無限思想在圖形教學(xué)中的應(yīng)用

袁 航

（寧波市海曙區(qū)古林鎮(zhèn)布政小學(xué)，浙江 寧波 315100）

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，教師只需單純地對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)“灌溉”，沒有充分重視和發(fā)揮學(xué)生自主的思考，不利于學(xué)生思維的健康發(fā)展。隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，在我們?nèi)粘５臄?shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生正確且合理的思考方式凸顯出越來越重要的作用[1]，也是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)發(fā)展的必經(jīng)之路。

在數(shù)學(xué)教學(xué)課上，數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、特殊與一般的思想是比較常見的[2]，而有限與無限的思想，教師往往覺得只是初中甚至是高中才會(huì)涉及的數(shù)學(xué)思想，很少出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中。針對(duì)這一現(xiàn)象，本文對(duì)小學(xué)中關(guān)于圖形教學(xué)中的無限思想進(jìn)行剖析，認(rèn)為無限思想與空間圖形的教學(xué)可以完美融合。

一、無限思想的認(rèn)識(shí)

無限，又稱“無窮”，具體可表述為沒有限度、無始無終、無邊無際、不可窮盡、有始無終、無窮大、無窮小、無窮集合等，僅僅是個(gè)定性的概念。

回顧數(shù)學(xué)的演變與紛爭(zhēng)的歷史，是人類從有限走向無限的認(rèn)識(shí)歷程[1]。無限是人類的在數(shù)學(xué)上最重要的對(duì)象，它從根本上改變了數(shù)學(xué)的全貌，使數(shù)學(xué)有了質(zhì)的飛躍和發(fā)展，其結(jié)構(gòu)體系日趨精密與完善。例如《莊子·天下篇》曾這樣描述“一尺之棰，日取其半，萬世不絕”。這種思想是從量的角度，以形象然而樸素的語言，刻劃了無限可分性。它正是現(xiàn)代極限概念的萌芽狀態(tài)[2]。雖然人們受當(dāng)時(shí)歷史條件的限制，但是古人已經(jīng)開始研究數(shù)學(xué)與“無限問題”的內(nèi)在聯(lián)系，說明了“無限問題”成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是由客觀規(guī)律決定的，最終把它納入數(shù)學(xué)研究范疇是不可避免的。如果將無限思想在空間圖形的教學(xué)中完美融合，將起到事半功倍的效果！

二、無限思想在圖形教學(xué)中的應(yīng)用

（一）無限平移，形成空間

在空間幾何的學(xué)習(xí)中，教師最強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)就是要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力?？臻g想象能力是人們對(duì)客觀事物的空間形式（空間幾何形體）進(jìn)行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力。培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一，同時(shí)也是難點(diǎn)之一。首先對(duì)于建立起整個(gè)立體空間，就需要發(fā)揮無限的想象。我們都知道，點(diǎn)是空間幾何的一個(gè)基點(diǎn)，有了這個(gè)基點(diǎn)，就能得到線，而通過確定方向無限平移便能得到了直線，進(jìn)而又通過直線確定方向無限平移得到了面，面朝著某個(gè)方向（或相反方向）無限平移就成為了立體空間。

射線：一個(gè)點(diǎn)向某個(gè)方向無限移動(dòng)形成的軌跡。

直線：這個(gè)點(diǎn)再朝著反方向無限移動(dòng)形成的軌跡。

面：直線延某個(gè)方向（或相反方向）無限移動(dòng)的軌跡。方向不能與直線的延長方向相同。

體：面延某個(gè)方向（或相反方向）無限移動(dòng)的軌跡。方向不能與面的延伸方向相同。

在空間幾個(gè)學(xué)習(xí)中，最基礎(chǔ)的空間圖形都是通過無限移動(dòng)所建構(gòu)起來的，那么可想而知，無限思想在空間幾何之后的應(yīng)用是有多么廣泛。通過這樣的一種呈現(xiàn)方式，很容易在學(xué)生在腦海里面能夠建構(gòu)起一個(gè)完整的一維到二維、二維到三維的立體空間。

（二）無限分割，論證公式

無限思想在平面圖形的面積公式推導(dǎo)中也起到了關(guān)鍵性的作用。例如在教學(xué)平行四邊形面積的時(shí)候，課堂中我們常常會(huì)利用將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，首先我們研究的是兩個(gè)問題，第一為何轉(zhuǎn)化為長方形；第二如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化。第一點(diǎn)學(xué)生很好理解，是因?yàn)殚L方形的面積公式我們已經(jīng)知道了，所以要將未知的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，那么轉(zhuǎn)化的方法，無非就是剪一剪、拼一拼。

這是通過學(xué)生操作，所獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。這是通過表象操作獲得的結(jié)論，其實(shí)從數(shù)學(xué)的角度還能從無限思想入手，讓學(xué)生感知為何平行四邊形的面積公式與長方形的面積公式是一致的。以下面的圖1 這個(gè)平行四邊形為例。

圖1

首先將這個(gè)平行四邊形進(jìn)行分割，分成4個(gè)高為1 的平行四邊形（等底等高），然后分別做高，分割成如圖1 的4 個(gè)長方形與8 個(gè)小三角形。此時(shí)平行四邊形的面積=4 個(gè)長方形的面積+8 個(gè)小三角形的面積。

