基于修正韌性耗散損傷的非線性疲勞可靠性分析

高凱 ，高鑫

(1.重慶渝富產(chǎn)城運營建設(shè)發(fā)展有限公司，重慶 401121；2.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045；3.貴州省質(zhì)安交通工程監(jiān)控檢測中心有限責(zé)任公司，貴州 貴陽 550000)

在交變荷載作用下材料易出現(xiàn)疲勞損傷，影響結(jié)構(gòu)的使用安全，嚴(yán)重時將產(chǎn)生重大事故，如2018 年意大利熱那亞莫蘭迪公路橋就因斜拉索疲勞損傷導(dǎo)致垮塌，造成43人死亡[1]，故亟待針對材料或結(jié)構(gòu)的疲勞性能評價展開研究。由于材料或結(jié)構(gòu)在疲勞損傷過程中，受到材料隨機性、荷載不確定性等因素影響，致使材料或結(jié)構(gòu)的疲勞破壞具有較強隨機性[2]，為此，能較好考慮隨機性的可靠度分析方法成為了疲勞損傷評估中的常用方法[3]。在疲勞可靠度分析中，疲勞狀態(tài)方程的建立非常關(guān)鍵，而基于疲勞損傷累積模型的可靠性建模方法能考慮材料的時變歷程，能更好反映結(jié)構(gòu)的時變特性，與工程實際較為符合，近年來得到了廣泛應(yīng)用[4]。目前，常用的疲勞損傷累積模型主要有線性和非線性模型[5]。其中MINER 準(zhǔn)則因原理和規(guī)則簡單，是線性模型中應(yīng)用最廣泛的一種，但該模型的損傷累積規(guī)則簡化了疲勞失效過程機理，忽略了多級變幅荷載作用時荷載次序、荷載相互作用等因素的影響，使疲勞損傷評估出現(xiàn)較大偏差[6]。雖然基于損傷曲線、能量法、材料物理性能退化法、連續(xù)損傷力學(xué)等理論建立的非線性損傷模型，能夠在一定程度上考慮荷載加載歷史效應(yīng)，但相關(guān)數(shù)學(xué)形式復(fù)雜，有的還需引入額外參數(shù)，難以直接應(yīng)用于工程實際[7]。為此，對于實際工程中普遍存在的變幅載荷作用，亟需建立一種有效的疲勞損傷累積模型，從而更好實現(xiàn)疲勞損傷評估。從本質(zhì)上分析，在交變荷載作用下，疲勞損傷是一個不可逆的能量耗散過程，因此選擇與疲勞能耗過程密切相關(guān)的物理量，用于表征材料或結(jié)構(gòu)的疲勞損傷具有明確的物理意義[8]。為此，YE 等[8]基于材料韌性耗散提出了新的非線性疲勞損傷累積模型，該模型只含有一個參數(shù)，形式簡單，不需要其他試驗常數(shù)，故被大量應(yīng)用于材料的疲勞性能評價[9]。但該模型不能考慮荷載間的相互作用，使得疲勞損傷分析精度受到一定程度影響，為此，大量學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn)，使其能考慮荷載相互作用效應(yīng)[10]。例如，路萬里等[11]利用前后對數(shù)應(yīng)力幅值比函數(shù)改進(jìn)了YE 模型，使其能分析多級變幅疲勞累積損傷的荷載相互作用效應(yīng)，并用彈載記錄儀2級加載試驗進(jìn)行了驗證。但所提改進(jìn)模型在分析多級變幅疲勞損傷時，卻存在精度不足的問題，因此，必須對其進(jìn)行進(jìn)一步深入探討，使其能夠更為準(zhǔn)確地表征多級變幅荷載作用下的疲勞損傷。為此，本文提出對數(shù)應(yīng)力幅值平方比指數(shù)作為荷載相互作用效應(yīng)因子，將其計入韌性耗散損傷模型，建立改進(jìn)的非線性疲勞損傷累積函數(shù)；然后，利用改進(jìn)模型建立疲勞狀態(tài)方程，并用概率密度演化方法(PDEM)對狀態(tài)方程進(jìn)行分析，得到材料的非線性時變疲勞可靠度；最后，采用多級荷載材料試驗數(shù)據(jù)對所提模型和方法的適用性和準(zhǔn)確性進(jìn)行驗證。

1 基于韌性耗散的疲勞損傷模型

根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知，材料的韌性是疲勞損傷過程中最為敏感的力學(xué)參量，為此，可以通過材料韌性在交變荷載作用下的耗散規(guī)律來建立疲勞損傷累積模型。YE 等[8]在大量實驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立了材料韌性耗散與交變荷載作用次數(shù)的關(guān)系：

