Oldroyd-B流體繞拉伸楔形體的非穩(wěn)態(tài)滑移流動(dòng)與傳熱分析*

白 羽，方慧靈，張 艷

（1.北京建筑大學(xué) 理學(xué)院，北京 102616；2.建筑結(jié)構(gòu)與環(huán)境修復(fù)功能材料北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102616）

引 言

在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中，玻璃纖維的拉伸或聚合物的擠出過(guò)程都會(huì)涉及到流體繞楔形體的流動(dòng).當(dāng)聚合物溶液流過(guò)楔形體表面時(shí)，由于流體與楔形體表面之間存在溫差，所以最終流體會(huì)加熱或冷卻到設(shè)定的溫度.Falkner 等[1]首次研究了流體繞楔形體流動(dòng)的邊界層問(wèn)題.Lin 等[2]提出相似求解的方法，討論了在強(qiáng)迫對(duì)流下流體繞楔形體的流動(dòng)與傳熱問(wèn)題.在Lin 等工作的基礎(chǔ)上，Kuo[3]利用微分變換法求解了流體繞楔形體流動(dòng)的邊界層方程.Afify 等[4]考慮了熱源存在下納米磁流體在楔形體上的流動(dòng)，并得到了數(shù)值解.Ashraf 等[5]通過(guò)討論浮升力和熱輻射的影響，進(jìn)一步擴(kuò)展了Afify 等的工作，他們發(fā)現(xiàn)對(duì)流參數(shù)會(huì)促進(jìn)流體的流動(dòng).此外，一些研究還考慮了時(shí)間的影響.Mahdy 等[6]研究了納米流體在浮升力作用下繞多孔楔形體的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng).Kebede 等[7]對(duì)納米流體流過(guò)非穩(wěn)態(tài)拉伸楔形體時(shí)的傳熱和傳質(zhì)進(jìn)行了分析.大多數(shù)研究者通常研究納米流體通過(guò)楔形體的流動(dòng)，而關(guān)于黏彈性流體沿拉伸楔形體的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與傳熱的分析很少.

流體流經(jīng)楔形體表面或平板時(shí)，除壁面的拉伸會(huì)使得流體產(chǎn)生拉伸流動(dòng)和剪切流動(dòng)之外，在一定條件下，由于流體自身的黏性還會(huì)在壁面處出現(xiàn)滑移形式的運(yùn)動(dòng)，即壁面處的速度滑移現(xiàn)象.控制速度滑移現(xiàn)象的產(chǎn)生在實(shí)際工業(yè)中是十分重要的，因此該現(xiàn)象吸引了研究者們的廣泛關(guān)注.朱婧等[8]對(duì)磁流體在具有冪律速度的拉伸板上的滑移流動(dòng)進(jìn)行了討論.Zhu 等[9]研究了在Brown 運(yùn)動(dòng)和熱泳影響下的納米流體的二階滑移流動(dòng).許曉勤等[10]建立了黏性流體在可滲透拉伸板上的二階滑移模型，并分析了該模型中駐點(diǎn)流問(wèn)題.最近，Megahed[11]探索了Maxwell 流體在嵌入多孔介質(zhì)的拉伸板上的滑移流動(dòng).

經(jīng)典的Fourier 定律常常被用來(lái)描述熱傳遞過(guò)程.然而，由于該定律是一個(gè)拋物型能量方程，那么當(dāng)初始擾動(dòng)發(fā)生時(shí)，所考慮的介質(zhì)會(huì)迅速受到影響.因此，為了克服這一缺點(diǎn)，Cattaneo[12]在Fourier 定律中引入了熱松弛時(shí)間，即用來(lái)調(diào)節(jié)和評(píng)估加熱區(qū)傳熱所需的時(shí)間.在Cattaneo 的啟發(fā)下，Christov[13]得到了上隨體Maxwell-Cattaneo 定律.之后，基于Cattaneo-Christov 熱通量模型，Hayat 等[14]討論了非線性表面上的駐點(diǎn)流動(dòng)問(wèn)題.Shehzad 等[15]研究了Oldroyd-B 流體在可滲透拉伸板上的流動(dòng).Zhang 等[16]采用Cattaneo-Christov 熱通量模型，分析了變導(dǎo)熱系數(shù)下的Maxwell-冪律流體的傳熱行為.然而，Cattaneo-Christov 熱通量模型只描述了熱松弛時(shí)間的影響，而忽略了熱延遲時(shí)間的影響.因此，Bai 等[17]提出了松弛-延遲雙擴(kuò)散模型來(lái)研究變導(dǎo)熱系數(shù)的Oldroyd-B 納米流體在拉伸板上的傳熱傳質(zhì)現(xiàn)象.

