依心循理，破立相濟(jì)
——“歸一應(yīng)用題”還可以這樣學(xué)

北京全景化教育科技發(fā)展中心、南京赫賢學(xué)校 張宏偉

傳統(tǒng)的“歸一應(yīng)用題”，現(xiàn)今一般編排在三年級(jí)，歸屬于“解決問題”。其主要任務(wù)是讓學(xué)生用學(xué)過的知識(shí)、技能、方法等解決現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題。它是培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、理解數(shù)學(xué)和生活、學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的基本方法，是發(fā)展學(xué)生思維的重要路徑和載體。全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)對(duì)這節(jié)課做了新的嘗試：以“認(rèn)知心理學(xué)”為依據(jù)，科學(xué)利用“心理動(dòng)力學(xué)”“認(rèn)知心理平衡理論”，設(shè)計(jì)了獨(dú)特的“4 破5 立”教學(xué)。在實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的同時(shí)，學(xué)生更多地把學(xué)習(xí)重心聚焦在“完整思維、學(xué)會(huì)思考、激發(fā)創(chuàng)新、開慧啟智”上。

“4 破5 立”中的“破”是指學(xué)生突破自己現(xiàn)有的認(rèn)知平衡狀態(tài)，“立”是指學(xué)生原來已經(jīng)有的或者重新建立起來的認(rèn)知平衡狀態(tài)。

認(rèn)知平衡理論認(rèn)為：人總是具有力圖保持其內(nèi)部認(rèn)知系統(tǒng)平衡與和諧的心理傾向，當(dāng)新場(chǎng)景中的認(rèn)知因素與個(gè)體原來的認(rèn)知不同或沖突時(shí)，他內(nèi)部認(rèn)知系統(tǒng)的平衡與和諧便會(huì)被打破，進(jìn)入不平衡狀態(tài)。而這種不平衡的認(rèn)知狀態(tài)具有較強(qiáng)的動(dòng)機(jī)性，會(huì)促使人積極主動(dòng)改變其認(rèn)知系統(tǒng)的某些因素，或改變現(xiàn)存的認(rèn)識(shí)，或添加一種新的認(rèn)識(shí),以達(dá)到平衡狀態(tài)或校正不平衡，最終重新建立新的認(rèn)知系統(tǒng)平衡……

全景式數(shù)學(xué)教育下歸一問題的學(xué)習(xí)過程依據(jù)上述理論設(shè)計(jì)，構(gòu)建了“平衡—打破—……—平衡—打破”如此不斷擴(kuò)展、循環(huán)攀升的認(rèn)知心路歷程和思考過程。教學(xué)中還利用心理動(dòng)力學(xué)不斷激發(fā)和強(qiáng)化學(xué)生的興趣與探究欲，文中在相應(yīng)的實(shí)錄后進(jìn)行了分析與說明。

實(shí)錄和分析

一、1“立”——意料之中：知道……就可以……

1.教師從左向右依次板書如下3 個(gè)問題，同時(shí)，請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立靜思：“只要知道……就可以求出……”。

