盧業(yè)照：指向高中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

盧業(yè)照

摘要：落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的主陣地是課堂。就數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展來看，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)既要符合“立德樹人”的教育目標(biāo)，更要以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。為實(shí)現(xiàn)以人為本的教育教學(xué)目標(biāo)，課堂教學(xué)需整體把握教學(xué)內(nèi)容，聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)，把握數(shù)學(xué)學(xué)科體系與關(guān)鍵教學(xué)內(nèi)容，實(shí)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)。特別是概念教學(xué)，需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，向?qū)W生提供經(jīng)過設(shè)計(jì)的、具有教學(xué)意圖的結(jié)構(gòu)化教學(xué)材料。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)合作探究類比猜想抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)來源于生活，抽象的原型來源于生活。數(shù)學(xué)抽象是指抽取出同類數(shù)學(xué)對(duì)象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍去個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程，是建構(gòu)概念的必要手段。研究對(duì)象的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系和圖象與圖象關(guān)系，從具象的因素中得到抽象的本質(zhì)，這是我們得出數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生都是“去粗取精”進(jìn)行本質(zhì)提煉的結(jié)果。在具體實(shí)踐中，尤其是課堂教學(xué)中，枚舉典型事例和相關(guān)的問題情境，利用合作探究的教學(xué)方式，理解事物的本質(zhì)、形成概念，從而發(fā)展學(xué)生的抽象思維，促進(jìn)學(xué)生抽象能力與意識(shí)的提升，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)。

我在教學(xué)“任意角的三角函數(shù)”時(shí)，以問題為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，以合作探究為手段，以形成概念為載體，以發(fā)展抽象思維為目標(biāo)。利用概念教學(xué)促進(jìn)學(xué)生的合作探究學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)了探究學(xué)習(xí)與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)和理解緊密結(jié)合在一起的規(guī)律，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（一）問題導(dǎo)學(xué)：溫故知新，設(shè)置情境

1.銳角三角函數(shù)是怎樣定義的？

通過引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的銳角函數(shù)的定義，遵循學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，引出任意角三角函數(shù)的定義。

2.任意角的三角函數(shù)如何定義？如何利用銳角三角函數(shù)的定義構(gòu)造直角三角形？任意角的三角函數(shù)的定義的本質(zhì)是什么？

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)得到象限角、軸線角和終邊相同的角的概念的過程，從而引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣由銳角三角函數(shù)的概念類比推廣到任意角的三角函數(shù)的概念。

任意角的三角函數(shù)的概念與銳角三角函數(shù)的概念對(duì)學(xué)生認(rèn)知產(chǎn)生巨大沖擊，會(huì)引起學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，促進(jìn)學(xué)生深度思考。

3.若已知sin30°=1/2，如何求sin150°，sin210°的值？

由特殊到一般，會(huì)激發(fā)學(xué)生的求知欲望，學(xué)生會(huì)猜想：sin150°=1/2，sin210°=-1/2。

學(xué)生會(huì)進(jìn)一步猜想任意角的三角函數(shù)的定義與角的終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)。

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，學(xué)生會(huì)列出這幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)，會(huì)自然地猜想角的終邊在不同的位置有沒有統(tǒng)一的三角函數(shù)表達(dá)式。這為在直角坐標(biāo)系內(nèi)探索任意角的三角函數(shù)做了鋪墊。問題的設(shè)置貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，會(huì)更快地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與研究的動(dòng)力。

（二）自主學(xué)習(xí)：主動(dòng)探究，構(gòu)建新知

由此進(jìn)一步得到，終邊在x軸正半軸上，終邊在x軸負(fù)半軸上，終邊在y軸正半軸上，終邊在y軸負(fù)半軸上，雖然正弦和正切的值都很特殊，但是符合三角函數(shù)的定義。終邊在y軸正半軸上，余弦和余切的值為0，正弦值為1，正切無意義;終邊在y軸負(fù)半軸上，余弦和余切的值為0，正弦值為-1，正切無意義。

設(shè)計(jì)意圖：教師通過6個(gè)層層遞進(jìn)的問題，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，經(jīng)歷由一般到特殊再到一般的思維過程，建構(gòu)任意角的三角函數(shù)的定義，完善概念體系，從而將學(xué)生的思維引向自主學(xué)習(xí)、自主探索的“再創(chuàng)造”過程中，發(fā)展學(xué)生的抽象核心素養(yǎng)。

（三）合作探究：深化理解，生成概念

圖2探究7：根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，y=sinα是函數(shù)嗎？能否通過取適當(dāng)點(diǎn)將三角函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)化？簡(jiǎn)化后的結(jié)果是什么？

