初中數(shù)學(xué)主題化跨單元教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“三角形”的教學(xué)為例

?南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校 劉春桃

1 問題的提出

推行“雙減”政策，要建立高質(zhì)量的教育體系，提升教育教學(xué)質(zhì)量，充分發(fā)揮課堂主渠道的作用，實(shí)現(xiàn)課堂的“減負(fù)增效”.隨著新課標(biāo)的頒布和教改的不斷深入，單元式教學(xué)、項(xiàng)目式教學(xué)、跨學(xué)科式教學(xué)等新的教學(xué)模式應(yīng)運(yùn)而生，在“雙減”背景下，重新審視這些教學(xué)模式，單元式教學(xué)是實(shí)現(xiàn)課堂提質(zhì)增效的最佳途徑[1]，且易為大多數(shù)教師所接受和實(shí)施，但這種教學(xué)模式在具體實(shí)踐過程中仍然存在斷層式或零散式現(xiàn)象，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)依然處于碎片化、淺層次狀態(tài).事實(shí)上，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在橫向或縱向的聯(lián)系，為了幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，厘清知識(shí)之間的聯(lián)系，提出主題化跨單元教學(xué)模式，在堅(jiān)持“學(xué)生立場(chǎng)、單元視角、有機(jī)整合、高度拓展”基本原則的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行跨單元整合與拓展，打通“隔斷墻”，抓住核心素養(yǎng)，給與學(xué)生真實(shí)的“學(xué)習(xí)力”“生長點(diǎn)”，更能揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，突出知識(shí)的系統(tǒng)性和教學(xué)的整體性、階段性和連續(xù)性，可以有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體構(gòu)建和核心素養(yǎng)的培養(yǎng).本文中以“三角形”這一主題為例，具體探討主題化跨單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施策略.

2 教材分析

課堂教學(xué)的主要依據(jù)是教材.教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和組織教學(xué)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)反復(fù)研讀和深挖教材，厘清知識(shí)之間的聯(lián)系，這樣才能明確教學(xué)的重難點(diǎn)和目標(biāo)，才能設(shè)計(jì)出切實(shí)可行的教學(xué)方案[2].

“三角形”主題化跨單元教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，首先需要教師充分挖掘不同單元、不同學(xué)段的相關(guān)內(nèi)容(如表1)，并在明晰前后知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)行系統(tǒng)化、整體化的思考與重構(gòu)，形成跨單元教學(xué)思路.

表1 蘇科版初中數(shù)學(xué)“三角形”相關(guān)內(nèi)容分布

“三角形”是整個(gè)初中階段數(shù)學(xué)學(xué)科的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在蘇科版教材中，關(guān)于“三角形”這一主題知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，主要表現(xiàn)在研究?jī)?nèi)容和研究方法兩個(gè)方面.

從研究?jī)?nèi)容上看，涵蓋三角形的確定、全等三角形的判定、相似三角形的判定和解三角形.其中，以三邊、三角的關(guān)系確定一個(gè)三角形是研究基礎(chǔ)，同時(shí)也是判定全等三角形的前提；而相似三角形則是全等三角形的進(jìn)一步拓展和升華，全等三角形一定是相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形.而銳角三角函數(shù)則是建立在直角三角形中邊角之間關(guān)系的前提下，從代數(shù)的角度去分析三角形的特征.

從研究方法上看，全等三角形的判定和相似三角形的判定，都是從定性的角度去研究三角形的性質(zhì)和特點(diǎn).其中，全等三角形的判定定理是相似三角形判定的加強(qiáng)，而相似三角形的判定定理則是全等三角形的弱化.銳角三角函數(shù)則是從定量的角度去探究三角形的三條邊和三個(gè)角之間的關(guān)系.

