類比法在“大學(xué)數(shù)學(xué)”教學(xué)中的應(yīng)用

[摘 要] 類比方法是用已有的知識(shí)和已掌握的技能去解決新問題，從而加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)新規(guī)律的認(rèn)識(shí);找出問題、探究問題、解決問題，有助于思想、方法和技巧的開拓與延伸。類比法對(duì)提高教學(xué)效果和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)是十分必要的，也是課程改革所倡導(dǎo)的。介紹類比式教學(xué)的基本概念，分別大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科和應(yīng)用學(xué)科兩類課程來以類比式教學(xué)方法的使用情況。運(yùn)用好類比式教學(xué)法將有助于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)課程的認(rèn)識(shí)，形成系統(tǒng)全面的知識(shí)體系。

[關(guān)鍵詞] 類比式教學(xué);大學(xué)數(shù)學(xué);基礎(chǔ)數(shù)學(xué);應(yīng)用數(shù)學(xué)

[基金項(xiàng)目] 2019年度華僑大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助“流體—粒子模型的一些數(shù)學(xué)問題”（ZQN-701）

[作者簡介] 崔海波（1986—），男，河南林州人，理學(xué)博士，華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事偏微分方程研究。

[中圖分類號(hào)] O175.24 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-9324（2022）08-0048-04[收稿日期] 2021-06-21

目前“大學(xué)數(shù)學(xué)”課程主要分為：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)[1]?；A(chǔ)數(shù)學(xué)主要包含數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、泛函分析、解析幾何等;應(yīng)用數(shù)學(xué)主要包含數(shù)學(xué)物理方程、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和拓?fù)鋵W(xué)等。大學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是教學(xué)內(nèi)容繁多，概念抽象，邏輯性和技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)時(shí)間相對(duì)集中，課時(shí)少節(jié)奏快，習(xí)題數(shù)量大。在“大學(xué)數(shù)學(xué)”教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)往往僅局限在邏輯和計(jì)算層面上，這導(dǎo)致了學(xué)生的學(xué)習(xí)始終缺乏實(shí)踐和創(chuàng)新意識(shí)。因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)使用有效的教學(xué)方法和多樣的教學(xué)形式，善于歸納總結(jié)，用已有的知識(shí)和已掌握的技能去解決新問題。類比法在課堂上能幫助教師在有限的時(shí)間內(nèi)將舊的知識(shí)點(diǎn)完美地遷移到一個(gè)新的問題。盡管每門數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容、對(duì)象、解決方法和工具不同，如微積分體現(xiàn)的重要思想是局部線性化，概率論主要體現(xiàn)的是隨機(jī)思想，解析幾何主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合等;但每一類課程的思維方式基本上是類似的。因此類比法在具有相同思維方式的課程上就能發(fā)揮其作用。另外，有一些數(shù)學(xué)對(duì)象和方法具有系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性，特別對(duì)于同一類數(shù)學(xué)課程，許多內(nèi)容和方法是相通的;因此類比推理和歸納總結(jié)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是不可低估的。類比法是找出問題、探究問題、解決問題的關(guān)鍵，并且對(duì)提高教學(xué)效果是十分重要的，同時(shí)也是課程改革所倡導(dǎo)的，能夠更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)。

一、類比式教學(xué)的基本概念

在“大學(xué)數(shù)學(xué)”教學(xué)中，類比法是根據(jù)兩個(gè)或多個(gè)不同的數(shù)學(xué)對(duì)象在某些定義、特征、性質(zhì)等方面相同或相似，而推測(cè)這些對(duì)象具備的其他特征或性質(zhì)能否推廣到另一對(duì)象上的推理方法[2]?？紤]到把知識(shí)聯(lián)系起來有利于能力和思維的培養(yǎng)，因此類比法可以引導(dǎo)學(xué)生分別從橫向和縱向同時(shí)構(gòu)造一張知識(shí)網(wǎng)，通過延伸擴(kuò)展來完善數(shù)學(xué)知識(shí)體系。這個(gè)方法也可以稱為構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)法。構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)法就是將某些具有共同屬性的數(shù)學(xué)對(duì)象或比較密切的內(nèi)容組成知識(shí)塊進(jìn)行綜合運(yùn)用的方法;因此類比式教學(xué)也可以理解成從一門或多門課程的知識(shí)網(wǎng)入手，不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)添加知識(shí);根據(jù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律，由已知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，根據(jù)觀察、實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，類比學(xué)習(xí)未知的知識(shí)。應(yīng)用類比教學(xué)法，能夠提高學(xué)生的類比推導(dǎo)能力和分析能力，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的全面理解?？傊褂妙惐确軌蚋玫貛椭鷮W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)，形成系統(tǒng)全面的知識(shí)體系。

