淺談必要性探路法在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用
——以2022 屆武漢市九調(diào)第21 題為例

武漢經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)(430058) 羅小兵

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》指出:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的[1].筆者在教學(xué)實(shí)踐中基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)展開教學(xué)研究,2022 屆武漢市九調(diào)第21 題充分體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化時(shí),要求這種轉(zhuǎn)化是等價(jià)的,即既要滿足充分性,也要滿足必要性.但在很多時(shí)候?yàn)榱苏业絾栴}的突破口,比如含參不等式的恒成立問題時(shí),可以找到使問題成立的必要條件,又由于必要條件得到的參數(shù)取值范圍是必須滿足的取值范圍,所以在對(duì)充分性進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)只需要限定在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行即可,這就是“必要性探路”.問題的關(guān)鍵是在證明必要性時(shí),我們究竟該取什么值? 為什么取這個(gè)值? 這都是值得我們深思的問題.

1 試題呈現(xiàn)與解法探究

題目1 (2022 屆武漢市九調(diào)第21 題)已知函數(shù)f(x)=2(x ?2)lnx+ax2?1,(1) 當(dāng)a=0 時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(2) 若f(x)≥0 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

評(píng)析對(duì)于解法一,優(yōu)點(diǎn)是比較符合學(xué)生的認(rèn)知水平,參變量分離也是解決恒成立問題的通性通法;缺點(diǎn)是計(jì)算量大,很多學(xué)生在求導(dǎo)時(shí)出現(xiàn)問題,同時(shí)在后續(xù)分析過程中會(huì)涉及到隱零點(diǎn)問題,也有一定難度,難以得到最終結(jié)果.

對(duì)于解法二,我們?cè)诟袊@方法巧妙的同時(shí)又心生疑惑:為什么取值是1,而不是定義域內(nèi)的其它數(shù),而且代入1 正好是參數(shù)的取值范圍.當(dāng)學(xué)生帶著這樣的疑惑來(lái)向老師求助時(shí),作為傳道受業(yè)解惑的我們,有必要厘清這種解題方法的來(lái)龍去脈.

圖1

思路探求題目答案中自變量取1 的依據(jù)是什么? 若取2,得,為什么不是這個(gè)結(jié)果呢? 有學(xué)生說(shuō)若取2,得在證明其充分性時(shí)不成立,但如果這樣的話,我們是否要把定義域內(nèi)的數(shù)一一驗(yàn)證呢,這顯然不現(xiàn)實(shí),最終的落腳點(diǎn)還是要回到自變量為什么取1 的問題上來(lái).

2 考題鏈接

評(píng)析構(gòu)造差函數(shù)和必要性探路最終都得到滿足題設(shè)的必要條件,但利用必要性探路得到參數(shù)取值范圍的過程要簡(jiǎn)潔得多;最后對(duì)充分性進(jìn)行驗(yàn)證,本題采用的是反證法.另外,對(duì)于必要性探路為什么取0 而不是其它值,分析思路依然是利用公切線求切點(diǎn).

3 推廣引申

通過上面的分析,我們可以對(duì)必要性探路法解決含參不等式恒成立問題總結(jié)如下：?x ∈D,f(x)≥g(x)恒成立,若滿足則可考慮用必要性探路,其實(shí)就是求兩條曲線的公切點(diǎn).

另外一個(gè)值得我們思考的問題是：在聯(lián)立方程組求切點(diǎn)橫坐標(biāo)過程中,如果有多組解,即兩曲線有多條公切線時(shí),又該如何處理呢？以題3 為例.

圖2

圖3

評(píng)析在聯(lián)立方程組求公切線的切點(diǎn)過程中,如果出現(xiàn)多組解,我們的探路點(diǎn)并不是隨便選取一個(gè),符合題意的探路點(diǎn)其實(shí)就是兩函數(shù)圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo),雖然可能存在其它的使不等式組成立的解,但這些點(diǎn)并不是兩函數(shù)圖象的切點(diǎn),所以往往還需要進(jìn)行更深入地分析才能找到合適的探路點(diǎn).求出參數(shù)范圍后,通常利用放縮或者求導(dǎo)證明不等式成立的充分性.

4 反思感悟

綜上所述,必要性探路在解決含參不等式恒成立問題是一個(gè)有力的武器,我們也明白了其原理和適用范圍.現(xiàn)在我們已經(jīng)知道探路點(diǎn)的獲取并不是碰運(yùn)氣,而是通過嚴(yán)密的邏輯推理所得到的.教師在進(jìn)行解題時(shí),不僅要教會(huì)學(xué)生解題方法,更要讓學(xué)生知道如何合理地選擇方法,同時(shí)對(duì)于方法的原理要知其然還要知其所以然,否則就真的成為了“碰運(yùn)氣”.必要性探路法對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)有很好的體現(xiàn),同時(shí)促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考問題.對(duì)于我們教師,在日常教學(xué)中,需要我們自己明白所教授內(nèi)容的本質(zhì),才能對(duì)學(xué)生進(jìn)行傳道受業(yè)解惑、才能讓我們的課堂更加高效、才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).