低信號(hào)下利用回歸模型提高雷達(dá)測(cè)速精度方法

田珂

(中國(guó)人民解放軍63861部隊(duì)，吉林 白城 137001)

靶場(chǎng)的所有試驗(yàn)中，利用初速測(cè)量雷達(dá)測(cè)試彈丸的炮口初速是最常開(kāi)展的試驗(yàn)科目，因?yàn)榕诳诔跛訇P(guān)系到火炮武器系統(tǒng)能否精確打擊敵方目標(biāo)[1]。因此利用初速測(cè)量雷達(dá)能否準(zhǔn)確測(cè)試彈丸的炮口初速，關(guān)系到火炮武器系統(tǒng)的戰(zhàn)斗性能能否滿(mǎn)足戰(zhàn)場(chǎng)要求，更關(guān)系到戰(zhàn)場(chǎng)上能否戰(zhàn)勝敵人。但是在某型大口徑彈丸試驗(yàn)中，由于彈丸受到自身或者外界因素的影響，使得雷達(dá)捕獲的信號(hào)不完整，從而無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算出真正的初速數(shù)據(jù)，嚴(yán)重影響著試驗(yàn)任務(wù)的正常開(kāi)展，而解決這一問(wèn)題的方法和文章還很少。由于大口徑彈丸試驗(yàn)時(shí)某型初速雷達(dá)測(cè)試彈丸的炮口初速是可以近似根據(jù)雷達(dá)測(cè)試彈丸的徑向速度遞推出來(lái)的，所以為了解決這一突出問(wèn)題，選擇在等時(shí)間間隔的基礎(chǔ)上加載雷達(dá)測(cè)試的彈丸徑向速度，針對(duì)有的時(shí)刻雷達(dá)沒(méi)有獲取到彈丸徑向速度的情況，利用回歸模型預(yù)測(cè)出缺失的徑向速度，等補(bǔ)齊所有徑向速度后再利用回歸模型擬合遞推出彈丸的炮口初速。為了證明該方法的正確性，把利用該方法計(jì)算出的初速數(shù)據(jù)與信號(hào)完整的雷達(dá)測(cè)試的初速數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比并計(jì)算誤差，發(fā)現(xiàn)采用該方法計(jì)算出的初速數(shù)據(jù)很接近信號(hào)完整的雷達(dá)測(cè)試的初速數(shù)據(jù)，兩者的誤差明顯小于兩臺(tái)雷達(dá)原始初速數(shù)據(jù)的誤差，說(shuō)明該方法能夠提高雷達(dá)在低信號(hào)下的測(cè)速精度。

1 回歸模型建模步驟

回歸一詞最早是由英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓及其學(xué)生皮爾遜提出來(lái)的。回歸分析是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)上分析數(shù)據(jù)的方法，目的在于了解兩個(gè)或多個(gè)變量間是否相關(guān)、相關(guān)方向與強(qiáng)度，并建立數(shù)學(xué)模型以便于通過(guò)觀察特定變量來(lái)預(yù)測(cè)或控制研究者感興趣的變量，它是一種典型的有監(jiān)督的學(xué)習(xí)方法[2]。初速雷達(dá)測(cè)試彈丸的炮口初速通常采用線性回歸模型和多項(xiàng)式回歸模型[3]進(jìn)行擬合遞推，而針對(duì)大口徑彈丸的試驗(yàn)，通常采用一元線性回歸模型擬合遞推初速數(shù)據(jù)，因?yàn)槌跛贁?shù)據(jù)本質(zhì)上是速度與時(shí)間的一元關(guān)系。

線性回歸模型是用一個(gè)或多個(gè)自變量來(lái)解釋因變量的統(tǒng)計(jì)分析模型。假設(shè)因變量用Y表示，n個(gè)自變量用X1,X2,…,Xn表示，用來(lái)解釋因變量Y，則多元線性回歸模型可表示為

Y=b0+a1X1+a2X2+…+anXn，

(1)

