具有空變系數(shù)源項的半線性Moore-Gibson-Thompson方程全局解的非存在性*

歐陽柏平

（廣州華商學(xué)院, 廣州 511300）

引 言

本文考慮如下具有空變系數(shù)源項的半線性Moore-Gibson-Thompson(MGT)方程Cauchy 問題解的爆破現(xiàn)象：

其中f(x)=a0〈x〉-α,〈x〉=,a0＞0,0 ＜α ＜2,p＞1,ε ＞0,Δ是Laplace 算子.

MGT 方程可描述物理上黏性熱松弛流體中波的傳播現(xiàn)象，其方程一般形式表示如下：

τuttt+utt-c2Δu-bΔut=0，

其中，u=u(t,x)表示聲學(xué)速度的勢函數(shù)，c為聲速，τ表示松弛系數(shù)，b=βc2表示聲擴(kuò)散率，τ ∈(0,β].如果0 ＜τ ＜β，則其半群的指數(shù)是穩(wěn)定的；但當(dāng)τ=β時，其半群的指數(shù)不具有穩(wěn)定性.基于此，本文考慮τ=β的情況，另外設(shè)c2=1.

近來，有關(guān)半線性MGT 解的性態(tài)研究已有很多成果，詳細(xì)情況請參考文獻(xiàn)[1-10].

首先我們回顧有關(guān)MGT 方程的一些特殊情況.式(1)中，取β=0,α=0,a0=1，則式(1)化為

上式的臨界指數(shù)稱為Strauss 指數(shù)，記為Pstr(n).當(dāng)p＞Pstr(n)時，該方程存在整體解；p≤Pstr(n)時，該方程不存在整體解，此時其解將在有限時間內(nèi)爆破.其中Pstr(n)表示為以下一元二次方程的最大正實根：

當(dāng)n=1時，Pstr(1)=∞.進(jìn)一步地，得到其生命跨度T(ε)的最優(yōu)估計：

其中n≥3.有關(guān)更多的研究成果，請參考相關(guān)文獻(xiàn)[11-16].

王虎生等[16]考慮了如下非線性加權(quán)的二維波動方程的Cauchy 問題：

其中 ε ＞0,f(x),g(x)為具有緊支集的光滑函數(shù)，p＞1.他們運(yùn)用半群理論以及壓縮映射原理等泛函分析方法研究了其經(jīng)典解的生命跨度，同時進(jìn)一步證明了其解的生命跨度的上下界估計.

式(1)中，若α=0,a0=1，則有

Chen 等[17]研究了其解的爆破情況.通過假設(shè)初始數(shù)據(jù)滿足一定的約束條件，分析了次臨界和臨界情況下解的爆破情況，另外證明了這兩種情況下其生命跨度的上界估計.

本文研究了具有空變系數(shù)源項的半線性MGT 方程Cauchy 問題解的爆破現(xiàn)象，討論其中空變系數(shù)對解的生命跨度的影響是本文的目標(biāo).對于二維的波動方程，一般可以考慮用Kato 引理研究其解的爆破情況.然而，對于二維以上的情況，由于MGT 方程帶來的無界乘子，使得Kato 引理并不適用.最近，一些學(xué)者提出了利用迭代方法分析某些高階波動方程解的爆破問題[18-24].

目前，具有空變系數(shù)源項的半線性MGT 方程Cauchy 問題解的爆破現(xiàn)象研究尚未得到展開.其難點主要是尋找合適的測試函數(shù)和能量泛函以及如何解決迭代過程中出現(xiàn)的問題.本文采用構(gòu)造能量泛函和運(yùn)用相關(guān)微分不等式技巧得到了其下界序列，通過迭代證明了在次臨界情況下具有空變系數(shù)源項的半線性MGT 方程解的全局非存在性，同時還進(jìn)一步推出了其生命跨度的上界估計.

本文內(nèi)容安排如下：第1 節(jié)為弱解定義以及本文主要結(jié)果介紹；第2 節(jié)為主要結(jié)果證明；第3 節(jié)為本文的結(jié)論.

1 主要結(jié)果

首先引入問題(1)的Cauchy 問題弱解的定義.

定義1假設(shè)(u0,u1,u2)∈H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)，稱u是問題(1)在[0,T)上的能量解，如果

且如下的積分關(guān)系成立：

其中 ?(t,x)∈C0∞([0,T)×Rn),t∈[0,T).

式(2)中，由分部積分，可推知

令t→T時，可得u滿足問題(1)的弱解定義.

定理1設(shè)1 ＜p,0 ≤α ＜2,

其中p0(n,α)為以下一元二次方程

(n-1)p2-(n+1-2α)p-2=0

的最大正實根，即

設(shè)(u0,u1,u2)∈H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)是非負(fù)的緊致函數(shù)，其支集包含在半徑為R(R＞0)的球BR中，滿足ui(i=0,1,2)不恒為0.若u是Cauchy 問題(1)的解，其生命跨度T(ε)滿足suppu(t,·)?Bt+R,t∈(0,T)，則存在正常數(shù)ε0=ε0(u0,u1,u2,α,n,p,R,β),使得當(dāng)ε ∈(0,ε0]時，u在有限時間內(nèi)爆破，進(jìn)一步其生命跨度的上界估計為

注1考慮極限情況α →0，則定理1 的結(jié)果與經(jīng)典的半線性波動方程在次臨界的爆破結(jié)果相對應(yīng).因此，猜想p0(n,α)或許是模型(1)的臨界指數(shù).