（1）一輛汽車__________，__________，7 小時(shí)行多少千米？

（2）鹽外附小三年級(jí)， ___________________，6 個(gè)班有多少人？

（3） ___________________，8 支鉛筆一共多少錢？

2.學(xué)生踴躍反饋,教師根據(jù)學(xué)生反饋，構(gòu)成完整題目，并解答。

第（1）題補(bǔ)：每小時(shí)行9 千米；第（2）題補(bǔ)：每班有32 人；第（3）題補(bǔ)：一支鉛筆5 元錢。

師：請(qǐng)同學(xué)們比較一下這3 道題，雖然它們說的事不同，數(shù)量不同，但是它們有一個(gè)共同的特征——只要知道什么，就能求什么。

引出：

師：知“1”→求“幾”，用乘法。

【學(xué)生從一年級(jí)就開始學(xué)習(xí)應(yīng)用題的基本結(jié)構(gòu)、基本思路和解答流程，低年級(jí)形成了分析應(yīng)用的格式：要求什么，就必須知道誰和誰。到學(xué)習(xí)歸一問題時(shí)，學(xué)生已經(jīng)強(qiáng)化了近5 個(gè)學(xué)期。學(xué)生建立了相應(yīng)的穩(wěn)固的認(rèn)知平衡，且這種平衡對(duì)學(xué)生而言已成定式，從所有的學(xué)生都使用了“必須”可以看出，學(xué)生把求多份量的前提更多單一地定向?yàn)椤耙环萘俊保瑢?duì)解決問題所需條件的多元化認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了負(fù)向遷移。第二個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)就是對(duì)學(xué)生這種已有認(rèn)知平衡的打破?！?/p>

二、1“破”——意料之外：還可以……

師（發(fā)出挑戰(zhàn)）：求8 支筆一共多少錢，難道只有知道1 支筆的價(jià)錢才能求出來嗎？（全班一時(shí)默然）

過了一會(huì)兒，幾個(gè)學(xué)生突然大呼：噢……我知道了！

一個(gè)學(xué)生情不自禁站起來激動(dòng)地自說自話：知道2支鉛筆……

師：停！我知道你已經(jīng)想通了，牛！下面的話不說了，給還沒有想好的同學(xué)留一些獨(dú)立思考的時(shí)間。

【思考的獨(dú)立是心理獨(dú)立的重要路徑和標(biāo)志，同時(shí)也是創(chuàng)新的核心。教師在教學(xué)中一定要給學(xué)生提供充分的獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，最大化地呵護(hù)和激勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考的積極性、主動(dòng)性。】

教師又等了一會(huì)兒，學(xué)生紛紛舉手示意自己也想到了，比如，知道2 支筆10 元錢，也能求出8 支筆一共多少錢。（學(xué)生解法和反饋略)

師：這道題是屬于知道什么是多少，求什么是多少。

生：知道“幾”是多少，求“幾”是多少。

師：這兩個(gè)“幾”表示的數(shù)量一樣嗎？（生：不一樣?。?/p>

教師用不同顏色的筆標(biāo)出兩個(gè)“幾”，以示不同:這道題知道“幾”是多少，求“幾”是多少。

小結(jié)：求“幾”是多少，可以尋找的條件有（ ）或者（ ）。

【上面教學(xué)環(huán)節(jié)中，有學(xué)生只說出一半的話“知道了2 支……”像一重錘，把其他學(xué)生保持了5 個(gè)學(xué)期的平衡破開了一個(gè)口，產(chǎn)生了“鯰魚效應(yīng)”，啟發(fā)和激發(fā)了每一個(gè)同伴重新審視自己的認(rèn)知，探尋另外一種可能。經(jīng)過自己的思考和群體思維的碰撞，原來狹隘的認(rèn)識(shí)得到矯正，添加了一種新的認(rèn)識(shí)——知道“幾”也可以求“幾”。至此，尋找解決問題的方向從一個(gè)維度變?yōu)閮蓚€(gè)，應(yīng)用題新的構(gòu)成要素和框架重新建立平衡，但是，這個(gè)剛剛建立起的平衡還是比較弱的、不甚牢固的?！?/p>

三、2“立”——求“幾”，先求“1”

師：剛才第一步用10÷2=5（元）的目的是什么？

生：把知道“幾”是多少，變成已知“1”是多少。

師：這實(shí)際上是用轉(zhuǎn)化的思想把“知道‘幾’，求‘幾’”簡(jiǎn)化為“知道‘1’，求‘幾’”。

總結(jié)：知道“幾”是多少，求“幾”是多少的解答思路是什么？

生：知道“幾”是多少，求“幾”是多少，先求出“1”是多少，再求“幾”是多少。

教師板書箭頭和步驟序號(hào)，形成如下板書，建立知道“幾”求“幾”的第一種解決方案。

師：也就是說，要求幾份是多少，既可以尋找相對(duì)應(yīng)的1 份是多少，也可以尋找?guī)追菔嵌嗌佟?/p>

補(bǔ)充板書如下：

【通過這個(gè)環(huán)節(jié)的跟進(jìn)學(xué)習(xí)，不僅使剛才建立起的弱平衡（歸一問題結(jié)構(gòu)框架）得到強(qiáng)化，還打通了“知1 份”和“知幾份”間的聯(lián)系，形成了解決歸一問題的基本方案和流程，使認(rèn)知的新平衡更為豐富、完整和穩(wěn)定?！?/p>