3 數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)

主題化跨單元設(shè)計(jì)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)核心是整體化和關(guān)聯(lián)化，要以同一主題將不同單元的內(nèi)容有機(jī)串聯(lián)起來，通過對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整合和螺旋式思維的培育[3]，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，從而有效解決前后斷層、重復(fù)、缺乏新舊知識(shí)銜接等諸多問題.基于教材分析，筆者構(gòu)建了“三角形”主題跨單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖(如圖1)，并按照知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和學(xué)生認(rèn)識(shí)水平，有序開展課堂教學(xué)活動(dòng).

圖1 三角形主題跨單元教學(xué)結(jié)構(gòu)內(nèi)容圖

3.1 畫三角形，引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)三角形

“認(rèn)識(shí)三角形”是學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的第一個(gè)單元，本單元教學(xué)的重難點(diǎn)是三角形的概念、分類、三邊關(guān)系及如何畫出滿足條件的三角形.為此，在這一環(huán)節(jié)，筆者以問題串的形式設(shè)計(jì)了“畫三角形”的探究性活動(dòng)，將教學(xué)重難點(diǎn)融入其中，讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦的過程中突破知識(shí)難點(diǎn).

問題1確定一個(gè)三角形需要幾個(gè)元素？

問題2給定兩個(gè)元素可以畫出符合條件的三角形嗎？

問題3給定三個(gè)元素能否畫出唯一確定的三角形？

問題4在不畫圖的前提下，若給定四個(gè)及以上元素能夠確定符合條件的三角形嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題串引導(dǎo)學(xué)生深入探究確定三角形所需的條件，明確在不同分類情況下的不同條件，在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三角形三邊與三角認(rèn)知的同時(shí)，也為接下來的全等三角形和相似三角形的判定奠定基礎(chǔ).

3.2 小組合作，探究三角形全等的判定條件

三角形全等的判定，在初中三角形主題的學(xué)習(xí)中起著承前啟后的作用，是相似三角形判定的重要依據(jù).在主題化跨單元教學(xué)過程中，筆者繼續(xù)以問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生開展小組探究活動(dòng)，深入學(xué)習(xí)三角形的特性.

問題5在分別給出1～4個(gè)及以上元素的情況下，哪種情況能夠構(gòu)造出兩個(gè)大小與形狀完全一樣的三角形？

問題6能否結(jié)合圖形特征，嘗試給出全等三角形的定義與性質(zhì)？

問題7你是如何判定兩個(gè)三角形全等的？有什么依據(jù)？

問題8如何尋找全等三角形及判定三角形全等的條件？

探究過程：在課前小測(cè)鞏固舊知的基礎(chǔ)上，以動(dòng)手操作的活動(dòng)形式，讓學(xué)生嘗試構(gòu)建兩個(gè)大小且形狀相同的三角形，找出其中相等的邊和相等的角度，并思考如何判定兩個(gè)三角形全等.小組首先借助一副三角板合作探究給定1個(gè)元素(一條邊、一個(gè)角)和2個(gè)元素(兩邊、一邊一角、兩角)的情況，學(xué)生經(jīng)歷操作、歸納得出1個(gè)元素、2個(gè)元素不能判斷兩個(gè)三角形全等的結(jié)論；繼續(xù)探索給定3個(gè)元素(三邊、兩邊一角、一邊兩角、三角)的情況，學(xué)生發(fā)現(xiàn)給出三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊或兩角及其中一角的對(duì)邊，可以得出兩個(gè)三角形全等的結(jié)論.學(xué)生交流討論后，教師再利用圖形及動(dòng)畫進(jìn)行展示，讓學(xué)生有更直觀的感受，最后師生共同歸納總結(jié)全等三角形的四種判定方法.

點(diǎn)評(píng)：提出問題時(shí)條件由少到多、由簡(jiǎn)到繁，一步步深入、引導(dǎo)，通過一系列的活動(dòng)最終得出三角形全等的條件.學(xué)生在合作探究中，提高了動(dòng)手操作能力，有效突破了學(xué)習(xí)難點(diǎn)，并在小組合作中互幫互助，實(shí)現(xiàn)了資源的優(yōu)質(zhì)與均衡.

