教材：取之不竭的試題寶庫(kù)

[摘? 要] 教材不僅是課堂教學(xué)的知識(shí)載體，同時(shí)也是命題工作的資源寶庫(kù).教師命題時(shí)要重視教材資源的再開發(fā)，依托教材而不拘泥于教材.教師要善于利用教材，基于教材，直接出新;情境改編，推陳出新;關(guān)注模型，遷移出新;抓住本質(zhì)，歸真出新.

[關(guān)鍵詞] 高考命題;教材資源;經(jīng)典賞析;命題實(shí)踐

高考命題秉承“原創(chuàng)為主，改編為輔”的格調(diào)，改編題目注重“源于教材，高于教材”. 教材中，知識(shí)建構(gòu)過(guò)程中依托的情境與載體、蘊(yùn)含的思想與方法，以及訓(xùn)練鞏固過(guò)程中的練習(xí)試題、閱讀材料、知識(shí)鏈接等素材，均可成為新試題產(chǎn)生的有效資源. 可以說(shuō)，教材就是一座取之不竭的試題寶庫(kù). 文章以人教A版和蘇教版教材為例，結(jié)合對(duì)高考試題的理解及筆者的命題實(shí)踐，談?wù)劷滩馁Y源的再開發(fā)與應(yīng)用.

[?] 基于教材，直接出新

高考試題，基本上可以在教材中找到題源，當(dāng)然有的可能經(jīng)過(guò)了很多層次的綜合和深化，而有的可能就是直接基于教材習(xí)題進(jìn)行考查. 這需要教師用聯(lián)系的觀點(diǎn)去看待教材中的各種素材，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并進(jìn)行巧妙的整合，從而形成耳目一新的試題.

1. 經(jīng)典賞析

【高考真題】

題1：（2021年新高考Ⅰ卷第10題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（cosα，sinα），P（cosβ，-sinβ），P（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），則（? ）

A.

=

B.

=

C. ·=·

D. ·=·

【教材鏈接】

題2：（人教A版必修2第35頁(yè)例12）用向量方法證明兩角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

【高考真題】

題3：（2021年八省聯(lián)考第13題）圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為________.

【教材鏈接】

題4：（人教A版必修2第154頁(yè)例6）推導(dǎo)棱臺(tái)的體積公式V=h（S′++S），其中S′，S分別是棱臺(tái)的上、下底面面積，h是高.

命題方法分析：從兩道高考試題的命題方式來(lái)看，兩道題都是基于教材例題開發(fā)的. 教材的兩道原型題都是例題，都是對(duì)公式的推導(dǎo)，都需要學(xué)生從本質(zhì)上理解和掌握公式的推導(dǎo)過(guò)程，并能夠靈活應(yīng)用. 試題的呈現(xiàn)形式、命題方式具有連續(xù)性，讓學(xué)生學(xué)有方向，讓教師研有方法. 命題方式看似簡(jiǎn)單，但彰顯的是一種用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題的數(shù)學(xué)眼光.

2. 命題實(shí)踐

題5：（2021年南通市市直高三期中調(diào)研第8題）由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式. 一般地，存在一個(gè)n次多項(xiàng)式P（t），使得cosnx=P（cosx），這些多項(xiàng)式P（t）稱為切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多項(xiàng)式.

例如：cos2x=P（cosx）=2cos2x-1，記作P（t）=2t2-1. 利用P（t）求得sin18°=（? ）

A. B.

C. D.

題6：（2021年南通市市直高三期中調(diào)研第16題）如圖1，將矩形紙片ABCD的右下角折起，使得點(diǎn)B落在CD邊上點(diǎn)B處，得到折痕MN.已知AB=5 cm，BC=4 cm，則當(dāng)tan∠BMN=______時(shí)，折痕MN最短，其長(zhǎng)度的最小值為______cm.