四、2“破”——還可以怎么樣想？

教師指著黑板上的題目和解法問：“2 支筆10 元錢，8 支筆多少錢？”難道只能這樣做嗎？還有別的方法嗎？你做做我看看。

學(xué)生獨(dú)立思考，自行嘗試各種辦法。（教師巡視，不斷激勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生，并收集學(xué)生的作品。）

展示學(xué)生作品：

8÷2=4 10×4=40（元）

8÷2=4（個(gè)） 10×4=40（元）

8÷2=4（支） 10×4=40（元）

8÷2=4（份） 10×4=40（元）

師：最后的結(jié)果都等于40 元。這種做法極可能是對(duì)的?，F(xiàn)在最重要的是，我們必須理解透它的每一步表達(dá)的意義。第一步“8÷2”是想先求什么？得數(shù)4 后的單位到底是支，是個(gè)，是份，還是什么都不是？（大多數(shù)學(xué)生都非常茫然）

【第1 次打破的是解決問題的前提和結(jié)構(gòu)，這次打破的是解答歸一問題的策略和方法。】

五、3“立”——先求“倍”，再求“幾”

師：大部分同學(xué)都不會(huì)。畫圖可以幫助我們分析和理解。我們一起畫：用1 根豎線代表1 支鉛筆，2 根豎線就代表2 支筆。為了便于對(duì)比，我們?cè)诘诙袑?duì)應(yīng)著畫出要求的8 支鉛筆，這樣便于對(duì)比和分析……

最后形成的板書如下：

【其實(shí)，這個(gè)學(xué)生此時(shí)處于認(rèn)知的“次平衡”狀態(tài)。她通過觀察絕大多數(shù)同學(xué)和教師的反應(yīng)知道這種解法是對(duì)的，但是自己又想不明白，經(jīng)過短暫的掙扎與矛盾之后，不排斥但也不接受，處于一種中立狀態(tài)，即認(rèn)知的次平衡狀態(tài)?！?/p>

教師指著學(xué)生一開始的反饋問：把已知的2 支看成一盒，8 支就相當(dāng)于4 盒；把2 支看成……

學(xué)生：把2 支看成1 份，8 支就是4 份……

教師把原來的板書改為：

8÷2=4 倍 8÷2=4（對(duì)） 8÷2=4（組） 8÷2=4（份）

（這里的倍不需寫，簡(jiǎn)寫為8÷2=4）

師：知道“幾”是多少，求“幾”是多少的第二種解法是什么？

生：先求要求的那個(gè)“幾”是知道的那個(gè)“幾”的倍數(shù)，然后再求“幾”是多少。

教師板書：

小結(jié)：知道“幾”是多少，求“幾”是多少。到目前為止，同學(xué)們思考出了兩種解決路徑：路徑A 是先求“1”是多少，再求“幾”是多少；路徑B 是先求倍數(shù)，再求“幾”是多少。

【“倍比”與“歸一”是顯著不同的兩種思考，對(duì)三年級(jí)學(xué)生而言是很有挑戰(zhàn)性的（教材上沒有編排），而一切富于挑戰(zhàn)性的事物或活動(dòng)都有著深刻的心理動(dòng)力學(xué)意義。課堂上學(xué)生積極投入的熱情狀態(tài)，以及解決問題后的興奮都表明：學(xué)生是非常享受這種挑戰(zhàn)帶來的刺激的?！?/p>

