shù)值的偏差來評價擬合程度.對于初中階段的學(xué)生,可以引導(dǎo)其從絕對差、差的完全平方、相對差等角度進行分析評價,并對比發(fā)現(xiàn)不同評價法對評價結(jié)果的影響.

絕對值評價法: 絕對值評價法根據(jù)實際值與擬合函數(shù)值的差的絕對值來描述偏差,絕對值評價法認(rèn)為,在線性擬合的函數(shù)中,將各點的函數(shù)值與實際值的差的絕對值相加,所得和越小,擬合程度越高.

完全平方評價法: 完全平方評價法根據(jù)實際值與擬合函數(shù)值的差的平方來描述偏差,完全平方評價法認(rèn)為,在線性擬合的函數(shù)中,將各點的函數(shù)值與實際值的差的平方相加,所得和越小,擬合程度越高.

考慮到同樣是1 元的偏差,對于價格為10 元的商品與價格為100 元的商品,意義是不同的,當(dāng)絕對誤差不能真實反映線性擬合的優(yōu)劣程度時,可以考慮相對誤差評價法.

相對值評價法: 相對值評價法根據(jù)實際值與擬合函數(shù)值的差的絕對值與實際值的比值來描述偏差,相對值評價法認(rèn)為,在線性擬合的函數(shù)中,將各點的函數(shù)值與實際值的差的絕對值與實際值的比值相加,所得和越小,擬合程度越高.

表3 不同評價法對偏差的認(rèn)識

在教學(xué)中,可以引導(dǎo)學(xué)生展開以下討論: ①不同的評價方法對評價結(jié)果的影響; ②自主設(shè)計評估方法并論證其合理性,應(yīng)用該評估方法對模型的擬合程度進行分析、評價.

2.5 模型的應(yīng)用

模型建立后,可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用模型預(yù)測和解決問題,收獲課題成果,體會模型的價值,激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)動力.

在“同種商品不同型號的價格規(guī)律問題”中,應(yīng)用模型,可以預(yù)測給定規(guī)格的A 牙膏的價格,比如預(yù)測規(guī)格為210g的A 牙膏的價格,如表4所示.

表4 利用擬合直線預(yù)測A 牙膏的價格

2.6 模型的推廣

模型的推廣是從特殊到一般,提煉思想的過程,有助于提高學(xué)生的遷移應(yīng)用能力,培養(yǎng)系統(tǒng)思維和創(chuàng)新意識.

在“同種商品不同型號的價格規(guī)律問題”中,課題背景給出了A 牙膏的三種不同型號與對應(yīng)價格.現(xiàn)實生活中,情況可能會更復(fù)雜,對于同一種商品,可能有超過三種不同的型號(如四種,五種甚至十多種),那么同種商品不同型號的價格與規(guī)格的關(guān)系是否也能進行類似的擬合與評價?

例如,某超市B 品牌的洗發(fā)液有50 毫升、200 毫升、400毫升、750 毫升四種規(guī)格,對應(yīng)價格分別為8.5 元、18.5 元、34元、58 元.這些價格是如何制定的? 有什么規(guī)律? 如果該品牌的洗發(fā)液生產(chǎn)一種新規(guī)格,應(yīng)該如何定價?

3 作業(yè)與評價

課程的落地,離不開適切、精準(zhǔn)的評價,評價不僅是對學(xué)習(xí)結(jié)果的檢驗,也是對學(xué)習(xí)過程的考查.有效地設(shè)計、組織和實施評價,不僅可以幫助教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、診斷學(xué)習(xí)效果、改進教學(xué)質(zhì)量,還可以幫助學(xué)生及時有效的認(rèn)識到自己的學(xué)習(xí)過程和狀態(tài),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.

評價的設(shè)計主要要關(guān)注兩個點: 作業(yè)的開放性和評價的多元化.開放性作業(yè)是多元化評價實施的前提和載體,多元化評價包括多維度的評價內(nèi)容:“知識與技能”、“過程與方法”、“情感態(tài)度價值觀”,多樣化的評價工具和多元化的評價主體.

還是以“同種商品不同型號的價格規(guī)律問題”為例,作業(yè)如下.

請你以小組為單位,到附近的超市收集同種商品不同型號的價格,探索其中的價格規(guī)律.要求:

1.數(shù)據(jù)真實有據(jù),附照片為證;

2.建立的模型科學(xué)、合理;

3.運用適當(dāng)?shù)姆椒ㄔu估模型;

4.應(yīng)用模型解決實際問題;

5.談?wù)勀愕乃伎?

同時,筆者設(shè)計了學(xué)習(xí)過程自評量表、成果研究報告、成果分享PPT、調(diào)查問卷等評價工具.學(xué)習(xí)過程自評量表基于數(shù)學(xué)建模各個環(huán)節(jié)的過程學(xué)習(xí)而設(shè)計,由學(xué)生對照各項標(biāo)準(zhǔn)自我評價;成果研究報告,從系統(tǒng)研究、學(xué)術(shù)規(guī)范等角度評價,成果研究報告的書寫激勵學(xué)生及時總結(jié)反饋,固化成果,由同伴與教師共同評價;成果分享PPT 的演示,能夠?qū)崿F(xiàn)成果的發(fā)布、交流與評價,由同伴與教師共同評價;調(diào)查問卷基于自信心、內(nèi)動力、情感收獲等維度設(shè)計,由學(xué)生自主評價.各項評價工具對應(yīng)的評價內(nèi)容、評價主體如表5所示.

表5 評價工具的多元化評價