本文研究了松弛-延遲熱通量模型中，上隨體Oldroyd-B 流體繞非穩(wěn)態(tài)拉伸的楔形體上的滑移流動(dòng)與傳熱問(wèn)題.在傳熱過(guò)程中還同時(shí)考慮了熱輻射和對(duì)流換熱邊界條件的影響.采用相似變換將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為常微分方程組，并用同倫分析法[18]求得了方程的近似解析解.最后，通過(guò)圖形分析了部分參數(shù)對(duì)速度場(chǎng)及溫度場(chǎng)的影響.

1 數(shù)學(xué)模型

考慮Oldroyd-B 流體在楔形體上的非穩(wěn)態(tài)滑移流動(dòng)與傳熱問(wèn)題.如圖1，楔形體表面沿x軸方向延伸，y軸垂直于楔形體表面.流體流動(dòng)是由拉伸速度為Uw=bxm/(1-at)的楔形表面和速度為Ue=dxm/(1-at)的環(huán)境流體所產(chǎn)生的，其中a，b和d是正常數(shù).同時(shí)，m=ω/(2-ω)表示Falkner-Skan 冪律參數(shù)(0≤m≤1)，其中ω 是Hartree壓力梯度，它與楔形體的總夾角Ω有關(guān)，即ω=Ω/π.此外，利用松弛-延遲熱通量模型研究了流體的傳熱現(xiàn)象.

圖1 物理模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the physical model

Oldroyd-B 流體的流動(dòng)控制方程為

其中，u和v分別為x和y方向上的速度分量，t，ν，λ1，λ2，g，βT和T分別表示時(shí)間、流體的運(yùn)動(dòng)黏度系數(shù)、松弛時(shí)間參數(shù)、延遲時(shí)間參數(shù)、重力加速度、體積熱膨脹系數(shù)和流體溫度.

Cattaneo-Christov 熱通量模型為

這里，q是熱通量，λ3為熱松弛時(shí)間參數(shù)，V是速度矢量，k為導(dǎo)熱系數(shù).對(duì)于不可壓縮流體，?·V=0.因此，式(3)可以表示為

然而，式(4)忽略了傳熱過(guò)程中的熱延遲時(shí)間的影響，在Cattaneo-Christov 熱通量模型中引入熱延遲時(shí)間參數(shù)，可得到松弛-延遲熱通量模型[17]：

其中，λ4為熱延遲時(shí)間參數(shù).

流體的溫度控制方程為

這里，α=k/(ρcp)是流體的熱擴(kuò)散率，ρ 為流體的密度，cp為定壓比熱容，qr為輻射熱通量.

經(jīng)過(guò)線性的Rosseland 近似，輻射熱通量定義為

其中，σ*是Stefan-Boltzmann 常數(shù)，k*為平均吸收系數(shù).將T4在T∞處進(jìn)行Taylor 展開(kāi)，可以得到T4=4T∞3T-3T∞4.即

在考慮速度滑移現(xiàn)象和對(duì)流換熱情況下，邊界條件為：當(dāng)y=0 時(shí)，

當(dāng)y→∞時(shí)，

其中，L表示滑移參數(shù)，hf是對(duì)流換熱系數(shù)，楔形體表面的溫度為Tw=T∞+T0Uwxν-1(1-at)-1/2，T∞為環(huán)境流體的溫度.