2 主要結(jié)果證明

定義如下泛函：

式(3)中，取? ≡1,{(s,x)∈[0,t]×Rn:|x| ≤R+s}, 有

利用式(5)，式(6)化為

對式(7)求導(dǎo)，得到

由條件支集u(t,·)?Bt+R, ?t∈(0,T)以及H?lder 不等式，可得

其中C0=C0(n,p,R)＞0.

將式(9)代入到式(8)，得到

對式(10)在[0,t]上積分，可得

由上式，有

(1/β)et/β同乘式(11)，并且在[0,t]上積分，整理得到

上式表明，其提供了進(jìn)行迭代的框架.接下來，將對F(t)的下界進(jìn)行迭代.為了得到F(t)的第一個下界，本文利用下面的函數(shù)[24]：

其中Φ(x)為正光滑函數(shù)，其有如下性質(zhì)：

ΔΦ(x)=Φ(x), Φ(x)～|x|-(n-1)/2e|x|, |x|→∞.

設(shè)函數(shù)Ψ =Ψ(t,x)=e-tΦ(x).易得，-βΨttt+Ψtt-ΔΨ+βΔΨt=0.

引入如下泛函F0(t)：

對式(13)，由H?lder 不等式，有

將測試函數(shù)Ψ 應(yīng)用于式(2)，可得

利用分部積分和Ψ 的性質(zhì)，上式可化為

利用F0(t)的定義，有

將式(17)、(18)代入式(16)，得到

其中

取G(t)=F0′(t)+2F0(t),b=1/β, 則有

e(1+b)t[0,t]

利用同乘上式，在上積分，整理有

e2t同乘式(21)兩邊，并且積分，進(jìn)一步整理可得

其中C為正常數(shù).

利用Ψ 的漸近性[21]，有

其中C1=C1(n,p,R)＞0,t≥0.

于是，由H?lder 不等式、式(22)、(23)以及F0(t)的定義，得到

其中C2=CpC1，t≥0.

聯(lián)立式(8)和式(24)，可得

其中=a0C2.

取a1=βF′(0)+F(0),a2=βF′′(0)+F′(0).在[0,t]上對式(25)積分，可推出

對式(26)兩邊同乘(1/β)et/β，并且在[0,t]上積分，進(jìn)一步整理有

接下來的工作是取得一系列F(t)的下界.

設(shè)

其中 {Kj}j∈N,{αj}j∈N,{γj}j∈N均為后面定義的非負(fù)實序列,{Lj}j∈N定義如下：

易知，j=0時，式(28)蘊(yùn)含式(29).假設(shè)式(29)對所有j≥0成立，以下證明對j+1成立.

事實上，由式(12)和式(29)，有

其中

式(30)中的推導(dǎo)過程利用了下面的結(jié)果：

式(31)表明式(29)對j+1成立.

接下來的主要任務(wù)是對αj,γj,Kj進(jìn)行估計.

由式(31)，利用遞推關(guān)系，對αj,γj，有

同時可推得

聯(lián)立式(31)～(33)，有

對式(34)兩邊取對數(shù)，進(jìn)一步遞推，可以推出

取j0=j0(n,p,α)∈N，使得

由此，可得

其中E0=E0(n,p)＞0.

又由式(29)，可推知，當(dāng)j∈R和t≥Lβ時，有

將式(32)和式(36)代入式(37)，得到當(dāng)j≥j0,t≥Lβ時，有

令t≥max{R,3Lβ},式(38)化為

上式右邊項exp函數(shù)中t的指數(shù)為

由0 ＜α ＜2，當(dāng)n=1時，p＞1; 當(dāng)n≥2時，1 ＜p＜p0(n,α).此時指數(shù)函數(shù)中t的指數(shù)為正.

記ε0=ε0(u0,u1,u2,n,p,α,R,β)＞0,使得

式(39)中，令j→∞，則當(dāng)ε ∈(0,ε0]和時，可得F(t)的下界爆破.所以問題(1)不存在全局解.進(jìn)一步可推出其生命跨度的上界估計為

其中為正常數(shù).

定理1 得證.

3 結(jié) 論

本文運(yùn)用泛函分析方法和迭代技巧，研究了一類具有空變系數(shù)源項的半線性MGT 方程解的爆破問題.通過選取恰當(dāng)?shù)哪芰糠汉约皽y試函數(shù)，推出了在次臨界情形下其Cauchy 問題解的爆破以及解的生命跨度的上界估計.在后續(xù)的研究中，將進(jìn)一步考慮運(yùn)用迭代方法分析在臨界情況下其Cauchy 問題解的爆破情況，此時對于測試函數(shù)和能量泛函的選擇會變得更復(fù)雜也最關(guān)鍵.

致謝本文作者衷心感謝廣東財經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院校內(nèi)導(dǎo)師制項目(2020HSDS01)對本文的資助.