用割補(bǔ)法巧解一類幾何題

?陜西省西安市田家炳中學(xué) 馮恒仁

1 割補(bǔ)法的內(nèi)涵

所謂割補(bǔ)法就是把一個(gè)復(fù)雜圖形的長(zhǎng)度、角度、面積或體積的計(jì)算分割成若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形的有關(guān)計(jì)算，或者將一個(gè)不易求出長(zhǎng)度、角度、面積或體積的幾何圖形補(bǔ)形為較易計(jì)算的幾何圖形.例如，把梯形割補(bǔ)成平行四邊形、矩形、直角三角形，把斜三角形割補(bǔ)成直角三角形，把斜棱柱割補(bǔ)成直棱柱，把棱錐補(bǔ)成棱柱(常見的題是將特殊的三棱錐、四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體、正方體)，把多面體切割成錐體，把不規(guī)則的幾何體割補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，從而把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、把不夠直觀的轉(zhuǎn)化為直觀易懂的.

2 割補(bǔ)法在解題中的應(yīng)用舉例

2.1 在平面幾何中的應(yīng)用

例1如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=5，BC=3，CD=1，DA=2，求梯形的面積.

分析：要求梯形的面積，就要求其高，進(jìn)而就要求其一個(gè)內(nèi)角.因此，過一個(gè)頂點(diǎn)作一條腰的平行線，把其分割為平行四邊形和三角形，再作三角形的高，把三角形分割為直角三角形，由正弦函數(shù)的定義求出高.

圖1 圖2

解：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥DA，交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F.

∵DC∥AE，CE∥DA，

∴四邊形AECD是平行四邊形.

∴CE=DA=2，AE=DC=1.

∴BE=AB-AE=4.

點(diǎn)評(píng)：梯形面積計(jì)算問題，輔助線的作法一般有兩種，一是過頂點(diǎn)作高，把梯形分割成直角三角形和矩形，還有一種就是過頂點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形分割為平行四邊形和三角形.本題兩種方法都用到了.

例2如圖3，分別以邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B，C為圓心，1為半徑作圓弧AC，BD交于點(diǎn)E，求曲邊三角形ABE的面積.

分析：連接BE，EC，把曲邊三角形ABE的面積轉(zhuǎn)化為扇形ABE的面積減去弓形BE的面積.

圖3 圖4

點(diǎn)評(píng)：求弓形面積時(shí)，割補(bǔ)法是學(xué)生很容易掌握的一個(gè)典型的技巧.

圖5

(2)方法1：方程(組)法[1].

sinθ=2cosθ.

點(diǎn)評(píng)：充分利用正弦定理、余弦定理，列方程(組)，解方程(組)，屬于常規(guī)解法.雖然運(yùn)算量有些大，但中規(guī)中矩，思路清晰，不難掌握.

方法2：補(bǔ)形法.

圖6

點(diǎn)評(píng)：通過補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為特殊的三角形，雖然還是用正弦定理、余弦定理求解，但與方法1比較，運(yùn)算量較小.

方法3：分割法.

如圖7，過點(diǎn)C作CN⊥AD,垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥CN,垂足為M.

由已知得，四邊形ABMN是矩形.

又MN=AB=1，則CM=1，BM=1.

點(diǎn)評(píng)：與方法2相比，方法3運(yùn)算量更小.

圖7 圖8

方法4：割補(bǔ)法.

如圖8，分別延長(zhǎng)CB,DA,設(shè)CB∩DA=E,過點(diǎn)C作CN⊥AD,垂足為N.

由已知可得△ABE和△NCE都是等腰直角三角形，且AE=AB=1.

點(diǎn)評(píng)：與方法3相比，方法4更簡(jiǎn)潔，只要把題目中的弧度改為角度，初三學(xué)生都可以很快算出結(jié)果.

2.2 在立體幾何中的應(yīng)用

例4已知正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為a，求該正四面體的外接球的表面積和體積.

圖9

分析：如圖9，將正四面體A-BCD補(bǔ)成正方體.則正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為a，正方體的外接球就是正四面體A-BCD的外接球.

解：如圖9，將正四面體A-BCD補(bǔ)成正方體，正方體的外接球就是正四面體A-BCD的外接球.

例5已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值[2].

圖10

解法1：如圖10所示，延長(zhǎng)CB至D，使BD=BC，連接AD，B1D.

∵B1C1∥BD，B1C1=BD，

∴四邊形B1C1BD是平行四邊形.

∴C1B∥B1D.

∴∠AB1D或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角.

在△ABD中，由余弦定理，得

AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=3.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于兩條異面直線所成的角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置.本題是固定一條，平移另一條，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角，再通過解三角形求之，屬于常規(guī)解法.

圖11

解法2：如圖11，將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接AD1，B1D1，BD.

在△ABD中，由余弦定理知

BD2=22+12-2×2×1×cos60°=3.

因?yàn)锳D1∥BC1，所以直線AB1與AD1所成的角即為直線AB1與BC1所成的角.

點(diǎn)評(píng)：將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，異面直線AB1與BC1所成角更容易找到.

3 總結(jié)

巧妙利用割補(bǔ)法求解一些幾何問題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件將原圖形通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形或特殊圖形，從而使問題簡(jiǎn)單化，這一過程也充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.