3.3 類比遷移，探究三角形相似的判定條件

從知識(shí)的橫向聯(lián)系來看，全等三角形是相似三角形的一種特殊情況，相似三角形則是全等三角形判定條件弱化后的進(jìn)一步探究，二者之間有著極強(qiáng)的相似性.因此，筆者依然采取小組自主探究的方式，通過巧設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生類比遷移尋找全等三角形判定條件的方法和思路，深入挖掘判定三角形相似的條件.

問題9閱讀教材，思考相似三角形與全等三角形之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？

問題10猜一猜相似三角形的判定方法與全等三角形的判定方法是否會(huì)有聯(lián)系？

問題11 能否類比全等三角形判定的研究過程，探究相似三角形的判定條件？

問題12當(dāng)兩個(gè)直角形相似時(shí)，它們的邊與角之間存在什么樣的關(guān)系？是否可以用邊之間的關(guān)系來描述直角三角形中銳角的大小？

設(shè)計(jì)意圖：在全等三角形的判定的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)體驗(yàn)了畫三角形和用疊合法描述角相等、線段相等的過程，這為學(xué)生探究相似三角形提供了思路與方法.學(xué)生通過類比遷移，思考從全等三角形到相似三角形，哪些量不變？哪些量發(fā)生了變化？在變與不變中，學(xué)生運(yùn)用相似的定義及預(yù)備定理，依照全等三角形判定的四種情形，逐一對(duì)相似三角形的判定條件進(jìn)行探討，并得出結(jié)論.同時(shí)，借助問題12，構(gòu)架了從相似三角形到銳角三角比概念的形成過程，實(shí)現(xiàn)了從“定性”向“定量”研究的過渡.

3.4 從特殊到一般，探究解三角形的方法

通過對(duì)教材的分析，我們發(fā)現(xiàn)全等三角形和相似三角形的學(xué)習(xí)，都是為解三角形作鋪墊，是用代數(shù)方法從量的角度對(duì)三角形的特征進(jìn)行研究.

教學(xué)中，首先利用校園中的不可測(cè)量問題，引導(dǎo)學(xué)生從全等三角形、相似三角形等多角度思考解決問題的方法，即如何將“不可測(cè)量”問題轉(zhuǎn)化為“可測(cè)量”問題，揭示相似三角形與銳角三角比之間的密切聯(lián)系.沿著古人的足跡，師生共同探究、發(fā)現(xiàn)：在直角三角形中，當(dāng)銳角固定時(shí)，銳角的對(duì)邊與鄰邊之比是定值；當(dāng)銳角變化時(shí)，角的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之發(fā)生變化.這樣滲透了函數(shù)思想，揭示銳角三角比是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，滲透從一般到特殊、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.緊接著引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)確定三角形的條件，結(jié)合全等三角形判定，探究給定什么條件時(shí)，可以求解三角形的其他元素？如何求解非直角三角形？從學(xué)科角度來看，解三角形問題面對(duì)的是一個(gè)幾何對(duì)象，所以，在此過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形兩個(gè)角度去理解，做到數(shù)形的自然融合，體會(huì)幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的重點(diǎn)是需要引導(dǎo)學(xué)生從特殊走向一般，得出解任意三角形的方法.

4 結(jié)論

總之，課堂上主題化跨單元教學(xué)活動(dòng)的組織和開展，對(duì)優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、發(fā)揮學(xué)科育人功能、提高學(xué)生知識(shí)整合能力等方面有著突出的作用.對(duì)于教師而言，能夠促進(jìn)其吃透教材、數(shù)學(xué)理論，明確各個(gè)單元之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而在數(shù)學(xué)課堂上做到游刃有余；對(duì)于學(xué)生而言，主題化跨單元教學(xué)設(shè)計(jì)，能將不同單元內(nèi)容合成一個(gè)整體，有利于促進(jìn)他們對(duì)知識(shí)的整體構(gòu)建，觸發(fā)探究靈感，強(qiáng)化感知能力和綜合學(xué)習(xí)能力，高效實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的目標(biāo).