（這里的4 就相當(dāng)于平行四邊形的高）

然后將這個(gè)平行四邊形再細(xì)分，分成8 個(gè)高為0.5 的平行四邊形（等底等高），然后分別做高，分割成如圖2 的8 個(gè)長方形與16 個(gè)小三角形。這時(shí)候紅色的面積比黃色的面積小。也就是越細(xì)分，長方形面積之和越接近平行四邊形的面積。此時(shí)平行四邊形的面積=8 個(gè)長方形的面積+16 個(gè)小三角形的面積。

圖2

（這里的4 就相當(dāng)于平行四邊形的高）

接著思考：將這個(gè)平行四邊形再進(jìn)行分割，分成16 個(gè)高為0.25 的平行四邊形。此時(shí)的面積又會(huì)如何？再繼續(xù)分無限分割呢？無限分割的情況下如圖4，這時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形的面積就會(huì)無限接近與這無限個(gè)長方形的面積之和。而這些長方形的面積則就能轉(zhuǎn)化為c×4，此時(shí)無限分割，c 無限接近于6，所以在無限分割的情況下，

圖3

圖4

通過這種無限思想的滲透，讓學(xué)生了解感知平行四邊形和長方形之間本質(zhì)的相似，所以它們之間的面積公式才會(huì)是一致的。因?yàn)槠叫兴倪呅尉腿缤S許多多個(gè)細(xì)細(xì)小小的長方形疊加而成。

除了平行四邊形的面積滲透了無限的思想，圓的面積亦是如此。在教學(xué)圓的面積的時(shí)候，學(xué)生通過剪一剪拼一拼的過程去體會(huì)，可以通過將圓分割成幾個(gè)小扇形然后拼成接近長方形的圖案。圖5 中將圓進(jìn)行8 等分，并拼組得到如圖的一個(gè)類似平行四邊形的圖形。接著繼續(xù)細(xì)分。圖6 中將圓進(jìn)行16等分，并拼組得到如何的一個(gè)類似平行四邊形（長方形）的圖形，可以引導(dǎo)學(xué)生思考如果再細(xì)分呢？

圖5

圖6

這時(shí)不僅可以通過操作體會(huì)，更應(yīng)該配合幾何畫板的演示，讓學(xué)生觀察當(dāng)圓分割的扇形越來越多時(shí)，形狀就越來越接近長方形。這里就可以滲透一個(gè)無限分割的思想，通過無限分割得到這些小扇形拼成了的圖形無限接近于長方形。

通過分割和拼組的過程，我們知道了，長方形的寬就是圓的半徑（r），長方形的長就是圓的周長的一半（rπ）。所以圓的面積=長方形的面積=πr2，見下圖。

（三）無限變化，突破難點(diǎn)

在平面圖形面積的學(xué)習(xí)當(dāng)中，會(huì)遇到很多疑惑的問題，比如：學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形面積的時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)疑問：將平行四邊形拉伸成一個(gè)長方形，面積是否變化。就學(xué)生的認(rèn)知水平來說，他們很難理解為什么拉了一下面積會(huì)發(fā)生變化，看不出是大了還是小了，這時(shí)候如果能配合多媒體演示，滲透無限變化的思想，這樣學(xué)生對(duì)于這平行四邊形面積的認(rèn)識(shí)將會(huì)非常深刻、非常全面！

從無限變化的層面進(jìn)行演示，如下:

通過無限的拉伸變化發(fā)現(xiàn)，平行四邊形進(jìn)行拉伸時(shí)，面積是會(huì)發(fā)生變化的。而且當(dāng)通過這種拉伸的比較，能讓學(xué)生感受到面積的一個(gè)變化的過程，并很容易明白當(dāng)平行四邊形拉伸至長方形時(shí)面積最大。

（四）無限逼近，加深辨認(rèn)

在學(xué)習(xí)圓的時(shí)候，往往會(huì)碰到這樣一個(gè)結(jié)論，圓內(nèi)最長的線段是直徑，碰到這個(gè)結(jié)論時(shí)，不管是教師還是學(xué)生似乎都在默認(rèn)，因?yàn)榭雌饋砭褪侵睆介L，那么，如何用數(shù)學(xué)的語言去證明呢？這時(shí)就可以借助無限思想去解釋。

線段a、b、c（且a＜b＜c）是圓里面的任意三條線段。圖7，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，我們可以得到兩條虛線相加大于a，而兩條虛線就是半徑，則兩條虛線之和就相當(dāng)于是直徑的長度，所以就有了d=2r＞a，而圖8、圖9 中線段b、c與直徑比較時(shí)，也能同理得到：d=2r＞b，d=2r＞c。那么，隨著線段越來越接近直徑，直到無限逼近直徑（卻不是直徑），仍然能夠根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊來得到兩條半徑之和大于這條線段，所以得到了結(jié)論：圓內(nèi)最長的線段是直徑。學(xué)生通過這樣的無限逼近的一個(gè)演示加想象，能更加深入理解了這個(gè)結(jié)論為何成立。

圖7

圖8

圖9

無限思想是人類文化寶庫中的瑰寶，也是學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)[3]。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，蘊(yùn)含著豐富的無限思想的素材。而教師在教學(xué)中要時(shí)刻注意挖掘，抓住適當(dāng)時(shí)機(jī)，進(jìn)行這種思想的滲透，為學(xué)生數(shù)學(xué)思想的發(fā)展、數(shù)學(xué)能力的提高提供廣闊的空間，同時(shí)也為他們未來的可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。