式中：b0為常數(shù)項(xiàng)；未知參數(shù)a1，a2，…，an稱(chēng)為回歸系數(shù)。

假設(shè)自變量X和因變量Y分別表示為[4]

那么一元線性回歸方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式可表示為

Y=b0+aX，

(2)

式中：b0為常數(shù)項(xiàng)矩陣；a為回歸模型的回歸系數(shù)矩陣。假設(shè)有訓(xùn)練集D={(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}，建立回歸模型的目標(biāo)是找到一條直線，使所有樣本數(shù)據(jù)盡可能落在它的附近，這一目標(biāo)可以通過(guò)最小化殘差平方和(Residual Sum of Squares,RSS)來(lái)實(shí)現(xiàn)，當(dāng)殘差平方和達(dá)到最小值時(shí)這條直線就是最好的回歸擬合線，進(jìn)而尋找出最優(yōu)的參數(shù)[2,5]，即目標(biāo)轉(zhuǎn)化為

(3)

將殘差平方和fRSS(a,b)分別對(duì)a和b進(jìn)行求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于0，從而得到最優(yōu)解：

(4)

一元線性回歸模型主要解決的問(wèn)題分為3個(gè)方面：

1)利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)模型的回歸系數(shù)；

2)檢驗(yàn)線性回歸方程和回歸系數(shù)的顯著性；

3)根據(jù)新的自變量X預(yù)測(cè)因變量Y。

檢驗(yàn)一元線性回歸模型及其系數(shù)顯著性的目的是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果，通常采用F檢驗(yàn)法，其原理是：如果F檢驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)量t對(duì)應(yīng)的概率p值小于0.05，說(shuō)明回歸模型是顯著的，即回歸模型方程通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)。然后把可解釋的平方和除以總平方和得到R2，作為線性回歸擬合優(yōu)度指標(biāo)，如果R2大于0.8，則說(shuō)明模型擬合效果較好。其中，可解釋的平方和指的是因?yàn)榛貧w線帶來(lái)的變異，總平方和指的是數(shù)據(jù)本身的變異，顯然可解釋的變異占總平方和比例越大，即R2越大，說(shuō)明回歸模型擬合效果越好[5]?；貧w系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，是根據(jù)截距估計(jì)值和變量的回歸系數(shù)估計(jì)值t統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率p值與臨界統(tǒng)計(jì)值0.001進(jìn)行比較，如果p<0.001，證明截距估計(jì)值和回歸系數(shù)估計(jì)值都非常顯著。

2 線性回歸模型提高雷達(dá)測(cè)速精度

初速雷達(dá)測(cè)試大口徑彈丸的炮口初速通常選擇0.1～0.5 s內(nèi)的徑向速度值進(jìn)行擬合遞推。在雷達(dá)獲取到的彈丸信號(hào)很完整時(shí)，雷達(dá)每隔1 ms就會(huì)獲取到一個(gè)徑向速度數(shù)據(jù)，這時(shí)雷達(dá)自帶算法能夠很準(zhǔn)確地計(jì)算出彈丸的初速數(shù)據(jù)。但是，當(dāng)雷達(dá)獲取到的彈丸信號(hào)不完整時(shí)，有的時(shí)間點(diǎn)就沒(méi)有徑向速度數(shù)據(jù)，此時(shí)采用雷達(dá)自帶算法計(jì)算出的初速數(shù)據(jù)就會(huì)出現(xiàn)偏差。如圖1、2所示的是兩臺(tái)初速雷達(dá)同時(shí)參與試驗(yàn)，測(cè)的是同一發(fā)彈丸，對(duì)稱(chēng)布置在火炮兩側(cè)，布站參數(shù)基本一致，結(jié)果一臺(tái)雷達(dá)獲取的彈丸信號(hào)基本完整，而另一臺(tái)雷達(dá)獲取的彈丸信號(hào)就缺失了一部分，導(dǎo)致兩臺(tái)雷達(dá)計(jì)算出的初速數(shù)據(jù)偏差很大。為了解決這一問(wèn)題，在雷達(dá)獲取的彈丸信號(hào)不完整的情況下，按照等時(shí)間間隔選擇數(shù)據(jù)點(diǎn)的原則，選擇從0.1 s開(kāi)始每隔5 ms選取一個(gè)徑向速度數(shù)據(jù)，一直取到0.5 s為止，總共獲取到81個(gè)徑向速度數(shù)據(jù)。但是由于雷達(dá)獲得的信號(hào)不完整，有的時(shí)間點(diǎn)是沒(méi)有徑向速度數(shù)據(jù)的，同時(shí)初速雷達(dá)測(cè)試的彈丸徑向速度與時(shí)間是一元線性關(guān)系，適合建立一元線性回歸模型[6]。因此選擇把缺失徑向速度數(shù)據(jù)時(shí)刻之前的所有徑向速度數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，建立徑向速度與時(shí)間的一元線性回歸模型，時(shí)間是自變量，徑向速度是因變量，然后再利用訓(xùn)練好的回歸模型預(yù)測(cè)出缺失的徑向速度數(shù)據(jù)，然后再把下一個(gè)缺失值之前的所有徑向速度數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)建立一元線性回歸模型，預(yù)測(cè)出缺失的徑向速度數(shù)據(jù)。按照此方法依次預(yù)測(cè)出0.1～0.5 s所有缺失的徑向速度數(shù)據(jù)，最后再對(duì)該81個(gè)徑向速度數(shù)據(jù)建立一元線性回歸模型，再利用建立好的回歸模型擬合遞推出該發(fā)彈丸的初速數(shù)據(jù)，并利用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图盎貧w系數(shù)的顯著性。

