網(wǎng)格與圓作圖新題

?天津南開日新學(xué)校 耳 潔 張樹義

在近幾年的各地考試中有一種與網(wǎng)格和圓有關(guān)的作圖題，這類題綜合性強(qiáng)，層次高，能很好考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.這類題常以壓軸題出現(xiàn)，由于題型新，因此可參考的題目并不多.筆者新編了一些網(wǎng)格與圓相結(jié)合的作圖題，給出題目的分析、解答和涉及的知識(shí)點(diǎn)，供大家教學(xué)時(shí)參考，不妥之處，懇請(qǐng)大家指正.

1 網(wǎng)格面積問題

“網(wǎng)格面積”類作圖問題可涉及：作一個(gè)圖形，其面積等于已知數(shù)值;作面積最大、最小的圖形;把一個(gè)圖形分成有一定要求的兩部分；等等.

圖1

分析：不難算出△ABC的面積為5，可知△ABP的面積是△ABC面積的一半，則考慮作△ABC的中位線與圓交于點(diǎn)P.

解：如圖2，取格點(diǎn)D，E，連接DE交網(wǎng)格線于點(diǎn)F.取格點(diǎn)G，連接FG交AC于點(diǎn)H.設(shè)BC與網(wǎng)格線交于點(diǎn)M，作射線HM與圓交于點(diǎn)P，連接AP，BP，則點(diǎn)P即為所求.

圖2

涉及知識(shí)點(diǎn)： ①三角形中位線性質(zhì); ②平行線間的距離 ; ③網(wǎng)格作圖基本動(dòng)作——比例分線段.

圖3

解：如圖4，取格點(diǎn)C，D，連接CD交AB于點(diǎn)E.取格點(diǎn)F，G，H，N，連接FG，HN，兩線段相交于點(diǎn)M.連接EM與圓交于點(diǎn)P，連接AP，BP，則點(diǎn)P即為所求.

圖4

涉及知識(shí)點(diǎn)：①垂徑定理的推理; ②網(wǎng)格作圖基本動(dòng)作——比例分線段; ③網(wǎng)格作圖基本動(dòng)作——畫已知線段的垂線.

2 網(wǎng)格角度問題

“網(wǎng)格角度”類作圖問題可涉及：作一個(gè)角等于適當(dāng)角度;平分已知角;作一個(gè)角等于一個(gè)角的幾倍;平分弧；弧的倍分；等等.

圖5

分析：如圖6，延長(zhǎng)線段AB至格點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BA至格點(diǎn)F，則∠FAC=45°，故∠CAB=135°.所以作∠EAM=∠MAN=∠NAC=45°即可.

圖6

解：如圖6，取格點(diǎn)G，連接AG并延長(zhǎng)交圓弧于點(diǎn)M.取格點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)交圓弧于點(diǎn)N.點(diǎn)M，N即為所求.

涉及知識(shí)點(diǎn)： ①圓周角定理的推論;②等腰直角三角形的判定與性質(zhì);③網(wǎng)格作圖基本動(dòng)作——畫指定大小的角或作角的平分線.

3 網(wǎng)格線段問題

“網(wǎng)格線段”類作圖問題可涉及：作兩條線段相等；找圓心；作切線；將軍飲馬問題；胡不歸問題；阿氏圓問題；作最長(zhǎng)、最短的線段；等等.

圖7

解：如圖8，取格點(diǎn)H，G，連接GH交AB于點(diǎn)M.取格點(diǎn)N，連接NH交AC于點(diǎn)F，連接MF交AD于點(diǎn)E.點(diǎn)E，F(xiàn)即為所求.

圖8

涉及知識(shí)點(diǎn)：①圓周角定理的推論；②全等三角形的判定與性質(zhì)；③最短路徑問題，即垂線段最短；④網(wǎng)格作圖基本動(dòng)作——比例分線段；⑤網(wǎng)格作圖基本動(dòng)作——畫已知線的垂線(或平行線).

圖9

解：如圖10，取格點(diǎn)D，連接CD交網(wǎng)格線于點(diǎn)E.連接AE交半圓于點(diǎn)F.連接BF交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.

圖10

涉及知識(shí)點(diǎn)：①最值，即胡不歸問題;②相似三角形的判定和性質(zhì);③網(wǎng)格作圖基本動(dòng)作——畫已知線的垂線(構(gòu)造等腰直角三角形);④網(wǎng)格作圖基本動(dòng)作——比例分線段.

例6如圖11,將△ABC放在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均落在格點(diǎn)上，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為2，點(diǎn)Q是線段BP的中點(diǎn)，連接線段CQ，當(dāng)線段CQ最小時(shí)，在圖中用無刻度的直尺畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q，并簡(jiǎn)要說明畫法.

圖11

解：如圖12，取格點(diǎn)D，連接AD.取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交AD于點(diǎn)P.連接BP，取格點(diǎn)K,連接CK交BP于點(diǎn)Q.點(diǎn)P，Q即為所求.

圖12

涉及知識(shí)點(diǎn)：①最值，即隱圓問題；②三角形中位線性質(zhì)；③網(wǎng)格作圖基本動(dòng)作——比例分線段.

4 作圖思路總結(jié)

結(jié)合以上六個(gè)例題，匯總常見作圖的思路:

(1)通過圓周角90°確定直徑；

(2)通過兩直徑確定圓心；

(3)通過等弧所對(duì)圓周角相等確定角平分線；

(4)通過直徑確定圓周角90°(即兩直線垂直關(guān)系)；

(5)通過隱圓確定動(dòng)線段的最短、最長(zhǎng)線段.

5 結(jié)束語(yǔ)

網(wǎng)格作圖問題承載著幾何直觀能力、邏輯推理與合情推理能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等學(xué)科核心素養(yǎng)的落地體現(xiàn)，同時(shí)，蘊(yùn)涵著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想，是中考命題的熱點(diǎn)之一.以往網(wǎng)格作圖問題通常依托于全等、相似、線與線的相對(duì)位置、三角形或四邊形的基本性質(zhì)，讓學(xué)生利用網(wǎng)格作垂直、平行，構(gòu)造相似與全等，將線段n等分[1].而今試題增加了圓這一背景后，增加了知識(shí)的綜合性，使試題更靈活，借助圓心、半徑、直徑、圓心角、圓周角、切線等的基本性質(zhì)，作圖更便捷，思維更廣闊，既能考查學(xué)生綜合解決問題的能力，又能呈現(xiàn)出更加美觀的作圖效果.利用網(wǎng)格與圓相關(guān)性質(zhì)的結(jié)合還可以解決更多幾何變換中旋轉(zhuǎn)、翻折等典型問題.