采用如下的流函數(shù)及相似變量：

將式(11) 代入式(2)、(6)、(8)～(10) 中，得到對(duì)應(yīng)的常微分方程與邊界條件：

當(dāng)η=0 時(shí),

當(dāng)η→∞時(shí),

其中，A為非穩(wěn)態(tài)參數(shù)，β1為松弛時(shí)間參數(shù)，β2為延遲時(shí)間參數(shù)，λ 為對(duì)流參數(shù)，Grx為局部Grashof 數(shù)，Rex為局部Reynold 數(shù)，β3為熱松弛時(shí)間參數(shù)，β4為熱延遲時(shí)間參數(shù)，Rd為熱輻射參數(shù)，Pr為Prandtl 數(shù)，S為駐點(diǎn)參數(shù)，δ 為速度滑移參數(shù)，Nu為Nusselt 數(shù)，

2 同倫分析方法

采用同倫分析方法求解在相應(yīng)的邊界條件(14)和(15)下的常微分方程(12)及(13).首先，初始猜測(cè)解和輔助線性算子分別為

這里

其中

并且輔助線性算子滿足如下關(guān)系：

其中，ai(i=1, 2, ··· , 5)是任意常數(shù).

Ship Functional Efficiency of Multi-Branch Towed Acoustic Array System in Deceleration State

下面構(gòu)造零階形變方程：

相應(yīng)的邊界條件為

非線性算子定義為

這里，q∈[0,1]是嵌入?yún)?shù)，hf和hθ是輔助參數(shù)，Hf(η)與Hθ(η)為輔助函數(shù)，選取Hf(η)=Hθ(η) =e-η.

相應(yīng)的n階形變方程為

其對(duì)應(yīng)的邊界條件可轉(zhuǎn)化為

3 結(jié)果與討論

在同倫分析方法中，輔助參數(shù)的選取對(duì)解析解的收斂性具有重要意義.圖2 和圖3 分別給出了確定輔助參數(shù)hf和hθ的曲線圖，為方便計(jì)算，我們選取hf=1.5,hθ=0.3.從表1 中可以看到，當(dāng)前結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)[4]的結(jié)果具有較好的一致性.此外，默認(rèn)m=0.5,A=0.4,β1=0.1,β2=0.06,S=0.3, λ=0.3, δ=0.4,β3=0.9,β4=0.5,Pr=0.8,Nu=0.4,Rd=0.6，并從物理角度解釋了部分參數(shù)對(duì)速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)的影響.

圖2 hf -f"(0)曲線圖Fig.2 The hf -f"(0) curve

圖3 hθ-θ′(0)曲線圖Fig.3 The hθ-θ′(0) curve

表1 同倫解f"(0)與文獻(xiàn)[4]結(jié)果的比較Table 1 Comparison of the values of f"(0) with the results of ref.[4]

圖4 描述了Falkner-Skan 冪律參數(shù)m對(duì)速度場(chǎng)的影響.當(dāng)m=0 時(shí)，楔體的整個(gè)角度Ω=0，即楔形體表面是水平的.從圖中可以看到，隨著m的增加，流體的流速增加，并且動(dòng)量邊界層的厚度明顯變薄，這是由于m越大，浮升力越大，從而促進(jìn)流體的流動(dòng).圖5 描繪了非穩(wěn)態(tài)參數(shù)A對(duì)速度場(chǎng)的影響.已知A與環(huán)境流體運(yùn)動(dòng)速率d成反比，因此A越大對(duì)應(yīng)的d越小，導(dǎo)致流體的速度減慢.

圖4 不同m 下的速度分布Fig.4 Velocity distributions for different m values

圖5 不同A 下的速度分布Fig.5 Velocity distributions for different A values

圖6 展示了滑移參數(shù)δ 的變化對(duì)速度場(chǎng)的影響.可以看到，當(dāng)δ 增大時(shí)，流體的速度也隨之加快.從物理角度來(lái)說(shuō)，δ 的增大會(huì)使得流體的黏性降低，從而流動(dòng)中的摩擦阻力減小，因此流體的速度變快.圖7 為不同的延遲時(shí)間參數(shù)β2下，速度場(chǎng)的變化情況.延遲時(shí)間是流體中建立剪切應(yīng)力的時(shí)間，當(dāng)延遲時(shí)間增加時(shí)，黏性效應(yīng)變小，從而提高了流動(dòng)速度.

