“三角形畫高”教學實證研究

周本圣

（寧波市北侖區(qū)華山小學，浙江 寧波 315800）

三角形的基本度量性質之一是：三角形的面積等于底乘高的積的一半。這條性質涉及到三角形的底和高，而對小學生來說，識高、畫高是學習三角形面積的必由之路[1]。《義務教育數(shù)學課程標準（2021 版）》對包括畫高在內的幾何作圖有著明確要求——“掌握測量、識圖和畫圖的基本方法”[2]。

小學生在三角形的識高、畫高方面存在的困難是什么？給三角形畫高時會出現(xiàn)哪些錯誤？其背后有著怎樣的深層次的原因？有沒有方法可以幫助學生突破畫高難點呢？基于這些問題的思考而開展研究。

一、教材分析

在課程標準指導下的教材內容的呈現(xiàn)，是師、生為之教、學的具體路徑。不同版本的教材對同一內容的處理也是各具特色，這里以北京師范大學出版社（以下簡稱：北師版）與人民教育出版社[3]（以下簡稱：人教版）的兩版教材為例。

北師版給出了從“說一說”到“認一認”，再到“畫一畫”的梯度學習路徑。

人教版將認識高放在“三角形的特性”第一課時里學習。

從教材編排來看，北師版聚焦高的內涵，是在概念指導下的多種圖形感知，引導學生掌握三角形、梯形及平行四邊形的高的畫法。人教版則是在認識平行四邊形和梯形的高的基礎上進一步聚焦三角形的高，引導學生掌握銳角、直角以及鈍角三角形長邊上的高的畫法。

二、學生認知

調查問卷主要由三部分組成，問卷一：關于垂線；問卷二：關于圖形的高；問卷三：新方法畫高。調查對象來自寧波市北侖區(qū)華山小學四年級一個班（43 人）、五年級三個班（共125 人）的學生。

（一）調查研究總的目的

1.幫助學生掌握基本知識與技能。包括：概念、點線關系、有效作高等。

2.幫助學生積累基本活動經(jīng)驗。包括：作高錯誤率最高的是哪幾種圖形？如何避免？“基本圖形”與“非基本圖形”在畫高方面有何異同？基本圖形是指底邊在下方且處于水平狀態(tài)的圖形。

3.領悟數(shù)學思想。包括：高與底的相互對應，畫高與畫垂線之間的轉化等。

（二）問卷內容及相關分析

卷1：你能分別過下面的點，畫出相應直線的垂線嗎？

1.目的：

（1）了解學生對垂線的理解以及畫垂線方法的掌握程度。

（2）變換點線方位（包括“點在線上”和“點在線外”），幫助學生確定自己的易錯點。

2.統(tǒng)計結果如下：

3.典型問題如下：

4.分析結論：“點在線上”很少出錯，“點在線外”容易出錯。錯因：一是三角尺的一條直角邊與已知直線重合后在移動中出現(xiàn)偏差；二是先對準已知點，然后移動或轉動三角尺時未顧及邊與線的重合。

卷2：你能分別過下面的A 點，畫出直線l 的垂線嗎？

你能分別畫出下面圖形指定底邊上的高嗎？

1.目的：（1）在“一點兩線”和“一點三線”中，了解學生對點線關系的把握。（2）兩題中的圖形在結構上一脈相承，讓學生感受規(guī)則平面圖形高的本質就是點到直線的距離。并促進學生領會底與高的相互對應。

為了便于分析，我們將第一題和第二題分開討論。

第一題：

2.統(tǒng)計結果如下：

3.典型錯誤如下：

4.訪談錯因：（1）線條多，受干擾，一點三線比一點兩線的錯誤明顯更多。（2）認為高總是“自上而下”畫出來的。（3）尺子擺放錯誤，無法完成“顧點”又“顧線”。

第二題：

2.統(tǒng)計結果如下：

3.典型問題如下：

4.分析結論：（1）四年級學生還沒有學習過三角形畫高，錯誤率遠高于五年級。（2）頂點與底邊不對應尤為突出，這與學生的空間思維、對概念的理解、以及工具使用的方法都有關系。

三、卷1、卷2 研究總結

（一）小學生“畫高”難在哪？

1.對高的概念理解不到位。具體表現(xiàn)：頂點與底邊不能兼顧、借助平行線畫高、讀不懂題意、受多線條干擾、非基本圖形畫高錯誤率明顯高于基本圖形、將高畫成直線等。

2.技能不嫻熟。具體表現(xiàn)：高與底不垂直，畫高時轉動紙片或扭動身體，三角尺擺放錯誤等。

3.活動經(jīng)驗不足。具體表現(xiàn)：不標直角符號，畫垂線時“點在線外”容易出錯，顧點不顧線、顧線不顧點等。

（二）教師教學時應該注意哪些方面？

1.注重“高”的概念解讀。現(xiàn)行教材給出的定義基本類似于“從一個頂點向對邊引出的垂直線段就是高”，這樣的定義會給學生帶來一定的困惑，因為學生眼里的“對邊”是一條線段，無法滿足“可延長”，所以鈍角三角形的外高就無法畫出。那么，如何處理呢？

先看以下兩個定義：

“高線：從三角形的一個頂點向對邊所在直線引的垂線段或垂線?！保ā稊?shù)學大辭典》，王元）

“三角形一個頂點到它對邊所在直線的垂線段叫做三角形的高?！保ā镀矫鎺缀涡侣贰罚瑥埦爸校?/p>

在這兩個定義中，都給出了“對邊所在直線”的說法，學生理解了這一點之后，便可接受和使用輔助線。所以，教師在教學時要結合實際情況，適時補充“所在直線”。

2.注重與“高”相關概念的解讀。頂點、對邊、直線、垂直、垂線段、垂足、斜線等都是與高相關的概念。例如頂點、對邊與直線，是引發(fā)高的前概念；垂直、垂線段、垂足是高的內隱特征與外在表征的統(tǒng)一；而斜線則是理解高的很好的對比概念。

3.明確高與底的對應特征。三角形的高與底是相互對應的。明白這個道理是有效區(qū)分垂直高度（高垂直于底）與鉛直高度（高垂直于水平線）的關鍵。學生出現(xiàn)總是“豎著”來畫高，是受到鉛直高度的負遷移。

四、對比研究

卷3：你能分別畫出下面圖形指定底邊上的高嗎？

1.目的：卷3 中的圖形與卷2 第二題一致，區(qū)別在于指定的底邊被延長，對應的頂點被加粗，幫助學生排除干擾，突出點線關系，突破難點，形成方法，強化畫高技能。

2.統(tǒng)計結果如下：

3.分析結論：搭建“腳手架”，引導學生在作高之前，將指定底邊向兩端延長，同時加粗與底邊對應的頂點，以此突出點線關系，可以大幅度降低畫高錯誤率。

五、實驗結果展望

基于以上過程與結果的分析，本研究有如下展望：

第一，教師盡可能多地為學生提供豐富的有層次的數(shù)學活動，回到師生共長的“起點”處[4]，使學生充分理解高的概念，讓動手操作與空間思維在起點處交融。

第二，能潛移默化地滲透數(shù)學思想，如對應思想、轉化思想等。

第三，利用“底邊延長、頂點加粗”的方法，確實可以很大程度降低畫高錯誤率，但這畢竟只是一個輔助手段，還需要學生不斷積累經(jīng)驗，理解本質，從而擺脫輔助。