命題方法說(shuō)明：以上兩道題的原型題均出自蘇教版必修第二冊(cè)教材. 題5的原型題是教材第79頁(yè)的第19題，是一道閱讀題. 筆者只是對(duì)給出的條件做了一個(gè)更明確的說(shuō)明，題5的設(shè)問(wèn)方式和所求結(jié)論與教材的第19題完全一致. 題6的原型題是教材第67頁(yè)的第10題，筆者只是將圖形以學(xué)生更易理解的方式給出的，簡(jiǎn)單調(diào)整了原型題的數(shù)據(jù)，并以一題雙空的形式呈現(xiàn)了試題，題6考查的本質(zhì)與教材的第10題卻是一致的. 基于教材，直接將教材中的題目稍微包裝后進(jìn)行考查，試題既可以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，又可以讓學(xué)生在考試中產(chǎn)生似曾相識(shí)的親近感.

[?] 情境改編，推陳出新

命題時(shí)，選擇合適的問(wèn)題情境是考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體.情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，每種情境可以分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的[1]. 教材里提供了豐富多彩的情境資源，這些資源具有典型性、可延伸性，具有很大的挖掘空間. 通過(guò)這些情境的再開發(fā)，設(shè)定特定的問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生展示數(shù)學(xué)理解力，滿足學(xué)生自主探究的欲望，開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.

1. 經(jīng)典賞析

【高考真題】

題7：（2020年新高考Ⅰ卷第4題）日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間. 把地球看成一個(gè)球（球心記為O），地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面. 在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（? ）

A. 20° B. 40°

C. 50° D. 90°

【教材鏈接】

題8：（人教A版必修1第256頁(yè)第27題）在地球公轉(zhuǎn)過(guò)程中，太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度隨時(shí)間周而復(fù)始不斷變化.

如圖3，設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為θ，δ為此時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度，φ為當(dāng)?shù)氐木暥戎?，那么這三個(gè)量滿足θ=90°-φ-δ. 某科技小組以某年春分（太陽(yáng)直射赤道且隨后太陽(yáng)直射點(diǎn)逐漸北移的時(shí)間）為初始時(shí)間，統(tǒng)計(jì)了連續(xù)400天太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度平均值（太陽(yáng)直射北半球時(shí)取正值，太陽(yáng)直射南半球時(shí)取負(fù)值）. 下面是該科技小組的三處觀測(cè)站成員在春分后第45天測(cè)得的當(dāng)?shù)靥?yáng)高度角數(shù)據(jù)：

請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)完成上面的表格（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）.

命題方法分析：比較高考試題和教材習(xí)題可以發(fā)現(xiàn)，高考試題的情境與教材習(xí)題的情境實(shí)質(zhì)上是一致的，只是教材中給出的是平面圖，而高考中給出的是立體圖，需要學(xué)生先將三維空間平面化.平面化后，只要將太陽(yáng)光的直射方向調(diào)整為和赤道平面平行，此時(shí)的太陽(yáng)光線所在的平面即為高考試題中的晷面所在的平面，兩題的本質(zhì)就完全一致了. 教材中，這道題是一道探究題，探究題往往就是一個(gè)引子，由此及彼，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì).教學(xué)中，教師如果不淺嘗輒止，而是進(jìn)一步挖掘、開發(fā)這類探究題的教育價(jià)值，那么這樣的高考試題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是手到擒來(lái)的事了.

2. 命題實(shí)踐

題9：（2021年南通市市直高三期中調(diào)研第12題）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)M在線段AD上，點(diǎn)N在線段BD上，則（? ）

A. 當(dāng)M為AD的中點(diǎn)時(shí)，AC⊥MN

B. 當(dāng)MN∥平面CCDD時(shí)，AM=BN

C. 當(dāng)N為BD的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐C-BMN的體積為

D. 當(dāng)M為AD的中點(diǎn)時(shí)，以M為球心，MN為半徑的球被平面BBDD截得圓的面積的最小值為

【教材鏈接】

題10：（蘇教版必修2第174頁(yè)第6題）將一本書打開后豎立在桌面α上（如圖4），P，Q分別為AC，BE上的點(diǎn)，且AP=BQ，求證：PQ∥平面α.