六、3“破”——“倍”感不適

教師隨手在黑板上寫出一道題：24 支筆120 元，8 支筆多少錢？

第一步，學(xué)生判斷出這道題屬于知道“幾”是多少，求“幾”是多少。

師：這樣的題，你有幾種解決路徑？試一試。（學(xué)生獨(dú)立嘗試練習(xí)）

學(xué)生作品1：120÷24=5（元） 5×8=40（元）。（教師讓學(xué)生說自己的思路）

學(xué)生作品2：24÷8=3，3×（學(xué)生抓著頭敘述完自己的思路：我先算24 支筆是8 支筆的幾倍，求出來是3 倍。再算8 支筆的錢，我想用3×120，可是我一口算得360元，8 支筆不可能是360 元呀，我也不知道怎么回事，就沒往下寫。）

教師引導(dǎo)其他學(xué)生一起思考該學(xué)生的問題，找出問題到底出在哪里。

【學(xué)生剛剛建立的“先求倍數(shù)，再乘”的認(rèn)知再次失衡，讓學(xué)生“倍”感不適，又欲罷不能，再次平衡的渴望促使他們更為積極地思考和探索“問題到底出現(xiàn)在哪里”?！?/p>

七、4“立”——全景倍的關(guān)系和運(yùn)算

學(xué)生作品3：24÷8=3，120÷3=40（元）。

師：她這個(gè)結(jié)果是40，奇怪，我們?cè)瓉碜龅倪@些題算出了倍數(shù)后，不都是乘嗎，她怎么除了呢？你自己琢磨琢磨，小組間也可以商量商量。

最后，所有學(xué)生都明白了，并做了如下講解：

這道題知道的這個(gè)“幾”是多的，求的那個(gè)“幾”是少的。這里的3 倍，表示知道的這個(gè)錢是3 份，求的錢才是1 份。知道3 份是120，求1 份，用除法，不用乘法。（聽課教師自發(fā)鼓掌）

教師讓幾個(gè)小組把這個(gè)思路闡釋幾遍后，問：那先求倍數(shù)，再求“幾”的這種思路，什么時(shí)候用乘，什么時(shí)候用除，你們能總結(jié)一下其中的規(guī)律嗎？

生：把知道的那個(gè)“幾”和要求的那個(gè)“幾”比，如果知道的“幾”少，用乘法，如果知道的“幾”更多，用除法。

【此時(shí)，歸一應(yīng)用題的“倍比”解法再次得到矯正、補(bǔ)充，倍比解法重新獲得平衡?！?/p>

八、4“破”——倍之路“徹底不通”

師：數(shù)學(xué)和世界上所有的事情一樣，總有出人意料的時(shí)候，3 支筆15 元，8 支筆多少錢？請(qǐng)問：知道什么，求什么？

師：請(qǐng)用你們探索出來的第二種方法解答。

生（議論紛紛）：這怎么求??？8除以3除不盡?。　?/p>

師：是的，現(xiàn)在你除不盡的，未來你才能解決?；仡^再看你們總結(jié)的規(guī)律：知道“幾”是多少，求“幾”是多少的，先求倍數(shù)，再求“幾”，有不同意見的或者補(bǔ)充說明嗎？

生：補(bǔ)上“除得盡的，可以先求倍數(shù)，再求‘幾’；除不盡的只能先求‘1’，再求‘幾’”。

師：課上到這里，大家有什么感受？

生：用求倍的方法解題時(shí)，要看是否除得盡，看求的幾比知道的幾大還是小……

【學(xué)生看待問題、分析問題的角度更加全面和完整了。】

九、5“立”——柳暗花明又“兩村”

師：再思考，3 支筆15 元，8 支筆多少錢？除不盡是不是用“倍”解也有可能？是不是還有第三種、第四種解決路徑？

這時(shí)候，很多學(xué)生一臉驚呆了的表情，大呼：“什么！除不盡，還能？”

教師無比堅(jiān)定地說：“能！絕對(duì)能！先獨(dú)立思考，實(shí)在行不通，合伙解決！”

