探究圓中常用的輔助線

?浙江省湖州市潯溪中學 翟小英

1 引言

在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當?shù)妮o助線,架起題設和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決.因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法,對提高學生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的.本文我們就圓中添加輔助線的方法給大家提供一些小技巧.

2 見弦作弦心距

有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時還需作出相應的半徑)，通過垂徑定理來溝通題設與結(jié)論之間的關(guān)系.

圖1

例1一條排水管的截面如圖1所示.已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16.求截面圓心O到水面的距離.

分析：線段AB是圓中的一條弦，OB是圓的半徑，求圓心O到水面的距離，實質(zhì)上就是求圓心到弦AB的弦心距OC的長度，可利用勾股定理求解.

解：由圖可知，OC2=OB2-BC2，則

=6.

例2同心圓O中，大圓的弦AB與小圓交于C，D兩點，判斷線段AC與BD的大小關(guān)系，并說明理由.

解：AC與BD相等.

理由如下：

圖2

如圖2，過點O作OE⊥AB于點E，則

AE=BE，CE=DE.

所以AE-CE=BE-DE，即AC=BD.

點評：(1)作弦心距和半徑是圓中常見的輔助線；

(2)半徑(r)、半弦、弦心距(d)組成的直角三角形是研究與圓有關(guān)問題的主要思路.

3 見直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用“直徑所對的圓周角是直角”這一特征來解決問題.

圖3

例3如圖3，⊙O的直徑AB=10 cm，C為⊙O上一點，∠B= 30°，求AC的長.

解：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.

∴AC=ABsin∠ABC

=10×sin 30°

∴AC的長為5 cm.

圖4

例4如圖4，已知AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°.

(1)求∠EBC的度數(shù)；

(2)求證：BD=CD.

解:(1)∵AB=AC,

∴∠ABC=∠C.

又∵∠BAC= 45°，

∴ ∠C=∠ABC

= 67.5°.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB= 90°.

∴∠ABE=∠A= 45°.

∴∠EBC=∠ABC-∠ABE

圖5

= 67.5°- 45°

= 22.5°.

(2)證明：如圖5連接AD.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.

∵AB=AC，

∴BD=CD.

圖6

例5如圖6，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，則∠BCD等于( ).

A.116° B.32°

C.58° D.64°

解:∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°(直徑所對的圓周角是90°).

又∵∠ABD=58°，

∴∠BAD=32°.

∴∠BCD=32°(同弧所對的圓周角相等).

故選答案：B.

4 見切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連接過切點的半徑，利用“切線與半徑垂直”這一性質(zhì)來解決問題.

圖7

例6已知P是⊙O外一點，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B.

求證:PA=PB.

證明:如圖7，連接AO，BO，PO.

∵PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，

∴AO⊥PA，BO⊥PB.

又∵AO=BO，PO=PO，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP.

∴PA=PB.

點評：(1)由切線長定理既可以得到線段相等，又可以得到角相等，運用時要根據(jù)題意選用.

圖8

(2)圖8是切線長定理的一個基本圖形，由此可以直接得到很多結(jié)論.如:

①PO⊥AB；

②AO⊥AP，BO⊥BP；

③AP=BP；

④∠1=∠2=∠3=∠4；

⑤AD=BD.

圖9

A.30° B. 30.5°

C.32° D. 32.5°

圖10

解:如圖10，連接OA，OB.由切線長定理，得PB=PA.

∵PO=PO，OB=OA，

∴Rt△POB≌Rt△POA(SSS),

∴∠AOC=∠BOC.

由四邊形的內(nèi)角和定理，得∠AOB=122°.

∴∠AOC= ∠BOC=61°.

故選答案：B.

點評：在解決有關(guān)圓的切線長問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形，添加輔助線.

5 總結(jié)

圓是初中階段數(shù)學學習中最重要的幾何圖形之一，一般根據(jù)題設和結(jié)論我們都需要添加一條或者幾條輔助線，為解題打開方便之門.本文中講述的三種添加輔助線的方法，希望對大家的學習有所幫助.