命題方法說(shuō)明：該考題的命制，實(shí)質(zhì)上就是借助于教材習(xí)題的情境，將原情境中的兩個(gè)半平面變成了特殊的垂直關(guān)系，然后再特殊化，將它補(bǔ)成了正方體. 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)是該題的靈魂，筆者將它遷移，再適當(dāng)增設(shè)條件形成了考題，利用好教材中數(shù)學(xué)情境的亮點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

[?] 關(guān)注模型，遷移出新

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，深刻理解一些特定的數(shù)學(xué)模型，掌握這些模型的結(jié)構(gòu)、特征、功能、變式，有助于學(xué)生學(xué)會(huì)遷移，舉一反三[2]. 對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，依托典型的數(shù)學(xué)模型，適當(dāng)改變模型的呈現(xiàn)方式，可以開發(fā)出新的問(wèn)題.

1. 經(jīng)典賞析

【高考真題】

題11：（2019年江蘇高考第17題）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a>b>0）的焦點(diǎn)為F（-1，0），F(xiàn)（1，0）. 過(guò)F作x軸的垂線l，在x軸上方，l與圓F：（x-1）2+y2=4a2交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D. 連接AF并延長(zhǎng)交圓F于點(diǎn)B，連接BF交橢圓C于點(diǎn)E，連接DF.已知DF=.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【鏈接教材】

題12：（蘇教版選擇性必修1習(xí)題）已知點(diǎn)N（2，0），圓M：（x+2）2+y2=36，點(diǎn)A是圓M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AN的垂直平分線交直線AM于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.

命題方法分析：比較高考試題和教材習(xí)題可以發(fā)現(xiàn)，兩道題都結(jié)合了圖形的幾何特征，很好地將圓的定義和橢圓的定義融為一體. 這里的定義即一種模型. 在教材習(xí)題中，可通過(guò)平面幾何特征發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合定義發(fā)現(xiàn)隱形的軌跡——橢圓;而高考試題則反其道而行之，將橢圓顯性化，利用圓和橢圓的定義，結(jié)合題目中的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)內(nèi)隱的幾何特征.

2. 命題實(shí)踐

題13：（2020年南通市高三一?？荚嚨?7題）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓E：+=1（a>b>0）的焦距為4，兩條準(zhǔn)線間的距離為8，A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn).

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）已知圖中四邊形ABCD是矩形，且BC=4，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，AM與BN相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①若M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，證明：點(diǎn)P在橢圓E上;

②若點(diǎn)P在橢圓E上，證明：為定值，并求出該定值.

【鏈接教材】

題14：（蘇教版選擇性必修1第87頁(yè)第17題）把矩形的各邊n等分，如圖8，連接直線，判斷對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)是否在一個(gè)橢圓上.

命題方法說(shuō)明：題14以矩形為載體，通過(guò)矩形各邊等分的手段產(chǎn)生系列點(diǎn)，如果將等分進(jìn)行拓展，實(shí)際就是“成比例”的問(wèn)題，而“成比例”的方式，又能夠?qū)⑾盗悬c(diǎn)從“有限”拓展為“無(wú)限”，而研究這些點(diǎn)的特征，實(shí)質(zhì)上就是研究這些動(dòng)點(diǎn)的軌跡. 筆者借助于教材的這個(gè)模型，通過(guò)“逆向思維”以及“特殊化”的手段進(jìn)行改編形成了考題.

