由淺入深，見微知著，以點(diǎn)帶面

陳沛余

[摘? 要] 在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的大背景下，研究者對高三一輪復(fù)習(xí)課做了一些新的嘗試，充分了解學(xué)生的情況，編擬微專題，以“導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線方程”為例，明確目標(biāo)，由淺入深，以點(diǎn)帶面，見微知著，提高復(fù)習(xí)效率，提升核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高三一輪復(fù)習(xí);核心素養(yǎng);提高效率

高三一輪復(fù)習(xí)是整個高三復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)多以某本教輔為藍(lán)本，按部就班地對知識、技能、方法等逐點(diǎn)梳理，以喚醒學(xué)生的記憶. 隨著時間的推移，學(xué)生會對這種教學(xué)方式產(chǎn)生疲勞甚至厭倦，以至于一輪復(fù)習(xí)結(jié)束后學(xué)生無法牢固掌握知識，解題能力沒有提高，思維停滯不前，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升更是淪為空談.那么一輪復(fù)習(xí)如何才能提高效率、提升核心素養(yǎng)呢？筆者嘗試在一輪復(fù)習(xí)中穿插微專題復(fù)習(xí)，明確目標(biāo)，對某一重點(diǎn)、難點(diǎn)或疑點(diǎn)進(jìn)行突破.例如，在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)時，將“導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線方程”這一學(xué)生經(jīng)常出錯的問題作為重點(diǎn)突破. 下文是筆者講授這節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄以及教學(xué)思考.

[?] 教學(xué)過程回顧

1. 創(chuàng)設(shè)情境，回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義

教師：同學(xué)們，我們前段時間學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，那么導(dǎo)數(shù)有什么意義呢？我們先看視頻（視頻截圖如圖1所示）.

這是殲-15在遼寧艦上的起飛現(xiàn)場.這個視頻中最激動人心的時刻是什么？是不是戰(zhàn)斗機(jī)起飛脫離甲板的這一瞬間？飛機(jī)在甲板上滑行一定距離后必須達(dá)到一定角度才能起飛，角度怎么求呢？從側(cè)面看，這是甲板的圖像，如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系，能得到函數(shù)解析式. 如果函數(shù)解析式是y=（ex-1），飛機(jī)在x=10處起飛，那么飛機(jī)飛離甲板的瞬間方向如何？也就是該點(diǎn)處的切線斜率該怎么求呢？

學(xué)生異口同聲：求導(dǎo)！

教師：對，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過導(dǎo)數(shù)了，知道可以用導(dǎo)數(shù)求這一點(diǎn)處的切線斜率.也就是說，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x，f（x））處的切線斜率k，那么這節(jié)課我們就來著重講一下如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題.

點(diǎn)評：著名心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，一切有效的工作必須是以某種動機(jī)為先決條件的. 動機(jī)分為內(nèi)部動機(jī)（興趣、需要）和外部動機(jī)（追求激勵、逃離懲罰）.? 事實(shí)上，內(nèi)部動機(jī)比外部動機(jī)更利于思維的開發(fā)，也就是說資源要足夠引起學(xué)生的興趣.視頻中殲-15在遼寧艦上起飛非常地振奮人心，吸引學(xué)生的注意力，調(diào)動課堂氣氛，一系列的問題引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建導(dǎo)數(shù)模型解決飛機(jī)離開甲板的瞬時方向問題. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從枯燥乏味的被動接受轉(zhuǎn)換為了縱橫捭闔的思維游戲，學(xué)生發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在生活中具有實(shí)際意義，課堂的有效性也就自然地流淌出來了.

2. 嘗試——解決在某點(diǎn)處的切線問題

題1：曲線y=ex的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_________.

題2：曲線y=mx+lnx在點(diǎn)（1，m）處的切線斜率為0，則m=_____.

題3：曲線f（x）=x3+x+1在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為______.

由教師板書解題過程.

教師：這3個問題比較簡單，第一題已知曲線和切線斜率，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，第二題已知切點(diǎn)和切線斜率求曲線，第三題已知曲線和切點(diǎn)求切線方程，所以切線問題實(shí)為切線、切點(diǎn)、曲線三者“知二求一”的問題（如圖3所示），其中什么最重要？（學(xué)生答：切點(diǎn)）對，因?yàn)槲覀円脤?dǎo)數(shù)去解決切線問題，就肯定要知道某點(diǎn)處的切線斜率，也就是切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù). 所以切點(diǎn)是最重要的.

下面我們總結(jié)：函數(shù)在某點(diǎn)處，也就是函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（x，y）處的切線方程是y-y=f′（x）·（x-x）.

點(diǎn)評：設(shè)計(jì)3道簡單的在某點(diǎn)處的切線問題，旨在低起點(diǎn)、慢啟動，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過理解、研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，總結(jié)出解決函數(shù)切線問題的一般規(guī)律，提升數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng).