再結(jié)合函數(shù)的一般性定義，理解任意角的三角函數(shù)的定義：y=sinα是函數(shù)，任意一個(gè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P（x，y）是唯一確定的;任意一個(gè)角α在求正弦的對(duì)應(yīng)關(guān)系作用下，都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)。正弦函數(shù)y=sinα的定義域?yàn)镽，值域是[-1，1]。進(jìn)而建構(gòu)任意角的三角函數(shù)的正弦函數(shù)一般性定義：y=sinx，x∈R。

探究8：能否通過類比得到其他三種三角函數(shù)也是函數(shù)？

y=cosα是函數(shù)，任意一個(gè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P（x，y）是唯一確定的;任意一個(gè)角α在求余弦的對(duì)應(yīng)關(guān)系作用下，都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)。正弦函數(shù)y=cosα的定義域?yàn)镽，值域是[-1，1]。

一般性定義，余弦函數(shù)：y=cosx，x∈R。

y/x=tanα是函數(shù)，任意一個(gè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P（x，y）是唯一確定的;任意一個(gè)角α在求正切的對(duì)應(yīng)關(guān)系作用下，都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)y/x與之對(duì)應(yīng)。正弦函數(shù)y/x=tanα的定義域?yàn)閧α∈R|α≠π2+kπ}（k∈Z），值域是（-∞，+∞）。

一般性定義，余弦函數(shù)：y=tanx，x≠π/2+kπ（k∈Z）。

x/y=cotα是函數(shù)，任意一個(gè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P（x，y）是唯一確定的;任意一個(gè)角α在求余切的對(duì)應(yīng)關(guān)系作用下，都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)xy與之對(duì)應(yīng)。正弦函數(shù)x/y=cotα的定義域?yàn)閧α∈R|α≠kπ}（k∈Z），值域是（-∞，+∞）。

一般性定義，余切函數(shù)：y=cotx，x≠kπ（k∈Z）。

此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納四種任意角的三角函數(shù)的統(tǒng)一定義：正弦、余弦、正切、余切函數(shù)都是以角為自變量，以角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)，是四種函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生類比函數(shù)定義理解正弦、余弦、正切、余切函數(shù);引導(dǎo)學(xué)生理解變量字母的替換體現(xiàn)函數(shù)的一般形式，凸顯函數(shù)的三要素;培養(yǎng)學(xué)生高度的抽象思維能力，落實(shí)學(xué)科抽象思維的培養(yǎng)。

（四）分組討論：運(yùn)用概念，形成能力

例1給出具體的角4π/3，求4π/3的正弦、余弦、正切和余切值。

變式可以從以下三個(gè)角度命題：

設(shè)計(jì)意圖：將班級(jí)分成三個(gè)小組進(jìn)行合作探究，每一個(gè)小組選派代表說出解法。通過例題和變式，剖析求解三角函數(shù)的具體解題步驟，從具體的解題過程中加以總結(jié)解題的步驟，也是一種抽象的能力;同時(shí)也加深對(duì)概念的理解。通過變式教學(xué)發(fā)現(xiàn)終邊相同角的三角函數(shù)值相等，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，發(fā)展其邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

引導(dǎo)學(xué)生思考終邊相同角之間的三角函數(shù)值的關(guān)系。

（五）課堂小結(jié)：知識(shí)方法思想，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

教師引導(dǎo)總結(jié)：本節(jié)課你都學(xué)到了什么？發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律？

1.知識(shí)方面：三角函數(shù)的定義。

2.數(shù)學(xué)方法：特殊到一般的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，類比思想。

本文以數(shù)學(xué)概念為載體，通過課堂教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生的自主認(rèn)知和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律能力發(fā)展，加強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的思維。在探究式學(xué)習(xí)過程中逐步落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，主要從以下三個(gè)方面進(jìn)行：

1.引導(dǎo)學(xué)生化未知為已知，探究如何由銳角三角函數(shù)類比聯(lián)想任意角三角函數(shù)概念的邏輯關(guān)系，逐漸體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，形成自覺運(yùn)用抽象思維進(jìn)行類比推廣的意識(shí)。

2.通過層層遞進(jìn)的問題探究學(xué)習(xí)，逐步發(fā)現(xiàn)任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)概念的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)由特殊到一般數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

3.歸納四種三角函數(shù)的統(tǒng)一定義，培養(yǎng)概括總結(jié)能力，提升抽象素養(yǎng)。

培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的最有效的方法是在教師的引導(dǎo)和幫助下，通過設(shè)置問題情境讓學(xué)生進(jìn)入探討者的角色，這樣學(xué)生思維的主動(dòng)性會(huì)提高，內(nèi)驅(qū)力的加強(qiáng)也會(huì)助力抽象思維的發(fā)展。高效的課堂就是精心設(shè)計(jì)貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題，引導(dǎo)和幫助學(xué)生自我建構(gòu)知識(shí)體系、能力體系、道德體系，在遵循學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律上，將理論和現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合起來，這樣才能發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，讓學(xué)習(xí)者真正形成適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力。

責(zé)任編輯：唐丹丹