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    一次提升“四能”的探究之旅
    ——從一道三角不等式的教學(xué)談起*

    2022-04-21 14:20:28李勤儉安徽省池州市第一中學(xué)247000
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
    關(guān)鍵詞:四能銳角三角鈍角

    李勤儉 (安徽省池州市第一中學(xué) 247000)

    在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考,從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題,不僅是新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,也能高效地提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.本文從一個(gè)正弦定理推證過程中得到的三角不等式入手,探討如何在解題教學(xué)中提升學(xué)生的“四能”.

    1 發(fā)現(xiàn)問題,提出問題

    在三角形中,有正弦定理其中在證明“=2

    R

    ”的過程中,文[1]得到了如下的三角不等式①.那么不等式①如何證明呢?

    2 分析問題,問題解決

    不等式①的左邊看起來比較正常,但右邊就讓人難以接受.看到π,聯(lián)想到幾何意義,所以從圓入手也算自然;①式是代數(shù)式,理應(yīng)有代數(shù)證法,那么作為三角函數(shù)式,可以從三角變換角度去解決;同時(shí),從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā),可以看成是余弦函數(shù)相關(guān)問題,所以從函數(shù)角度分析應(yīng)該也能解決問題.

    2.1 幾何證法

    在圖1中,圓

    O

    是△

    ABC

    的外接圓

    .

    下面分△

    ABC

    是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三種情形證明

    .

    圖1 圖2

    證明

    (1)當(dāng)△

    ABC

    是銳角三角形時(shí),如 圖2,連結(jié)

    BO

    AO

    并延長分別交圓

    O

    于點(diǎn)

    E

    ,

    F

    ,再連結(jié)

    BF

    ,

    FC

    ,

    CE

    ,

    EA

    ,則

    BF

    =2

    R

    cos

    C

    ,

    FC

    =2

    R

    cos

    B

    ,

    BD

    =2

    R

    cos

    A.

    在四邊形

    CDBF

    中,顯然有

    CD

    <

    DB

    +

    BF

    +

    FC

    <半圓弧,即2

    R

    <2

    R

    cos

    A

    + 2

    R

    cos

    B

    +2

    R

    cos

    C

    R

    ,故1A

    +cos

    B

    +cos(2)當(dāng)△

    ABC

    是直角三角形時(shí),不妨設(shè)

    C

    =90°,此時(shí)

    C

    =0,從而cos

    A

    + cos

    B

    +cos

    C

    =sin

    A

    +cos即1A

    +cos故1A

    +cos

    B

    +cos(3)當(dāng)△

    ABC

    是鈍角三角形時(shí),不妨設(shè)

    C

    >90°,此時(shí)可將圖2中的點(diǎn)

    D

    與點(diǎn)

    C

    對換,轉(zhuǎn)化為情形(1),得證

    .

    幾何證法直觀、好理解,但不容易想到

    .

    我們再嘗試用代數(shù)證法.

    2.2 代數(shù)證法

    先證cos

    A

    +cos

    B

    +cos

    C

    >1 ②.因?yàn)閏os

    A

    +cos

    B

    +cos

    C

    即+1 ③

    .

    A

    ,

    B

    ,

    C

    ∈(0,π),故均大于0,因此cos

    A

    +cos

    B

    +cos

    C

    >1

    .

    再證④.

    為了證④式,先證下式:

    =1 ⑤

    .

    =1

    .

    另一方面,在⑤式中,有如下變形:

    令則上式即為2

    t

    +3

    t

    -1≤0?(

    t

    +1)(2

    t

    -1)≤0. 因?yàn)?p>t

    >0,所以從而將此式代入③式,得即④式得證

    .

    由②④可得①式得證

    .

    由此還可以順帶得①式的加強(qiáng)式:

    .

    2.3 琴生不等式證法

    下面用琴生不等式證明

    琴生不等式(Jensen Inequality):

    函數(shù)

    f

    (

    x

    )是定義在開區(qū)間(

    a

    ,

    b

    )上的凸函數(shù)

    .

    設(shè)

    λ

    ,

    λ

    ,…,

    λ

    n

    個(gè)正實(shí)數(shù),且

    λ

    +

    λ

    +…+

    λ

    =1,

    x

    ,

    x

    ,…,

    x

    是開區(qū)間(

    a

    ,

    b

    )上任意

    n

    個(gè)點(diǎn),則下面不等式成立:

    f

    (

    λ

    x

    +

    λ

    x

    +…+

    λ

    x

    )≥

    λ

    f

    (

    x

    )+

    λ

    f

    (

    x

    )+…+

    λ

    f

    (

    x

    )

    .

