一類非線性時間分?jǐn)?shù)階擴散方程反問題的變分型正則化*

柳 冕，程 浩，石成鑫

（江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無錫 214122）

引 言

近年來分?jǐn)?shù)階微分方程引起了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、金融和水文等各個學(xué)科的廣泛關(guān)注.相較于整數(shù)階，分?jǐn)?shù)階微分算子具有非局部性，從而能更精準(zhǔn)地模擬實際應(yīng)用中具有記憶和遺傳性質(zhì)的模型.目前分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)在分形理論[1]、隨機游走[2]、高頻金融數(shù)據(jù)[3]、黏彈性[4]和反常擴散[5]等各個領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用.在反常擴散中，由于介質(zhì)的復(fù)雜性如非均勻、各向異性介質(zhì)等使得粒子的隨機運動受到了限制，因而不能簡單地通過均勻介質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計方法來刻畫，而分?jǐn)?shù)階擴散方程則能較為準(zhǔn)確地模擬在異質(zhì)多孔介質(zhì)中表達(dá)反常擴散的真實模型.

分?jǐn)?shù)階擴散方程正問題已經(jīng)獲得了廣泛的研究，包括有限元方法[6]、有限差分?jǐn)?shù)值解法[7-8]以及解的存在唯一性研究[9]等，對于反問題的研究相對較少.很多文獻(xiàn)都考慮過如下時間分?jǐn)?shù)階擴散方程反問題：

Murio[10]通過磨光正則化方法穩(wěn)定求解了階數(shù)γ=1/2時的情形，并給出了相應(yīng)的收斂性分析.Cheng 等[11]利用迭代正則化方法得到了先驗和后驗參數(shù)選取規(guī)則下的誤差估計.Liu 等[12-13]利用修改核方法研究了該問題，并分別給出了先驗和后驗假設(shè)下的收斂性分析.此外，Zheng 等[14]利用譜正則化方法得到了正則近似解與精確解之間的H?lder 型誤差估計；Tuan 等[15-16]通過濾波正則化方法研究了該問題在不同源項的情形，并分別給出了收斂性分析.

上述問題研究的是一維半無限域情形，而在實際應(yīng)用中，粒子擴散過程大多發(fā)生在空間非均勻環(huán)境中，特別是環(huán)境隨著時間或空間位置變化而變化的情況，這就需要在研究的擴散方程中包含時空非均勻平流系數(shù)和非線性反應(yīng)項.對于二維非線性分?jǐn)?shù)階擴散方程反問題的研究結(jié)果還相對較少，本文考慮如下問題：

這里a(·)表示與空間變量x相關(guān)的平流速度，F(xiàn)(x,y,t,u(x,y,t))是非線性源項，Dγt u(x,y,t)表示階數(shù)為γ(0 ＜γ≤1)的Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[17]，定義如下：

本文要研究的反問題是：假如a(x),F(x,y,t,u(x,y,t)), 終值φ(y,t)以及邊界條件已知，來反演u(x,y,t),0≤x＜1的信息.

與一維的問題（1）類似，反問題（2）也是不適定的，這便導(dǎo)致我們無法穩(wěn)定求解該問題，因而需要進(jìn)行正則化方法求解.Vo 等[18]利用Fourier 截斷正則化方法研究了該問題，并給出了誤差估計.本文采用變分型正則化方法來穩(wěn)定求解，將問題（2）轉(zhuǎn)化成算子方程，并給出了三種變分形式.以罰項內(nèi)函數(shù)G(ξ,s)=1為例，得到正則近似解與精確解之間的收斂性分析，并給出了數(shù)值仿真結(jié)果.

本文組織結(jié)構(gòu)如下：第1 節(jié)，給出了一些輔助知識和基本假設(shè)；第2 節(jié)，給出了變分型正則近似解，同時給出了正則近似解的存在性與唯一性結(jié)果，并得到正則近似解與精確解之間的誤差估計；第3 節(jié)，通過數(shù)值算例說明了方法的有效性；第4 節(jié)為本文的結(jié)論.

1 輔助知識

y＜0,t＜0R2

在本文中，我們將所有函數(shù)在時的值設(shè)為0，以此來將其拓展到 .

定義1設(shè)f是Lebesgue 可測函數(shù)，則

設(shè)u(x,·,·)∈L2(R2),x∈[0,1]是一個連續(xù)函數(shù),則

C([0,1];L2(R2))={u(x,·,·):[0,1]→L2(R2)}

是一個有如下范數(shù)的Banach 空間：

f∈L2(R2)

定義2設(shè)，定義如下二維Fourier 變換：

引理1[17]設(shè)f∈L2(R2) ，γ ＞0，則

其中

引理2[19]假設(shè)α是一個正數(shù)且b＞a＞0，那么

在本文中，我們還將對問題（2）中的函數(shù)做如下假設(shè)：

(S1)：假設(shè)?p＞0,q＞0，使得函數(shù)a(x)滿足

(S2)：假設(shè)F是全局Lipschitz 函數(shù)，即對?u,v∈R，?k＞0，使得

(S3)：對于ε ＞0，我們假設(shè)測量數(shù)據(jù)φε∈L2(R2)與精確數(shù)據(jù)φ滿足

‖φε-φ‖≤ε.

2 正則化方法和誤差估計

容易看出非線性積分方程（5）包含了一些不穩(wěn)定項.事實上，函數(shù)ψγ(x,ξ,s)的實部為，由此不難得到

這表明測量數(shù)據(jù)φ(y,t)的任何微小擾動都會導(dǎo)致解u(x,y,t),0≤x＜z＜1發(fā)生巨大變化，表明問題（2）是不適定的，因此需要通過正則化方法來恢復(fù)解的穩(wěn)定性.