圖3是某型初速雷達(dá)測(cè)試的彈丸在信號(hào)不完整的情況下從0.1～0.5 s之間每隔5 ms選取的所有徑向速度值，其中在時(shí)刻0.130、0.150、0.170、0.205、0.225、0.245、0.280、0.300、0.320、0.355、0.375、0.395、0.430、0.450和0.470 s雷達(dá)沒(méi)有獲取到彈丸徑向速度數(shù)據(jù)。在圖3的基礎(chǔ)上利用回歸模型預(yù)測(cè)并補(bǔ)全缺失的徑向速度，然后把所有徑向速度數(shù)據(jù)與時(shí)間對(duì)應(yīng)起來(lái)，建立速度與時(shí)間v-t的一元線性回歸模型[7]，最后利用所建模型擬合遞推就得到了圖4，擬合遞推結(jié)果如表1所示，表中截距估計(jì)值就是計(jì)算出的信號(hào)不完整彈丸的炮口初速。

表1 某大口徑彈丸低信號(hào)下回歸擬合結(jié)果

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)選擇利用RStudio軟件環(huán)境中的回歸模型工具包進(jìn)行模型的構(gòu)建、訓(xùn)練及仿真，并選取同一試驗(yàn)中雷達(dá)A和雷達(dá)B共同測(cè)試的9發(fā)初速數(shù)據(jù)進(jìn)行分析驗(yàn)證。其中雷達(dá)A測(cè)試的彈丸信號(hào)很完整，所選出的81個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的徑向速度數(shù)據(jù)都是完整的，采用回歸模型直接擬合遞推即可。雷達(dá)B測(cè)試的彈丸信號(hào)不完整，所選出的徑向速度數(shù)據(jù)存在缺失，預(yù)測(cè)出缺失值后再擬合遞推，預(yù)測(cè)的每一發(fā)徑向速度數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)所建預(yù)測(cè)模型都是顯著的，模型擬合結(jié)果都為好，回歸系數(shù)和截距估計(jì)值都是顯著的。針對(duì)雷達(dá)A和雷達(dá)B的所有擬合回歸初速值，利用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)得出，所建立的速度與時(shí)間的一元線性回歸模型均顯著，模型擬合效果均為好，所得到的回歸系數(shù)及截距估計(jì)值都是顯著的[8]。表2列出了雷達(dá)A和雷達(dá)B測(cè)試的9發(fā)初速數(shù)據(jù)的實(shí)測(cè)值以及采用所述方法得到的擬合回歸值。