具體來(lái)講，題13的第①問(wèn)，就是將等分點(diǎn)特殊化，然后結(jié)合具體的數(shù)據(jù)，給出具體的橢圓，將原來(lái)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題變?yōu)榱遂o態(tài)問(wèn)題，降低了思維難度，轉(zhuǎn)化為了適合學(xué)生的考題;第②問(wèn)，通過(guò)“逆向思維”的方式給出曲線上的動(dòng)點(diǎn)，再研究定點(diǎn)滿足的幾何特征，這里就出現(xiàn)了多種引參的方案，能有效考查學(xué)生靈活變通的能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.

[?] 抓住本質(zhì)，歸真出新

在知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要強(qiáng)調(diào)知識(shí)的生成過(guò)程，強(qiáng)調(diào)生成過(guò)程就是強(qiáng)調(diào)方法，“過(guò)程即方法”，每一個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)與證明都清晰地展示了一種或幾種數(shù)學(xué)思想方法. 波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長(zhǎng).”數(shù)學(xué)的思想方法促使了數(shù)學(xué)試題“成群生長(zhǎng)”.

1. 經(jīng)典賞析

【高考真題】

題15：（2020年新高考Ⅰ卷第21題）已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

題16：（2021年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<+<e.

【鏈接教材】

題17：（蘇教版選擇性必修1第67頁(yè)“問(wèn)題與探究”）若點(diǎn)P（x，y）在圓O：x2+y2=r2外時(shí)，方程xx+yy=r2表示怎樣的直線呢？

過(guò)點(diǎn)P（x，y）作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，設(shè)A（x，y），B（x，y），則直線PA的方程為xx+yy=r2. 因?yàn)镻（x，y）在直線PA上，所以xx+yy=r2，故（x，y）滿足方程xx+yy=r2，即點(diǎn)A在直線xx+yy=r2上. 同理，點(diǎn)B在直線xx+yy=r2上. 所以xx+yy=r2是直線AB的方程，即切點(diǎn)弦所在的直線方程.

命題方法分析：題15和題16均考查了解決一類函數(shù)問(wèn)題的一種思想方法，即函數(shù)“同構(gòu)思想”. 題15考查的是“同構(gòu)思想”的直接應(yīng)用，應(yīng)用“同構(gòu)思想”能達(dá)到快速解決問(wèn)題的目的;題16以“同構(gòu)思想”為基礎(chǔ)，通過(guò)“同構(gòu)”，起到了將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉且簡(jiǎn)單的問(wèn)題的目的. 而“同構(gòu)思想”源自蘇教版教材的“問(wèn)題與探究”.

2. 命題實(shí)踐

題18：（2021年南通市市直高三期中調(diào)研第21題）在△ABC中，已知D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，且AC-CD=.

（1）若AB=2BD=5，求△ABC的面積;

（2）若AB+BD=6，求AD.

【鏈接教材】

題19：（蘇教版選擇性必修2的閱讀題）我們?cè)媒M合數(shù)模型發(fā)現(xiàn)了組合恒等式C=C和C=C+C. 這里所使用的方法，實(shí)際上是將一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同得到等式，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次”. 對(duì)此，我們并不陌生，如列方程時(shí)就要從不同的側(cè)面列出表示同一個(gè)量的代數(shù)式，幾何中常用的等積法也是“算兩次”的典范[3].

命題方法說(shuō)明：題18在最初命制時(shí)，第（1）問(wèn)經(jīng)歷了多次調(diào)整，如最開始證明的是=，后來(lái)調(diào)整為BD·sin∠ABC=CD·sin∠ACB，最終將（1）（2）兩問(wèn)都圍繞“算兩次”思想展開，本題就成了“算兩次”思想引領(lǐng)的一道典型數(shù)學(xué)題. 平時(shí)教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)立足教材，引領(lǐng)學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)更多、更美的數(shù)學(xué)結(jié)論.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 曾榮. 精解·探規(guī)·尋根·遷移：數(shù)學(xué)教師研題的四重境界[J]. 江蘇教育，2021（91）：33-37.

[3]? 黃鋒. 一道高考試題的題源探析與拓展[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2021（12）：27-28.