首先我們考慮問題（2）的齊次情形（F=0），即

對于固定的x，定義如下算子方程：

其中K:L2(R2)→L2(R2),u(x,y,t)→φ(y,t).

結(jié)合式（6）和算子方程（7）可得

為了穩(wěn)定求解算子方程（7），我們構(gòu)造了一個變分型正則近似解：

它等價于

其中*表示卷積，α是正則化參數(shù)，G(ξ,s)為罰項內(nèi)函數(shù).

此時該方法為指數(shù)型變分正則化[20].

此時該方法為對數(shù)型變分正則化[21].

3） 特別地，當(dāng)罰項內(nèi)函數(shù)G(ξ,s)=1時，不難得到

該方法為Tikhonov 正則化.

以罰項內(nèi)函數(shù)G(ξ,s)=1為例，類似上述求解齊次情形的方法推導(dǎo)問題（2），然而直接通過式（8）的求解過程很難得到正則近似解與精確解之間的誤差估計.于是我們對其改進(jìn)，并定義問題（2）的變分型正則近似解為

這里m＞1是一個常數(shù).

2.1 解的存在唯一性

定理1假設(shè)函數(shù)a(x)與源項F分別滿足假設(shè)(S1)和(S2)，那么積分方程(9)在C([0,1];L2(R2))上存在唯一解uα,ε.

證明對于任意的uα,ε∈C([0,1];L2(R2))，定義映射W:

W(uα,ε)(x,y,t)=uα,ε(x,y,t).

當(dāng)w=1時，由引理2、假設(shè)(S1)和(S2)，則有

假設(shè)當(dāng)w=n時,成立.

則當(dāng)w=n+1時，

成立，從而

2.2 誤差估計

定理2設(shè)u∈C([0,1];L2(R2))是問題（2）的唯一精確解，uα,ε∈C([0,1];L2(R2))是由式（9）給出的正則近似解，假如?E＞0使得同時選取正則化參數(shù)其中m＞1，則可以得到如下誤差估計：

證明由三角不等式，有

‖uα,ε-u‖≤‖uα,ε-uα‖+‖uα-u‖.

首先看第一項.根據(jù)引理2 和Parseval 等式，可以得到

下面我們分別估計G1和G2.

由H?lder 不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)

由此我們可得

根據(jù)Gr?nwall 不等式，易得

所以

下面看三角不等式的第二項：

由此根據(jù)Gr?nwall 不等式，易得

所以

證畢.

3 數(shù)值算例

本節(jié)將通過數(shù)值算例驗證變分型正則化方法對處理二維非線性時間分?jǐn)?shù)階平流擴散方程反問題的有效性.首先給出如下分?jǐn)?shù)階平流方程正問題：

如果

則我們可以得到正問題（10）的解如下：

測量數(shù)據(jù) φε按如下方式得到：

φε(·,·)=φ(·,·)+ε·φ(·,·)·(2rand(size(φ(·,·)))-1),

其中ε反應(yīng)相對誤差水平.為了說明正則近似解的精確性，我們定義在點x0處的相對誤差：

問題（2）的正則近似解由式（9）給出，其中

由于正則近似解帶有非線性項，很難直接計算出正則近似解uα,ε(x,y,t)，采用如下的Picard 型迭代法進(jìn)行計算：

數(shù)值計算中，我們?nèi)∈[0,5],t∈[0,5]，相應(yīng)的離散點數(shù)為M=21,N=21，步長分別為正則化參數(shù)由給出,其中m=2.

在圖1 中，我們分別給出了精確解u和誤差水平分別取ε=1E-1, 1E-2, 1E-3時的正則近似解在x=0處的數(shù)值結(jié)果.在圖2 中，我們固定y=0，比較了在不同x取值下的數(shù)值結(jié)果.在表1 中，我們給出了不同誤差水平下的相對誤差.

從圖1 可以看出，誤差水平ε越大，正則近似解對精確解的逼近效果就越差；從圖2 和表1 可以看出，隨著x的增大，正則近似解的逼近效果也越好，這與理論結(jié)果相符合.

表1 不同誤差水平下的相對誤差ErTable 1 Relative errors corresponding to different error levels

圖1 在x=0時的精確解和不同誤差水平下的正則近似解uα,εFig.1 Exact solution u at x=0 and regularized approximate solution uα,ε curves corresponding to different error levels

圖2 正則化解和精確解在不同x 取值下的比較(y=0)Fig.2 The exact solution and its regularized solution curves corresponding to different x values ( y =0)

4 結(jié) 論

變分正則化方法是求解數(shù)學(xué)物理方程反問題的一種有效方法，其中以經(jīng)典的Tikhonov 正則化為代表.本文考慮了一類非線性時間分?jǐn)?shù)階擴散方程反問題，將不適定問題的求解轉(zhuǎn)化成算子方程，給出三種不同的變分形式，即指數(shù)型變分正則化、對數(shù)型變分正則化和Tikhonov 正則化.以罰項內(nèi)函數(shù)G(ξ,s)=1為例，對得到的正則近似解改進(jìn)，并得到了正則近似解與精確解之間的收斂性分析.數(shù)值實驗部分驗證了所提方法的有效性.此外該方法還可推廣到其他不適定問題，如非線性數(shù)學(xué)物理反問題和高維方程等情形，這有待于進(jìn)一步研究.