一次提升“四能”的探究之旅
——從一道三角不等式的教學(xué)談起*
2022-04-21 14:20:28李勤儉安徽省池州市第一中學(xué)247000
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
李勤儉 (安徽省池州市第一中學(xué) 247000)
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，不僅是新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也能高效地提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力．本文從一個(gè)正弦定理推證過程中得到的三角不等式入手，探討如何在解題教學(xué)中提升學(xué)生的“四能”．
1 發(fā)現(xiàn)問題，提出問題
在三角形中，有正弦定理其中在證明“=2R
”的過程中，文[1]得到了如下的三角不等式①．那么不等式①如何證明呢？2 分析問題，問題解決
不等式①的左邊看起來比較正常，但右邊就讓人難以接受．看到π，聯(lián)想到幾何意義，所以從圓入手也算自然；①式是代數(shù)式，理應(yīng)有代數(shù)證法，那么作為三角函數(shù)式，可以從三角變換角度去解決；同時(shí)，從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，可以看成是余弦函數(shù)相關(guān)問題，所以從函數(shù)角度分析應(yīng)該也能解決問題．
2.1 幾何證法
在圖1中，圓O
是△ABC
的外接圓.
下面分△ABC
是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三種情形證明.
圖1 圖2
證明
(1)當(dāng)△ABC
是銳角三角形時(shí)，如 圖2，連結(jié)BO
，AO
并延長分別交圓O
于點(diǎn)E
，F
，再連結(jié)BF
,FC
,CE
,EA
，則BF
=2R
cosC
,FC
=2R
cosB
,BD
=2R
cosA.
在四邊形CDBF
中，顯然有CD
<DB
+BF
+FC
<半圓弧，即2R
<2R
cosA
+ 2R
cosB
+2R
cosC
<πR
，故1B
+cos(2)當(dāng)△ABC
是直角三角形時(shí)，不妨設(shè)C
=90°，此時(shí)C
=0，從而cosA
+ cosB
+cosC
=sinA
+cos即1B
+cos(3)當(dāng)△ABC
是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)C
>90°，此時(shí)可將圖2中的點(diǎn)D
與點(diǎn)C
對換，轉(zhuǎn)化為情形(1)，得證.
幾何證法直觀、好理解，但不容易想到.
我們再嘗試用代數(shù)證法．2.2 代數(shù)證法
先證cosA
+cosB
+cosC
>1 ②．因?yàn)閏osA
+cosB
+cosC
即+1 ③.
又A
,B
,C
∈(0,π),故均大于0，因此cosA
+cosB
+cosC
>1.
再證④．
為了證④式，先證下式：
=1 ⑤.
=1.
另一方面，在⑤式中，有如下變形:
令則上式即為2t
+3t
-1≤0?(t
+1)(2t
-1)≤0． 因?yàn)?p>t>0,所以從而將此式代入③式，得即④式得證.
由②④可得①式得證.
由此還可以順帶得①式的加強(qiáng)式：
⑥.
2.3 琴生不等式證法
下面用琴生不等式證明
琴生不等式(Jensen Inequality)：
函數(shù)f
(x
)是定義在開區(qū)間(a
,b
)上的凸函數(shù).
設(shè)λ
,λ
，…，λ
是n
個(gè)正實(shí)數(shù)，且λ
+λ
+…+λ
=1，x
,x
,…,x
是開區(qū)間(a
,b
)上任意n
個(gè)點(diǎn)，則下面不等式成立：f
(λ
x
+λ
x
+…+λ
x
)≥λ
f
(x
)+λ
f
(x
)+…+λ
f
(x
).
這個(gè)不等式稱為琴生不等式.
(注意:對于凹函數(shù)(下凸函數(shù))，上式中的“≥”變?yōu)椤啊堋?當(dāng)△ABC
是銳角或直角三角形時(shí)，函數(shù)f
(x
)=cosx
在上是凸函數(shù)，則即故1B
+cos當(dāng)△ABC
是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)C
>90°，則利用琴生不等式得即cosA
+cos故cosA
+cosB
+cosC
≤3 再次提出問題
一個(gè)問題從提出到解決，并不是思維過程的結(jié)束，而往往是新問題的開始.
①式是針對余弦函數(shù)而言的，那么對于正弦函數(shù)、正切函數(shù)，相應(yīng)的結(jié)論是什么？又如何證明？3.1 與正弦函數(shù)有關(guān)的不等式
經(jīng)過探討分析得到
⑦．
分析 一方面，不等式sinA
+sinB
+ sinC
>0顯然成立；另一方面，由于正弦函數(shù)在(0，π)上是凸函數(shù)，所以由琴生不等式容易得到sinA
+sinB
+sin從而⑦式成立.
(注：其他證法請讀者自行思考)3.2 與正切函數(shù)有關(guān)的不等式
當(dāng)△ABC
是銳角三角形時(shí)，⑧．
分析 顯然△ABC
是直角三角形時(shí)，正切沒有意義；由于A
=B
=30°,C
=120°時(shí)，所以當(dāng)△ABC
是鈍角三角形時(shí)，亦不成立.
證法1
(琴生不等式)當(dāng)△ABC
是銳角三角形時(shí)，f
(x
)=tanx
在上是凹函數(shù)，所以有tanA
+tanB
+tan證法2
(琴生不等式+
函數(shù)法)由琴生不等式，易得tanA
+tan故tanA
+tanB
+tan設(shè)則上式右邊
令f
(t
)=t
(1-t
)，則f
′(t
)=-3t
+1,故從而綜上所述，
證法3
(基本不等式法)因?yàn)樵凇?p>ABC中，有tanA
+tanB
+tanC
=tanA
·tanB
·tanC
，當(dāng)△ABC
為銳角三角形時(shí)，tanA
>0,tanB
>0,tanC
>0，所以由基本不等式得tanA
+tanB
+tanC
=tanA
·tanB
·tan,從而tanA
·tanB
·tan即tanA
+ tanB
+tan4 幾點(diǎn)感悟
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，發(fā)現(xiàn)問題往往比證明結(jié)論更重要.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了“四能”，因此教師需要適時(shí)、適度地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出一些數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而分析和解決問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提高.
(1)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提出問題的方法應(yīng)成為教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.本文由余弦函數(shù)的一個(gè)優(yōu)美的不等關(guān)系，運(yùn)用合情推理的方法拓展到了與正弦和正切函數(shù)相關(guān)的性質(zhì).如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提出問題，也許比幫助學(xué)生解決問題更有意義.
(2)對一個(gè)問題的解決進(jìn)行多角度思考是數(shù)學(xué)探究的基本思路.文中對不等式①的證法進(jìn)行了多角度的思考，得到了很好的思維體驗(yàn).這意味著教師在教學(xué)過程中如何進(jìn)行多角度的思考，以及如何引導(dǎo)學(xué)生多角度思考是值得探索的一個(gè)課題．
(3)要在解決問題的過程中進(jìn)行邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).本文在探討的過程中，包含了很多較深刻的分析與推理，使得學(xué)生在過程中學(xué)習(xí)，在過程中提高.
(4)探究無止境.文中通過探究得到了八個(gè)關(guān)系式，它們的應(yīng)用又可作為新的探討課題.
在這一探討的旅程中，學(xué)生得到了很好的思維能力的訓(xùn)練，以及分析問題和解決問題的能力訓(xùn)練，體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美、和諧美，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.這不正是新課程理念所要求的嗎？
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