式中：UT是材料的靜態(tài)韌性；UT(0)和UT(Nf-1)分別是荷載作用0次和Nf-1次時的材料靜態(tài)韌性；n是荷載循環(huán)次數(shù)；Nf是材料在交變荷載作用下的疲勞壽命。

基于材料韌性耗散的疲勞損傷變量可以表示為：

式中：D(n)是材料在交變荷載作用n次后的疲勞損傷。將式(1)代入式(2)中，可得基于韌性耗散的疲勞損傷累積模型：

當(dāng)材料的疲勞壽命Nf較大時，式(3)中的D(Nf-1)可以近似等于D(Nf)，D(Nf)是材料極限疲勞損傷，與材料特性有關(guān)，需通過試驗測試才能確定[12]。為便于確定交變荷載作用下的極限疲勞損傷，需對式(3)兩邊同時除以D(Nf)，則式(3)可以表示為：

式中：De(n)是相對疲勞損傷，當(dāng)n=Nf時，D(n)=D(Nf)，則De(n)=1，即材料的極限相對疲勞損傷為1。因此，式(4)可定義為材料的疲勞損傷演化方程。

式(4)是恒幅荷載作用下材料的疲勞損傷，對于材料在多級變幅荷載作用下疲勞損傷可通過式(4)推導(dǎo)而得?，F(xiàn)以2級變幅荷載作用為例，推導(dǎo)多級變幅加載情況下疲勞損傷累積模型，如圖1所示。

圖1 2級變幅荷載作用下疲勞損傷曲線Fig.1 Fatigue damage curves of two-level loading

從圖1 和式(4)可知，在第1 級荷載σ1作用n1次后，材料的疲勞損傷沿曲線oa為

根據(jù)疲勞損傷等效原理，第1 級荷載σ1作用n1次后疲勞損傷可轉(zhuǎn)換為第2級荷載σ2作用n′2次后疲勞損傷，即

根據(jù)式(5)和式(6)，可得等效循環(huán)次數(shù)為n2′/Nf2，結(jié)合式(4)可得前兩級荷載σ1，σ2作用下總疲勞損傷(曲線oabc)為

同理，依此類推，可得k級荷載作用下材料疲勞損傷累積方程為

從上式可知，基于韌性耗散建立的非線性疲勞損傷累積模型中，只含有各級荷載作用次數(shù)ni這個參量，不含其他力學(xué)參量，模型形式簡單，但該模型不能考慮荷載間的相互作用[8]，使得疲勞損傷評價精度受到影響，為此，需對模型進(jìn)行修正。為了敘述方便，將該模型簡稱為YE模型。

2 改進(jìn)的非線性疲勞損傷模型

為了修正YE 模型，部分學(xué)者利用相鄰2 級荷載大小比值描述荷載間相互作用效應(yīng)，將其引入韌性耗散疲勞損傷累積模型中，使其能考慮荷載相互作用效應(yīng)。例如，路萬里等[11]應(yīng)用對數(shù)荷載比來修正疲勞損傷模型，但該修正模型在分析多級變幅荷載作用時，疲勞損傷預(yù)測存在較大誤差，為此，本節(jié)提出新的模型修正方法，提高YE 模型和路萬里修正模型的分析精度。

目前，對于多級變幅作用下疲勞損傷累積模型的推導(dǎo)是基于疲勞等效原理得到的，而常用疲勞等效原理采用的是簡單的等值線性等效規(guī)則，如式(6)。但通過大量研究表明，多級變幅作用下疲勞損傷的等效，不滿足等值線性等效規(guī)則，而是與荷載大小有關(guān)且成函數(shù)關(guān)系[11]，即

而根據(jù)相關(guān)研究表明，前后荷載等效關(guān)系滿足冪函數(shù)等效規(guī)則[11]，即式(9)可表示為

從式(10)可知，冪函數(shù)指數(shù)f(σ1,σ2)的形式對等效規(guī)則有較大影響，而根據(jù)文獻(xiàn)[11]的函數(shù)形式，提出了對數(shù)荷載平方比來考慮2級荷載相互作用效應(yīng)，具體形式可表示為

通過對數(shù)荷載平方比指數(shù)來增大荷載相互作用效應(yīng)，提升疲勞損傷模型預(yù)測精度。將式(11)代入式(10)，并結(jié)合式(6)和式(7)的推導(dǎo)規(guī)則，可得2級荷載作用下第1 級荷載的等效疲勞損傷循環(huán)次數(shù)為