3. 提升——求解過某點(diǎn)的切線方程

題4：求過點(diǎn)P（0，-1），且與曲線y=xlnx相切的直線方程.

教師：這個點(diǎn)在曲線上嗎？

學(xué)生：不在，需要設(shè)切點(diǎn).

教師（邊講解邊板書）：對，切點(diǎn)知道了，斜率就知道了. 因?yàn)樾甭适窃擖c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，求導(dǎo)得f′（x）=lnx+1，設(shè)切點(diǎn)為（x，y），那么斜率k=lnx+1，由點(diǎn)斜式寫出切線方程為y-xlnx=（lnx+1）（x-x），將（0，-1）代入切線方程得x=1，所以切線方程為x-y-1=0.

題5：求過點(diǎn)P（2，8），且與曲線y=x3相切的直線方程.

請學(xué)生練習(xí)，教師展示生1的解法：因?yàn)閥′=3x2，k=12，所以l：y-8=12（x-2）.

教師：只有這一個答案嗎？現(xiàn)在思考一個問題：點(diǎn)P（2，8）在曲線y=x3上，切線過這個點(diǎn)，這個點(diǎn)就一定是切點(diǎn)嗎？（有學(xué)生回答“不是”，也有學(xué)生沉默表示疑惑）

通過幾何畫板把圖像畫出來，如圖4所示，發(fā)現(xiàn)在這一點(diǎn)處的切線確實(shí)是存在的.

請生1上講臺，在一體機(jī)上直接拖動切線，探索是否存在過點(diǎn)P、但點(diǎn)P不是切點(diǎn)的切線. 如圖5所示，生1通過親身體驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這樣的切線也是存在的，因此不能單純地把點(diǎn)P當(dāng)成切點(diǎn).

生2：所以這題要分兩種情況，一種為點(diǎn)P是切點(diǎn)，一種為點(diǎn)P不是切點(diǎn).

教師展示生2的解答過程：點(diǎn)P不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則k=3x=（x≠2），即3x-6x=x-8，即x-3x+4=0. 三次方程因式分解得（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1，x=2（舍），進(jìn)而得到切線方程.

教師：我的做法是，同樣設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則切線方程為y-x=3x（x-x），將（2，8）代入切線方程，得三次方程x-3x+4=0，和生2一樣因式分解得（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1，x=2，因此切線方程有兩個. 這樣做避免了討論.

教師引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)：過某點(diǎn)的切線問題分為“點(diǎn)在曲線上”與“點(diǎn)不在曲線上”，“點(diǎn)在曲線上”又細(xì)分為“該點(diǎn)是切點(diǎn)”和“該點(diǎn)不是切點(diǎn)”. 做題策略為：不論什么情況，先設(shè)出切點(diǎn)，因?yàn)榍悬c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率，所以只要用導(dǎo)數(shù)去解決切線問題，一定會用到切點(diǎn)，如圖6所示. 時刻牢記，切點(diǎn)很重要.

點(diǎn)評：蘇霍姆林斯基說過，如果學(xué)生想牢固地掌握數(shù)學(xué)知識，必須用內(nèi)心創(chuàng)造和體驗(yàn)的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的關(guān)鍵在于“做中學(xué)”“做中悟”，即親身體驗(yàn). 過某點(diǎn)的切線問題設(shè)計(jì)了兩個層次，一是“點(diǎn)不在曲線上”，可以直接設(shè)切點(diǎn)求解切線方程;二是“點(diǎn)在曲線上”，通過學(xué)生板演暴露思維誤區(qū)，再利用幾何畫板請學(xué)生親自動手操作，發(fā)現(xiàn)錯誤并糾正錯誤，提升其直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，進(jìn)而主動尋求真知、理清概念、正本清源.

4. 拓展——探究切線的存在性問題

探究：函數(shù)f（x）=xlnx是否存在過點(diǎn)

，0的切線？

學(xué)生靜靜思考，一時未有思路.

教師：大家對這個函數(shù)不是特別熟悉，我們先來觀察圖像（如圖7所示），你們有哪些發(fā)現(xiàn)？

生3：這個函數(shù)圖像是先遞減再遞增的，而且遞增的這部分有一種向下凹的感覺，所以切線肯定在函數(shù)圖像的下方，不可能經(jīng)過

，0.

教師：很有道理，大家都是這么想的嗎？

（學(xué)生交頭接耳，小聲議論）

生4：我也不確定，幾何畫板給出的只有這一小段圖像，無窮遠(yuǎn)處無法判斷.