    這個(gè)不等式稱為琴生不等式

    .

    (注意:對于凹函數(shù)(下凸函數(shù)),上式中的“≥”變?yōu)椤啊堋?當(dāng)△

    ABC

    是銳角或直角三角形時(shí),函數(shù)

    f

    (

    x

    )=cos

    x

    在上是凸函數(shù),則即故1A

    +cos

    B

    +cos當(dāng)△

    ABC

    是鈍角三角形時(shí),不妨設(shè)

    C

    >90°,則利用琴生不等式得即cos

    A

    +cos故cos

    A

    +cos

    B

    +cos

    C

    3 再次提出問題

    一個(gè)問題從提出到解決,并不是思維過程的結(jié)束,而往往是新問題的開始

    .

    ①式是針對余弦函數(shù)而言的,那么對于正弦函數(shù)、正切函數(shù),相應(yīng)的結(jié)論是什么?又如何證明?

    3.1 與正弦函數(shù)有關(guān)的不等式

    經(jīng)過探討分析得到

    ⑦.

    分析 一方面,不等式sin

    A

    +sin

    B

    + sin

    C

    >0顯然成立;另一方面,由于正弦函數(shù)在(0,π)上是凸函數(shù),所以由琴生不等式容易得到sin

    A

    +sin

    B

    +sin從而⑦式成立

    .

    (注:其他證法請讀者自行思考)

    3.2 與正切函數(shù)有關(guān)的不等式

    當(dāng)△

    ABC

    是銳角三角形時(shí),

    ⑧.

    分析 顯然△

    ABC

    是直角三角形時(shí),正切沒有意義;由于

    A

    =

    B

    =30°,

    C

    =120°時(shí),所以當(dāng)△

    ABC

    是鈍角三角形時(shí),亦不成立

    .

    證法1

    (琴生不等式)當(dāng)△

    ABC

    是銳角三角形時(shí),

    f

    (

    x

    )=tan

    x

    在上是凹函數(shù),所以有tan

    A

    +tan

    B

    +tan

    證法2

    (琴生不等式

    +

    函數(shù)法)由琴生不等式,易得tan

    A

    +tan故tan

    A

    +tan

    B

    +tan

    設(shè)則上式右邊

    f

    (

    t

    )=

    t

    (1-

    t

    ),則

    f

    ′(

    t

    )=-3

    t

    +1,故從而

    綜上所述,

    證法3

    (基本不等式法)因?yàn)樵凇?p>ABC

    中,有tan

    A

    +tan

    B

    +tan

    C

    =tan

    A

    ·tan

    B

    ·tan

    C

    ,當(dāng)△

    ABC

    為銳角三角形時(shí),tan

    A

    >0,tan

    B

    >0,tan

    C

    >0,所以由基本不等式得tan

    A

    +tan

    B

    +tan

    C

    =tan

    A

    ·tan

    B

    ·tan,從而tan

    A

    ·tan

    B

    ·tan即tan

    A

    + tan

    B

    +tan

    4 幾點(diǎn)感悟

    在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,發(fā)現(xiàn)問題往往比證明結(jié)論更重要.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了“四能”,因此教師需要適時(shí)、適度地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出一些數(shù)學(xué)問題,進(jìn)而分析和解決問題,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提高.

    (1)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提出問題的方法應(yīng)成為教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.本文由余弦函數(shù)的一個(gè)優(yōu)美的不等關(guān)系,運(yùn)用合情推理的方法拓展到了與正弦和正切函數(shù)相關(guān)的性質(zhì).如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提出問題,也許比幫助學(xué)生解決問題更有意義.

    (2)對一個(gè)問題的解決進(jìn)行多角度思考是數(shù)學(xué)探究的基本思路.文中對不等式①的證法進(jìn)行了多角度的思考,得到了很好的思維體驗(yàn).這意味著教師在教學(xué)過程中如何進(jìn)行多角度的思考,以及如何引導(dǎo)學(xué)生多角度思考是值得探索的一個(gè)課題.

    (3)要在解決問題的過程中進(jìn)行邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).本文在探討的過程中,包含了很多較深刻的分析與推理,使得學(xué)生在過程中學(xué)習(xí),在過程中提高.

    (4)探究無止境.文中通過探究得到了八個(gè)關(guān)系式,它們的應(yīng)用又可作為新的探討課題.

    在這一探討的旅程中,學(xué)生得到了很好的思維能力的訓(xùn)練,以及分析問題和解決問題的能力訓(xùn)練,體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美、和諧美,提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.這不正是新課程理念所要求的嗎?

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