【學(xué)生此前歷經(jīng)了5 次的“行—不行—另辟蹊徑—又不行—……”過程，這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)會(huì)讓他們堅(jiān)定地認(rèn)為一定有第三種、第四種，甚至更多的方法，而這些未知的方法對(duì)全班而言都是“空白”。當(dāng)人對(duì)某事物全部或部分屬性的認(rèn)知處于空白時(shí)，會(huì)本能地想添加對(duì)此事物的屬性的認(rèn)知，這種心理本能就是好奇心，而好奇心是“一種不依賴外在報(bào)償便能促成某種行為的強(qiáng)烈內(nèi)在動(dòng)機(jī)”，可以充分誘發(fā)學(xué)生自覺、積極、專注投入新屬性的探究，果然不出所料，學(xué)生們的創(chuàng)造之火接連迸發(fā)了……】

小組1反饋：是不是可以這樣求，8÷3=2倍……2支，先求2 倍的錢，15×2=30 元。再求剩下的2 支的錢，用15÷3 求1 支5 元，2×5=10 元。30+10=40 元。

教師組織學(xué)生配合作圖以充分理解這個(gè)小組的思考過程。

其他小組提出自己的看法：太麻煩了，你已經(jīng)求出了1 支5 元，為什么不直接乘8 支呢？

教師引導(dǎo)和激勵(lì)：同學(xué)們，這種求法雖然麻煩，但是這個(gè)小組給我們提供了一種新的解決路徑和方法，這比什么都可貴！我們有A 想法，先求“1”；B 想法，先求倍。而這個(gè)小組……

生1：又求“1”，又求倍。

生2：它們的想法是A+B。

師：太牛了。把A、B 兩種方法結(jié)合起來，變成一種新的方法A+B，這就是整合、綜合，也是創(chuàng)新！掌聲鼓勵(lì)！

生3（受此啟發(fā)）：我還有一種方法！把8 支筆看成9 支……

學(xué)生反饋：

師：天哪，你們不僅發(fā)現(xiàn)了A+B,還進(jìn)行了假設(shè)。所以第四種解決方案就是……

生：A+B+假設(shè)。

【至此，學(xué)生經(jīng)歷了5 次突破和改變，經(jīng)歷了從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗(yàn)了解決問題方法的多樣性，掌握了多種分析問題和解決問題的基本方法，感受到了數(shù)學(xué)中更多的可能性，體會(huì)到了思維、創(chuàng)新和成功的快樂，達(dá)成了課前預(yù)設(shè)的“增強(qiáng)興趣、開闊視野、完善思維、學(xué)會(huì)思考、激發(fā)創(chuàng)新、開慧啟智”學(xué)習(xí)目標(biāo)?！?/p>

十、全課盤點(diǎn)和總結(jié)

整堂課主要引導(dǎo)學(xué)生明確四種解決問題的方法和思考過程，感悟到每一道數(shù)學(xué)題都有很多解決的方法，感悟四種方法中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化、假設(shè)等思想。

十一、4“破”5“立”

師：第三種“A+B”和第四種“A+B+假設(shè)”的解決方案，都是因?yàn)?÷3 不能得到整倍數(shù)，我們進(jìn)行了轉(zhuǎn)化和變通。其實(shí)，將來學(xué)了分?jǐn)?shù)和小數(shù)之后，你們會(huì)有新的解答方法。比如，8÷3 就等于三分之八倍，這個(gè)不會(huì)沒關(guān)系，因?yàn)橐搅昙?jí)才學(xué)。當(dāng)然，感興趣的同學(xué)課后可以繼續(xù)研究?！緦W(xué)生目前暫時(shí)不懂筆者為什么還要“拎”出來，教給學(xué)生呢？筆者的目的是給學(xué)生打開一扇窗，讓他們?cè)俣唷翱匆姟绷硪环N可能，為未來的學(xué)習(xí)（六年級(jí)）播下一粒認(rèn)知的種子。這粒種子孕育于“破立”之間，終有一天，會(huì)在合適的季節(jié)發(fā)芽、破土、長(zhǎng)大、開花、結(jié)果！筆者深信那一天一定會(huì)到來！】