教師：這位同學(xué)的疑問也有道理，無窮遠(yuǎn)處的情況我們可以想象嗎？我們的想象一定對嗎？也許無窮遠(yuǎn)處的圖像是向上凸的呢？因此我們的想象不能代替結(jié)論.就算我們的想象是正確的，那么又如何證明呢？

學(xué)生：設(shè)切點(diǎn)！

教師與學(xué)生一起板書解答過程：設(shè)切點(diǎn)為（x，y），寫出切線方程，將

，0代入切線方程，判斷x是否存在.（詳細(xì)解答過程略）

課后思考題：函數(shù)f（x）=xlnx是否存在過點(diǎn)（a，0）（0<a<1）的切線？

點(diǎn)評：本題對數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提出了較高要求. 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)為學(xué)生提供選擇和發(fā)展的空間，為學(xué)生提供多層次、多種類的選擇，以促進(jìn)學(xué)生的個性發(fā)展和對未來的人生規(guī)劃的思考.”[1]布魯納說過，“探索是數(shù)學(xué)的生命線”. 嚴(yán)謹(jǐn)性是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最基本的要求，是思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，在一定程度上影響著解題能力. 學(xué)生在主動探究、相互質(zhì)疑中發(fā)現(xiàn)想象并不能代替結(jié)論，掌握知識的同時還學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)方法，獲得了情感體驗(yàn). 通過對切線存在性問題的拓展探究，教師留下的是課堂探究時間，開發(fā)的是學(xué)生的思維和素養(yǎng).

5. 歸納總結(jié)，形成解題思維

回放圖6，教師及時帶領(lǐng)學(xué)生站在整體的高度進(jìn)行梳理與歸納，幫助學(xué)生跳出問題，進(jìn)而駕馭問題，促進(jìn)學(xué)生“大徹大悟”：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)的是，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的三個題型，發(fā)現(xiàn)切線問題本質(zhì)上是曲線、切線、切點(diǎn)三者的關(guān)系問題，在某點(diǎn)處切線的斜率即為該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，因此利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題的關(guān)鍵是切點(diǎn).

[?] 教學(xué)反思

1. 微專題復(fù)習(xí)，由淺入深，滲透核心素養(yǎng)

根據(jù)高考的重點(diǎn)，以及高一、高二學(xué)段學(xué)生掌握知識的情況，筆者編擬了“導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線方程”這一微專題，主題鮮明. 例題選取緊緊圍繞考綱，設(shè)置了“在某點(diǎn)處的切線問題”“過某點(diǎn)的切線問題”“切線的存在性問題”三個層次的題型，由淺入深，促進(jìn)不同層次的學(xué)生積極思考，使所有學(xué)生都有收獲.堅(jiān)決摒棄教師照本宣科、一講到底的模式，讓學(xué)生成為課堂的主角，從課堂引入、例題分析、幾何畫板動手實(shí)踐、合作探究等各個環(huán)節(jié)，有目的地培養(yǎng)其思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性，滲透數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 元認(rèn)知提問，見微知著，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)

動機(jī)常常是“認(rèn)知不協(xié)調(diào)問題”，即一個人經(jīng)歷的事物與他的觀念相沖突，而“認(rèn)知不協(xié)調(diào)問題”常產(chǎn)生于問題驅(qū)動[2]. 本節(jié)課中，筆者在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)開展思維風(fēng)暴，通過“飛機(jī)飛離甲板的瞬間方向如何？該點(diǎn)處的切線斜率如何求？”“切線問題中切點(diǎn)、切線、曲線什么最重要？”“該點(diǎn)在曲線上嗎？這個點(diǎn)一定是切點(diǎn)嗎？”“如果不是切點(diǎn)怎么解決這個問題？”“無窮遠(yuǎn)處的情況我們可以想象嗎？我們的想象一定對嗎？也許無窮遠(yuǎn)處的圖像是向上凸的呢？就算我們的想象是正確的，那么又如何證明呢？”等一系列元認(rèn)知提問，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)，使學(xué)生通過獨(dú)立思考以及合作探究解決“思維障礙”，提煉出“利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題的關(guān)鍵點(diǎn)是切點(diǎn)”這一結(jié)論，從而完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 同時，學(xué)生認(rèn)識到筆者是真誠地對他們的想法感興趣，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幸福感自然增加了，有利于學(xué)習(xí)動機(jī)的激發(fā)與持續(xù).

3. 思規(guī)律重歸納，以點(diǎn)帶面，提高復(fù)習(xí)效率

本節(jié)課以“在某點(diǎn)處的切線問題”和“過某點(diǎn)的切線問題”為突破口，進(jìn)行一題多變、一題多解、一法多題的訓(xùn)練，并適時進(jìn)行知識類比、歸納推廣，將切線問題的思維圖多次呈現(xiàn)給學(xué)生，促使學(xué)生在異中求同、同中求異，帶領(lǐng)學(xué)生對“切線的存在性問題”進(jìn)行深入探究.以點(diǎn)帶面，讓學(xué)生從會解一道題，到理解一類題，再到掌握一系列題，挖掘知識本質(zhì)，深化數(shù)學(xué)理解，掌握知識的規(guī)律性，擺脫“題?！?，提高復(fù)習(xí)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 花奎. 微型探究揭本質(zhì)，深度學(xué)習(xí)促素養(yǎng)——一節(jié)習(xí)題研究課的教學(xué)活動及課后調(diào)研和思考[J]. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2017（12）：4-8.