表2 某型試驗(yàn)兩臺(tái)雷達(dá)實(shí)測(cè)值及回歸擬合值 m·s-1

圖5是雷達(dá)A和雷達(dá)B測(cè)試的9發(fā)彈丸初速實(shí)測(cè)值及其擬合回歸值的時(shí)間序列圖。

因?yàn)槔走_(dá)A測(cè)試的彈丸在所有時(shí)刻的徑向速度數(shù)據(jù)都不存在缺失，即彈丸信號(hào)是完整的，雷達(dá)B測(cè)試的彈丸在有的時(shí)刻徑向速度數(shù)據(jù)存在缺失，即信號(hào)不完整，而且經(jīng)過(guò)計(jì)算得到雷達(dá)A的9發(fā)實(shí)測(cè)值與雷達(dá)B的9發(fā)實(shí)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為0.281%，超出了靶場(chǎng)試驗(yàn)中兩臺(tái)初速雷達(dá)測(cè)試彈丸初速2‰的誤差標(biāo)準(zhǔn)，所以初步判斷雷達(dá)A測(cè)試的彈丸初速數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的，雷達(dá)B測(cè)試的彈丸初速數(shù)據(jù)是不準(zhǔn)確的。從圖5可以直觀看出，雷達(dá)A測(cè)試的9發(fā)彈丸的擬合回歸值非常逼近雷達(dá)A的實(shí)測(cè)值，而且雷達(dá)B測(cè)試的9發(fā)彈丸的擬合回歸值也非常逼近雷達(dá)A的實(shí)測(cè)值，即采用同樣的方法計(jì)算出的兩臺(tái)雷達(dá)的擬合回歸值都非常逼近雷達(dá)A的實(shí)測(cè)值，所以確定出雷達(dá)A測(cè)試的9發(fā)彈丸初速數(shù)據(jù)才是彈丸炮口初速的真實(shí)值。同時(shí)經(jīng)過(guò)計(jì)算得到雷達(dá)A的9發(fā)擬合回歸值與雷達(dá)A的9發(fā)實(shí)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為0.035%，滿(mǎn)足靶場(chǎng)試驗(yàn)中單臺(tái)初速雷達(dá)測(cè)試彈丸初速1‰的誤差要求[1]，這就充分證明了在等時(shí)間間隔加載徑向速度數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用回歸模型擬合遞推初速數(shù)據(jù)的方法是正確可行的。采用該方法計(jì)算出的雷達(dá)B的9發(fā)彈丸擬合回歸值與雷達(dá)B的9發(fā)實(shí)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為0.348%，超出了靶場(chǎng)試驗(yàn)中單臺(tái)雷達(dá)測(cè)試彈丸初速1‰的誤差要求[1]，而與雷達(dá)A的9發(fā)實(shí)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為0.152%，滿(mǎn)足靶場(chǎng)試驗(yàn)中兩臺(tái)初速雷達(dá)測(cè)試彈丸初速2‰的誤差標(biāo)準(zhǔn)，總體平均相對(duì)誤差更小[9]，回歸模型能夠很好地挖掘出彈丸徑向速度中的變化規(guī)律并提高擬合精度[10]，說(shuō)明所采用的方法提高了雷達(dá)B在信號(hào)不完整情況下測(cè)試彈丸初速的精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

某型試驗(yàn)中利用兩臺(tái)初速雷達(dá)測(cè)試彈丸炮口初速經(jīng)常會(huì)遇到彈丸信號(hào)不完整、計(jì)算出的初速數(shù)據(jù)偏差過(guò)大的情況。為了解決這一問(wèn)題，在等時(shí)間間隔基礎(chǔ)上加載徑向速度數(shù)據(jù)，利用回歸模型預(yù)測(cè)出缺失的徑向速度數(shù)據(jù)，再通過(guò)建立速度與時(shí)間的一元線性回歸模型擬合遞推出初速數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)證明該方法是正確可行的，能提高雷達(dá)在彈丸信號(hào)不完整情況下的測(cè)速精度。