具體來說，類比式教學(xué)通過類比舊知識(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)，使得學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容相對(duì)“減少”，學(xué)習(xí)起來更加輕松，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的一種有效途徑，同時(shí)通過類比，建立知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化和豐富化。因此在高校數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容合理有效利用類比法，可以提高教學(xué)效果。通過運(yùn)用類比式教學(xué)，學(xué)生可以輕松掌握新知識(shí)，教師可以輕松授課，縮小學(xué)生學(xué)習(xí)難度，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生去探索和發(fā)現(xiàn)問題。運(yùn)用類比式教學(xué)能夠拓展數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)及遷移能力，有利于高效的學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決更多的數(shù)學(xué)問題。在教學(xué)過程中，教師要有意識(shí)地滲透類比的思想方法。

二、類比式教學(xué)在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

類比法作為一種重要的教學(xué)方法，在大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科的教學(xué)中被廣泛使用。我們以數(shù)學(xué)分析和泛函分析兩門基礎(chǔ)學(xué)科為例來具體談?wù)勵(lì)惐仁浇虒W(xué)的應(yīng)用。在“大學(xué)數(shù)學(xué)”課程中，無不以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，以“泛函分析”為最難課程。很多應(yīng)用數(shù)學(xué)的課程如“數(shù)學(xué)物理方程”“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”等課程都以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，是它的延伸和深化，而它的基本概念、思想方法更是無處不在。因此，數(shù)學(xué)分析是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)分析主要內(nèi)容包括一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分和級(jí)數(shù)，它們雖然是相互獨(dú)立的，但也有密切的聯(lián)系。類比法在一元函數(shù)的微積分與多元函數(shù)的微積分教學(xué)中起著很大的作用[3-5]。比如在講解多元函數(shù)微積分的概念、定理和性質(zhì)時(shí)，完全可以和一元函數(shù)的微積分進(jìn)行類比，讓學(xué)生觸類旁通，事半功倍，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。具體地，對(duì)于一元函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分，類比多元函數(shù)的極限、偏導(dǎo)數(shù)、微分、多重積分和曲線曲面積分等;對(duì)于極限、求導(dǎo)、積分、泛函以及線性算子的運(yùn)算，加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算具有相同的運(yùn)算法則，這些在代數(shù)中也有類似的運(yùn)算。而一元函數(shù)的反常積分，含參量的反常積分和級(jí)數(shù)又有密切的關(guān)系，特別是在收斂的各種判別法上有許多相通之處。因此，類比法在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中起到了重要的作用。

泛函分析課程中的概念、定理和性質(zhì)更多，而且都是非常抽象和復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容。為了描述更大、更廣空間之間的變化，反映事物之間的變化規(guī)律，我們需要引入距離空間、線性賦范空間、Banach空間、Hilbert空間和流形等空間[6]，也需要引入連續(xù)映射、線性泛函、線性算子和Fredholm算子等概念。這樣才能抽象地將有限維空間上的線性變換推廣成Banach空間上的線性算子。它們當(dāng)中許多定理和性質(zhì)與數(shù)學(xué)分析、代數(shù)等課程的概念也是可以相互類比的。具體地來說，學(xué)生學(xué)習(xí)有限維空間時(shí)，對(duì)概念和性質(zhì)的理解可以結(jié)合直觀性感受來理解。學(xué)習(xí)泛函分析時(shí)，無限維空間以及空間的抽象化，往往讓學(xué)生感到束手無策，此時(shí)如果通過類比，把有限維空間的一些概念、定理和相關(guān)性質(zhì)的形成，以數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)和幾何中的理論為基礎(chǔ)，從有限空間（點(diǎn)、收斂聚點(diǎn)、函數(shù)）和拓?fù)淇臻g找出原型，引入新的觀點(diǎn)（例如元素、緊性、算子），由有限維中的強(qiáng)收斂、緊理論，到無限維空間的弱收斂理論，對(duì)其加以推廣并注意它們和無限維空間之間的異同，這可使教學(xué)效果達(dá)到事半功倍的效果。特別是對(duì)于一維實(shí)數(shù)的完備性理論、特征值和積分理論等，到泛函分析中的可分Banach空間緊性、譜理論、Hilbert空間理論等，有助于學(xué)生思考新的理論，了解新概念和方法。這就是數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)和幾何概念的進(jìn)化。在這個(gè)新的觀點(diǎn)的導(dǎo)引下，推廣空間、算子、緊性等概念思路就會(huì)更廣闊和自然。因此，類比法的思想在泛函分析課程教學(xué)中也起到了重要的作用。

三、類比式教學(xué)在應(yīng)用數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

類比法在大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用學(xué)科中的使用也非常廣泛。我們以數(shù)學(xué)物理方程這門應(yīng)用課程為例來闡述類比式教學(xué)法在課堂上的應(yīng)用。在實(shí)際生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會(huì)碰到各種各樣的偏微分方程（組），最常見的是按照方程的階數(shù)分類，但經(jīng)常需要考慮方程的本質(zhì)特點(diǎn)即不變量，進(jìn)行更加詳細(xì)的分類，以得到各種類型偏微分方程的各自特點(diǎn)。這些分類與方程的特點(diǎn)有密切的關(guān)系，從而可以了解二階方程之間的共性和差異。在偏微分方程教學(xué)的基礎(chǔ)上，以二階方程的分類為例來分析類比式教學(xué)。