根據(jù)式(7)和式(12)，2 級荷載作用下疲勞累積損傷為

以此類推，可得k級變幅荷載作用下疲勞累積損傷函數(shù)為

根據(jù)式(4)知，材料疲勞累積損傷為1，結(jié)合式(14)，可知k-1 級荷載作用后，材料在第k級荷載作用下疲勞剩余壽命分?jǐn)?shù)為

式(14)和式(15)即為所提改進(jìn)非線性疲勞損傷累積模型，模型中既有前后2級荷載比值，也含有荷載循環(huán)比，能夠有效地體現(xiàn)荷載次序效應(yīng)、荷載相互作用效應(yīng)。此外，模型中僅含有荷載作用次數(shù)ni和荷載應(yīng)力幅值σi2 個基本參數(shù)，通過試驗數(shù)據(jù)比較容易確定，不需要引入其他參量，方便實際工程疲勞分析應(yīng)用。

3 非線性疲勞可靠度分析

3.1 極限狀態(tài)方程建立

在對材料進(jìn)行疲勞可靠度分析時，需建立疲勞損傷狀態(tài)方程，為此，本節(jié)基于改進(jìn)非線性損傷累積模型，構(gòu)建材料疲勞狀態(tài)方程G：

式中：Dec是材料疲勞損傷極限值，根據(jù)式(4)知，Dec=1。當(dāng)G(n)＞0 時，材料未到疲勞損傷極限，處于安全狀態(tài)。根據(jù)研究表明[7]，材料的疲勞壽命Nfi具有較強隨機性，而式(16)中只包含各級荷載作用對應(yīng)疲勞壽命Nfi這個隨機變量，故材料疲勞狀態(tài)方程式(16)為概率保守系統(tǒng)。

3.2 可靠度分析方法

PDEM法對非線性問題具有較好適應(yīng)性，且計算精度和效率較高，能分析時變可靠度，為此，對疲勞狀態(tài)方程進(jìn)行可靠度分析時，可采用PDEM法進(jìn)行計算[6]?；诟怕适睾阍?，式(16)的概率密度函數(shù)(PDF)隨時間演化的規(guī)律可表示為：

綜上所述，本研究發(fā)現(xiàn)ER陽性乳腺癌細(xì)胞在對他莫昔芬產(chǎn)生耐藥性后，增殖相關(guān)蛋白的表達(dá)水平升高，同時PGRN的mRNA和蛋白水平也升高；而干擾PGRN表達(dá)后，增殖和抗凋亡相關(guān)蛋白的表達(dá)水平下降，耐藥細(xì)胞對他莫昔芬的敏感性增強。后續(xù)本課題組將深入探討PGRN影響他莫昔芬耐藥產(chǎn)生的具體分子機制，尋找其上游調(diào)控分子以及下游效應(yīng)分子，以期為臨床上治療對他莫昔芬抵抗的乳腺癌患者帶來新的機遇和希望。

式中：Θ是影響物理量變化的隨機變量，即各級荷載作用對應(yīng)疲勞壽命Nfi；θ是隨機變量Θ 的子集；pGΘ(g,θ,t)是增廣系統(tǒng)(G,Θ)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；ΩG×ΩΘ是增廣系統(tǒng)(G,Θ)的空間。式(17)經(jīng)數(shù)學(xué)處理和變換后，可得增廣系統(tǒng)(G,Θ)的廣義概率密度演化方程：

式中：g是疲勞損傷狀態(tài)值G中的一個元素；?(θ,n)是疲勞狀態(tài)函數(shù)式(16)的變化率。式(18)在初始時刻n=0的初始條件為：

式中：δ(·)是Dirac 函數(shù)。聯(lián)合式(16)和(19)對式(18)進(jìn)行求解，并在隨機變量空間ΩΘ上積分，可得到疲勞損傷隨時間變化的PDF：

對式(20)在(0,1]空間內(nèi)進(jìn)行積分，可得材料的時變疲勞可靠度概率為

3.3 基于PDEM的非線性時變可靠度求解

獲得式(18)的解析解是非常困難的，為此需采用數(shù)值求解法進(jìn)行分析，具體步驟如下[6]。

步驟1：隨機變量Θ 空間ΩΘ的離散。利用選點方法選擇均勻代表點[13]，用代表點將空間ΩΘ離散為多個子空間，并對各子空間進(jìn)行積分，得到各代表點的賦得概率。

