對一道橢圓中兩條直線平行問題的探究

北京市第十二中學高中部(100071) 趙 毅 劉 剛

1 問題提出

題目已知橢圓=1(a >b >0),點(1,e)和都在橢圓E上,其中e為橢圓E的離心率.

(1)求橢圓E的方程;

(2) 如圖1,設(shè)橢圓E的左、右頂點分別為A、B,過點P(?2,2) 的直線l與橢圓E分別交于點M、N,直線OP與BM交于點Q,求證:AQ//BN.

圖1

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系以及兩條直線平行問題,考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).試題構(gòu)思巧妙,解法多樣,內(nèi)涵豐富,是一道具有研究性學習價值的好題.第(1)問求得橢圓E的方程為+y2=1,下面探究一下第(2)問的證法以及推廣,供大家參考.

2 證法探究

點評兩種證法都是把證明兩條直線平行問題轉(zhuǎn)化為證明它們的斜率相等,證法1 借助點M,N的坐標表示出AQ,BN的斜率,然后聯(lián)立直線l與橢圓E的方程并根據(jù)韋達定理解決;證法2 借助橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點M,N的坐標,然后借助三角公式解決.兩種證法體現(xiàn)了坐標法的應用.

3 推廣探究

將試題一般化,得到:

性質(zhì)1 已知橢圓=1(a >b >0)的左、右頂點分別為A,B,過點P(?a,a)的直線l與橢圓E分別交于點M、N,直線OP與BM交于點Q,則AQ//BN.

由于直線AP與橢圓E相切,將點P改為直線x=?a上任一點,有:

性質(zhì)2 已知橢圓=1(a >b >0)的左、右頂點分別為A,B,過點P(?a,m)(m ∈R,且0)的直線l與橢圓E分別交于點M、N,直線OP與BM交于點Q,則AQ//BN.

若P是橢圓E外任一點,則有:

性質(zhì)3 如圖2,已知橢圓=1(a >b >0)外一點P,直線PA與橢圓E相切于點A,點A關(guān)于原點O的對稱點為B,過點P的直線l與橢圓E分別交于點M、N,直線OP與BM交于點Q,則AQ//BN.

圖2

由橢圓類比圓,雙曲線,有以下性質(zhì).

性質(zhì)4 已知圓O外一點P,直線PA與圓O相切于點A,點A關(guān)于圓心O的對稱點為B,過點P的直線l與圓O分別交于點M、N,直線OP與BM交于點Q,則AQ//BN.

證法1 如圖3,過P作圓O的另外一條切線PC,切點為C,延長PO與BN交于點D,連接CM,CA,CQ,CN,CD,AD,因為PA是圓O的切線,所以O(shè)P⊥AC.由已知可得AB是圓O的直徑,所以AC⊥BC,由此得OP//BC,于是∠PQM=∠DQB=∠QBC=∠PCM,所以P,M,Q,C四點共圓.同理,P,N,D,C四點共圓,所以∠MCQ=∠MPQ=∠NPD=∠NCD,于是∠QCD=∠MCN=∠MBN=∠QBD,所以Q,D,B,C四點共圓,所以四邊形QDBC是等腰梯形,由此得QO=OD,于是四邊形ADBQ是平行四邊形,故AQ//BN.

圖3

證法2 如圖4,過P作圓O的另外一條切線PC,切點為C,延長PO與BN交于點D,連接AC,AD,因為PA,PC是圓O的切線,A,C為切點,且PMN是圓O的割線,所以M,A,N,C是調(diào)和四邊形的四個頂點.又B在圓O上,所以BC,BM,BA,BN是調(diào)和線束.由證法1 可得OP//BC,所以QO=OD,于是四邊形ADBQ是平行四邊形,故AQ//BN.

圖4

性質(zhì)5 已知雙曲線=1(a>0,b>0)外一點P,直線PA與雙曲線E相切于點A,點A關(guān)于原點O的對稱點為B,過點P的直線l與雙曲線E分別交于點M、N,直線OP與BM交于點Q,則AQ//BN.