“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象”教學(xué)設(shè)計(jì)

?云南師范大學(xué) 王 玉 孔德宏

1 教學(xué)分析

1.1 教學(xué)內(nèi)容分析

“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)”選自人教版2019年A版必修一第五章第六節(jié).在上一課時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了筒車建模的過(guò)程，了解了每個(gè)參數(shù)的實(shí)際意義，為了研究更多做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可以通過(guò)研究函數(shù)圖象進(jìn)而研究其函數(shù)的性質(zhì)，因此本節(jié)課重點(diǎn)是研究其函數(shù)的圖象.根據(jù)從具體到抽象的原則，通過(guò)給參數(shù)賦值，從具體函數(shù)的討論開(kāi)始，把從函數(shù)y=sinx的圖象到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過(guò)程分解為：先分別考察參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響，最后再對(duì)函數(shù)進(jìn)行整合考察.教材也借助了具體函數(shù)的變化，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的化歸數(shù)學(xué)思想.

1.2 學(xué)情分析

在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正、余弦函數(shù)的圖象及其相關(guān)性質(zhì)，具備一定的基礎(chǔ)，并且在之前的函數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)基本掌握了一般函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換等比較簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象變換方法，但對(duì)于伸縮變換還是初次明確提出并加以研究.本節(jié)課筆者將結(jié)合信息技術(shù)來(lái)進(jìn)行教學(xué)，從認(rèn)知心理上來(lái)講，學(xué)生對(duì)通過(guò)GeoGebra動(dòng)態(tài)展示函數(shù)圖象是感興趣的.

1.3 教學(xué)目標(biāo)分析

(1)掌握參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響，理解參數(shù)φ，ω，A在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的實(shí)際意義.

(2)通過(guò)利用GeoGebra探索函數(shù)y=sinx到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、探索問(wèn)題的能力以及直觀想象的能力，在此過(guò)程中領(lǐng)會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法，從而達(dá)到從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍.

(3)本節(jié)課通過(guò)信息技術(shù)調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性并滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生樹(shù)立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 結(jié)合軟件，探索新知

問(wèn)題1為了研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)，需要研究函數(shù)的圖象.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與我們所學(xué)的哪個(gè)函數(shù)相似？

問(wèn)題2參數(shù)影響著函數(shù)圖象的變化，如何對(duì)其進(jìn)行研究？

問(wèn)題3你會(huì)先研究哪個(gè)參數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)觀察思考,學(xué)生能夠得出當(dāng)A=1,ω=1,φ=0時(shí)即函數(shù)y=sinx，則函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象可能會(huì)與函數(shù)y=sinx相似，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生能夠提出需要通過(guò)限制變量的方法對(duì)其進(jìn)行研究，先研究y=sin(x+φ)，y=sinωx，y=Asinx,再整合研究y=Asin(ωx+φ).學(xué)生學(xué)過(guò)了圖象的平移變換，因此提出先研究參數(shù)φ.

探究1:探索φ對(duì)y=sin(x+φ)圖象的影響.

圖1

問(wèn)題5你能從數(shù)學(xué)邏輯推理角度進(jìn)行證明嗎？需要證明什么呢？

學(xué)生通過(guò)小組合作得出數(shù)學(xué)證明后的結(jié)論：一般地，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)位置Q所對(duì)應(yīng)的角為φ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y=sin(x+φ)(φ≠0),把正弦曲線上的所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象.

探究2:類比探究分別得出ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響.

類比探究的方法：通過(guò)GeoGebra實(shí)驗(yàn)觀察，從運(yùn)動(dòng)變化角度進(jìn)行理解，再通過(guò)數(shù)學(xué)證明.

設(shè)計(jì)意圖:類比探究是一種重要的數(shù)學(xué)思想和方法.在探究φ的過(guò)程中學(xué)生已經(jīng)掌握基本的研究思路和方法，因此可以采用類比的方法對(duì)ω，A進(jìn)行探究.學(xué)生是課堂的主體，將任務(wù)交給學(xué)生能夠激發(fā)學(xué)生的興趣并且有利于發(fā)展其自主思考、團(tuán)結(jié)協(xié)作和表達(dá)交流的能力.

探究3:整合研究，深化理解.

問(wèn)題6你能總結(jié)從正弦函數(shù)圖象通過(guò)圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖象的過(guò)程與方法嗎？

設(shè)計(jì)意圖:對(duì)函數(shù)進(jìn)行整合研究，可以培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)能力和思維能力；同時(shí)，讓學(xué)生理解只要將函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)研究清楚，就能夠把握這類事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

2.2 空出留白，深度學(xué)習(xí)

在研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時(shí)，為了方便進(jìn)行研究選取的是A>0,ω>0，那么這兩個(gè)參數(shù)只能取A>0,ω>0嗎？如果取A<0,ω<0時(shí)圖象會(huì)如何？

在最后進(jìn)行整合時(shí)是通過(guò)變化φ，ω，A這樣的順序?qū)⒄仪€變化為函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，那如果不按照這樣的變化順序呢？例如通過(guò)變化ω，φ，A這樣的順序會(huì)是怎樣的情況呢？

設(shè)計(jì)意圖:這兩個(gè)問(wèn)題留給學(xué)生課后進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；同時(shí)，讓學(xué)生明白函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的參數(shù)可以取任意實(shí)數(shù)，只是在現(xiàn)實(shí)世界中大多數(shù)事物都是在A>0,ω>0的取值范圍內(nèi).

3 教學(xué)反思

本節(jié)課的研究思路：利用GeoGebra研究函數(shù)的圖象，通過(guò)“形”觀察、“運(yùn)動(dòng)變化”解釋、“數(shù)學(xué)”證明對(duì)參數(shù)如何影響函數(shù)圖象進(jìn)行探究.在此過(guò)程中，利用軟件GeoGebra進(jìn)行實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生能夠更加直觀地進(jìn)行觀察，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力；利用類比探究ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響，有助于培養(yǎng)學(xué)生的類比思想、團(tuán)結(jié)協(xié)作能力和溝通表達(dá)交流的能力.