步驟2：疲勞損傷狀態(tài)量的獲取。將步驟1 的代表點代入式(16)得到疲勞損傷狀態(tài)量和變化率。

步驟4：疲勞可靠度概率的分析。將步驟3 得到的PDF 代入式(20)得到pG(g,n)，并用式(21)得到材料疲勞可靠度概率曲線。

4 數(shù)值算例

為驗證所提模型在疲勞壽命預(yù)測和可靠度分析上的可行性和有效性，利用常用材料試驗數(shù)據(jù)，將所建疲勞損傷模型與已有模型的疲勞壽命預(yù)測和可靠度計算結(jié)果進(jìn)行對比。

4.1 疲勞剩余壽命分?jǐn)?shù)預(yù)測

以動車鋁合金焊接接頭、鋁合金6082T6 等2種材料在多級變幅荷載作用下疲勞試驗數(shù)據(jù)為對象[14]，對比MINER 模型、YE 模型、路萬里模型和本文模型的疲勞壽命分?jǐn)?shù)預(yù)測精度，具體結(jié)果如表1～2所示。

表1 2級荷載下動車鋁合金焊接接頭試驗數(shù)據(jù)及剩余壽命分?jǐn)?shù)預(yù)測結(jié)果Table 1 Test data and life prediction fraction of the aluminum alloy welded joints of EMU under two-level loading

表2 4級荷載下鋁合金6082T6試驗數(shù)據(jù)及剩余壽命分?jǐn)?shù)預(yù)測結(jié)果Table 2 Test data and life prediction fraction of the aluminum alloy 6082T6 under four-level loading

從表1～2 可知，MINER 線性模型疲勞壽命分?jǐn)?shù)預(yù)測誤差最大，YE模型預(yù)測誤差較MINER模型小，而路萬里改進(jìn)模型對不同材料疲勞壽命分?jǐn)?shù)預(yù)測誤差，較YE 模型大，表明路萬里模型對YE模型的改進(jìn)效果不佳；本文所提模型在多級加載下多數(shù)情況預(yù)測誤差，較YE 模型小，最小誤差僅1.43%，表明所提模型對YE 模型和路萬里模型有較好的修正效果。

4.2 疲勞可靠度分析

以16Mn鋼的2級荷載試驗為依托[15]，利用本文模型和可靠度方法分析高低荷載(H-L)：394 MPa→373 MPa 和低高荷載(L-H)：373 MPa→394 MPa 作用下材料的時變疲勞可靠度，并用MINER 模型、YE 模型、路萬里模型和試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，驗證所提模型在可靠度分析上的精度。通過試驗得到常幅荷載373 MPa和394 MPa時，16Mn鋼的疲勞壽命Nf服從正態(tài)分布，其統(tǒng)計特征分別為Nf1～N(196 720,27 322)，Nf2～N(113 893,25 130)。所得時變可靠度曲線如圖2所示。

從圖2 可知，在2 級加載作用時，本文模型所得疲勞可靠度曲線與試驗數(shù)據(jù)的擬合效果好于YE模型和路萬里改進(jìn)模型，與試驗結(jié)果之間的擬合精度提高了30%，表明所提模型能更好考慮多級荷載作用下荷載次序、荷載相互作用效應(yīng)，應(yīng)用于材料時變疲勞可靠度計算時，能得到更高的計算精度。

圖2 不同模型所得疲勞可靠度曲線Fig.2 Fatigue reliability curves of different models

5 結(jié)論

1) 利用變幅荷載對數(shù)應(yīng)力平方比、循環(huán)比和實時損傷狀態(tài)參量對葉篤毅模型進(jìn)行修正，所改進(jìn)非線性疲勞損傷模型能較好處理多級變幅作用下的加載歷史效應(yīng)，且引入?yún)?shù)較少，能更好表征疲勞損傷演變特征，更適合用于疲勞剩余壽命分?jǐn)?shù)預(yù)測。

2) 基于所提模型和PDEM 法，建立了材料非線性時變疲勞可靠度分析方法，與傳統(tǒng)模型相比，所提方法能更為全面考慮多級變幅作用加載歷史效應(yīng)，且能較好分析時變疲勞可靠度。

3) 通過試驗算例表明，所提模型在多級變幅荷載作用下的疲勞壽命預(yù)測精度高于傳統(tǒng)MINER線性模型、YE 模型和已有路萬里改進(jìn)模型，與PDEM結(jié)合后的可靠度分析結(jié)果也表明所提模型的可靠度計算精度更高，且能進(jìn)行時變可靠度分析，為此，所提模型和方法更適合工程實際應(yīng)用。