圖6 不同δ 下的速度分布Fig.6 Velocity distributions for different δ values

圖7 不同β2 下的速度分布Fig.7 Velocity distributions for different β2 values

圖8 描繪了對(duì)流參數(shù)λ 的變化對(duì)速度場(chǎng)所產(chǎn)生的影響.對(duì)流參數(shù)越大，產(chǎn)生的浮升力越大，導(dǎo)致流動(dòng)加速，速度增大.圖9 反映了Nu增大時(shí)溫度場(chǎng)的變化趨勢(shì)，這時(shí)，溫度是關(guān)于Nu的增函數(shù).Nu的增大意味著對(duì)流換熱系數(shù)增大，進(jìn)而使楔形體表面的換熱增加，流體被加熱，因此溫度升高.

圖8 不同λ 下的速度分布Fig.8 Velocity distributions for different λ values

圖9 不同Nu 下的溫度分布Fig.9 Temperature distributions for different Nu values

圖10 和圖11 分別表示了變化的熱松弛時(shí)間參數(shù)β3與熱延遲時(shí)間參數(shù)β4對(duì)溫度場(chǎng)所造成的影響.隨著β3的增大，為達(dá)到更多的熱通量，導(dǎo)致從流體到拉伸板的熱傳輸速度加快，因此熱量從流體中散失，即流體的溫度降低.值得注意的是，熱延遲時(shí)間對(duì)溫度的影響恰與熱松弛時(shí)間對(duì)溫度的影響相反.從圖11 中可以看到，當(dāng)β4增大時(shí)，溫度場(chǎng)隨之升高并且熱邊界層的厚度增大.這是因?yàn)闊嵫舆t時(shí)間的增加與較小的熱通量有關(guān)，這種較低的熱通量會(huì)使得溫度升高.

圖10 不同β3 下的溫度分布Fig.10 Temperature distributions for different β3 values

圖11 不同β4 下的溫度分布Fig.11 Temperature distributions for different β4 values

圖12 反映了Pr的變化對(duì)溫度場(chǎng)的影響.增大的Pr對(duì)應(yīng)于較弱的熱擴(kuò)散率，此時(shí)會(huì)造成溫度的減小.因此，Pr值越大，溫度越低.圖13 為熱輻射參數(shù)Rd對(duì)溫度場(chǎng)的影響，當(dāng)熱輻射參數(shù)Rd的值越大時(shí)，流體的溫度越高且熱邊界層的厚度越厚.由于較大的Rd表示以熱輻射的方式向流體供應(yīng)更多的熱量，從而導(dǎo)致流體的溫度增大.

圖12 不同Pr 下的溫度分布Fig.12 Temperature distributions for different Pr values

圖13 不同Rd 下的溫度分布Fig.13 Temperature distributions for different Rd values

4 結(jié) 論

本文從理論上討論了松弛-延遲熱通量模型中，上隨體Oldroyd-B 流體在速度滑移和熱輻射影響下繞楔形體的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與傳熱問(wèn)題.此外，還考慮了浮升力以及對(duì)流換熱邊界條件對(duì)流動(dòng)和傳熱的影響.采用同倫分析法得到相似變換后常微分方程的近似解析解，并從物理的角度分析了部分參數(shù)對(duì)速度場(chǎng)及溫度場(chǎng)的影響.當(dāng)Falkner-Skan 冪律參數(shù)增大時(shí)，即楔形體的楔角變大，此時(shí)產(chǎn)生較強(qiáng)的浮升力會(huì)導(dǎo)致流體的流速變快.隨著滑移參數(shù)的增大，流體的黏性效應(yīng)減弱，進(jìn)而促進(jìn)流體的流動(dòng).此外，增大的熱延遲時(shí)間參數(shù)會(huì)使得流體的溫度升高.

致謝本文作者衷心感謝北京建筑大學(xué)市屬高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目-QN 青年科研創(chuàng)新專項(xiàng)-青年教師科研能力提升計(jì)劃(X21027; X21030; X21031)對(duì)本文的資助.