合理創(chuàng)設(shè)結(jié)構(gòu)不良試題
——以解三角形問題為例

?安徽省績(jī)溪中學(xué) 樊 榮

結(jié)構(gòu)不良試題是新高考數(shù)學(xué)2020年開始出現(xiàn)的一類開放性創(chuàng)新題型，創(chuàng)設(shè)沒有明確的結(jié)構(gòu)或者解決途徑的“另類”數(shù)學(xué)試題，契合現(xiàn)實(shí)生活中的問題形式，具有很好的開放性與創(chuàng)新性.結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)試題，條件或結(jié)論等存在變數(shù)，是否有解也不確定，變化多端，形式各樣.

而解三角形問題，比較吻合結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)試題的基本特征，是考查此類題型的常見形式.通過解三角形知識(shí)的綜合、交匯與應(yīng)用，結(jié)合選擇條件型與探索條件型這兩種比較常見類型來(lái)展示，具有很好的開放性與創(chuàng)新性，能有效考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，對(duì)理解能力、探究能力、創(chuàng)新能力與應(yīng)用意識(shí)等的考查也是積極和深刻的.

1 選擇條件型結(jié)構(gòu)不良試題

(1)求角B；

(2)求△ABC的面積.

分析：(1)從已知三個(gè)條件中選取一個(gè)，若選①，由余弦定理即可得解；若選②，利用正弦定理將相應(yīng)關(guān)系式中的邊化為角，可求得tanB的值，從而得解；若選③，結(jié)合輔助角公式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，從而得以求解；(2)由正弦定理求出a的值，由兩角和的正弦公式求出sinC，再利用三角形的面積公式即可求解.

何良諸回過神兒，說(shuō)：“我走進(jìn)你的辦公室時(shí)，進(jìn)進(jìn)出出還有人，你說(shuō)：‘何良諸同志，來(lái)了?！蹅儌z素昧平生，你怎么認(rèn)識(shí)我？”

點(diǎn)評(píng)：此類解三角形問題中選擇條件型結(jié)構(gòu)不良試題，可以從三角形的角、邊、關(guān)系式等不同情境構(gòu)建相應(yīng)的條件，從給出的多個(gè)條件(一般三個(gè))中選一或選二，結(jié)合其他已知條件來(lái)分析與處理.不同的選擇，破解過程與對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)有時(shí)可能不相同，結(jié)論有時(shí)也不盡相同.

2 探索條件型結(jié)構(gòu)不良試題

解三角形中的探索條件型結(jié)構(gòu)不良試題，屬于題干條件不充分或不完整，需要根據(jù)相應(yīng)的一些條件來(lái)探索原題目中的某些條件，通過邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算等加以補(bǔ)充完整；或者通過補(bǔ)充一些相關(guān)的條件，結(jié)合運(yùn)算與推理，并根據(jù)補(bǔ)充條件的題目進(jìn)行合理探究與分析，形成相應(yīng)的判斷或決策等.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

分析：結(jié)合已知可選的條件，選①時(shí)通過正弦定理、誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式等確定角A的值；選②時(shí)通過正弦定理、余弦定理等，確定角A的值；選③時(shí)通過誘導(dǎo)公式、余弦定理等確定角A的值.在角A確定后，利用三角函數(shù)關(guān)系式的變形以及輔助角公式的應(yīng)用，結(jié)合條件確定三角函數(shù)關(guān)系式的最值問題，進(jìn)而探究關(guān)系式是否成立.

解析：選①，問題中的C不存在.理由如下：

選②，問題中的C不存在.理由如下：

選③，問題中的C不存在.理由如下：

點(diǎn)評(píng)：解三角形問題中探索條件型結(jié)構(gòu)不良試題，根據(jù)題目條件的選擇并結(jié)合已知條件通過探究與判斷來(lái)確定一些相關(guān)結(jié)論的成立性與存在性.破解的關(guān)鍵在于合理化歸與轉(zhuǎn)化，巧妙借助逆向思維等，對(duì)條件與答案之間的相互關(guān)系進(jìn)行合理探究與分析，進(jìn)而得以判斷與決策.

涉及解三角形問題中結(jié)構(gòu)不良試題的命制與創(chuàng)設(shè)，是對(duì)解三角形知識(shí)的進(jìn)一步深入與拓展，也是知識(shí)與思維密切聯(lián)系與交匯的一個(gè)典范.通過解三角形，將三角函數(shù)、平面幾何、不等式等相關(guān)知識(shí)加以融合與交匯，同時(shí)滲透開放性思想與創(chuàng)新性思想，巧妙創(chuàng)設(shè)，創(chuàng)新應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得與記憶轉(zhuǎn)向問題的分析與解決、策略的選擇與應(yīng)用，使數(shù)學(xué)應(yīng)用、創(chuàng)新應(yīng)用在思維層面得以真正地發(fā)酵、發(fā)生.