考慮一個(gè)二階線性偏微分方程[7，8]，一個(gè)自然而然的問題是，我們?nèi)绾螌?duì)二階偏微分方程進(jìn)行分類，分類的依據(jù)又是什么。在對(duì)方程進(jìn)行分類之前，我們先回憶一下一般的二次曲線是如何分類的。對(duì)于平面二次曲線方程，在解析幾何中二次曲線的幾何形狀是依據(jù)判別式的符號(hào)進(jìn)行分類的。事實(shí)上，二次曲線之所以可以這樣進(jìn)行分類，主要是因?yàn)榕袆e式的符號(hào)在可逆線性變換下具有不變性。如果我們?nèi)我膺x取一個(gè)可逆的線性變換，則二次曲線對(duì)應(yīng)判別式的符號(hào)保持不變。

類似地，在教學(xué)中，我們仿照平面二次曲線分類的方法，尋找代數(shù)性質(zhì)即不變量，對(duì)二階方程作自變量變換，我們發(fā)現(xiàn)判別式Δ=b2-ac可以作為方程的一個(gè)不變量，從而可以使用Δ=b2-ac對(duì)二階偏微分方程進(jìn)行分類，具體結(jié)論如下。

結(jié)論一：在變量替換時(shí)，方程判別式的符號(hào)保持不變[7，8]。以下利用判別式的符號(hào)在可逆自變量變換下的不變性，對(duì)方程進(jìn)行分類。在區(qū)域的每一點(diǎn)處，（1）當(dāng)Δ>0時(shí)，稱偏微分方程為雙曲型偏微分方程，例如弦振動(dòng)方程。（2）當(dāng)Δ=0時(shí)，稱偏微分方程為拋物型偏微分方程，例如一維熱傳導(dǎo)方程。（3）當(dāng)Δ<0時(shí)，稱偏微分方程為橢圓型偏微分方程，例如二維調(diào)和方程。

由于平面二次曲線的判別式都是常數(shù)，所以可以把平面二次曲線嚴(yán)格分類。但偏微分方程的判別式是函數(shù)，所以只能在某些點(diǎn)考慮它的符號(hào)。由函數(shù)連續(xù)性在一點(diǎn)嚴(yán)格的大于或小于零在該點(diǎn)的鄰域也是如此，所以方程為雙曲型或橢圓型總在一個(gè)鄰域內(nèi)也成立，但拋物型并不具有這種性質(zhì)。所以可以定義在區(qū)域內(nèi)方程的類型。該分類既類似于平面二次曲線的分類，又有不同特點(diǎn)。所以偏微分方程的分類更復(fù)雜一些。

對(duì)于二階偏微分方程的分類，會(huì)出現(xiàn)混合或退化型方程，例如某些是雙曲型和另外一些點(diǎn)是橢圓型的方程，稱為混合型方程，雙曲型+拋物型稱為退化雙曲型方程（可壓縮Navier-Stokes方程組為典型的這一類方程），橢圓型+拋物型稱為退化橢圓型方程（可壓縮Navier-Stokes-Poisson方程組為典型的這一類方程）。當(dāng)然也有橢圓型+拋物型+雙曲型的既是混合型也是退化型（Tricomi方程為典型的這一類方程）。

總結(jié)：在二階偏微分方程分類的教學(xué)中，我們類比二次曲線的分類方法，通過變量替換，尋找合適的不變量，從而可以看出結(jié)論的相似之處，這樣學(xué)生就可以理解我們?cè)趺催x取不變量，為什么選取這樣的不變量來進(jìn)行分類，從而可以有效地理解一些復(fù)雜的問題。另外我們也要強(qiáng)調(diào)和二次曲線分類的不同點(diǎn)，這樣對(duì)偏微分方程的多樣性、復(fù)雜性有更好的理解，也對(duì)分析類課程之間的聯(lián)系有一個(gè)掌握。

對(duì)于多個(gè)變量的偏微分方程情形，由線性代數(shù)中二次型的知識(shí)，類似于二階常微分方程的特征方程，可以由特征曲面，特征方向，特征平面和特征錐面等概念。類似于第一部分兩個(gè)自變量的情形，我們?nèi)匀粚ふ以摲匠痰牟蛔兞?。由線性代數(shù)矩陣的變換，存在非奇異線性變換，將特征二次型化成標(biāo)準(zhǔn)對(duì)角型。當(dāng)特征值在某點(diǎn)處的λi（i=1，…，n）全是1或全是-1（特征二次型正定或負(fù)定），則稱方程在該點(diǎn)為橢圓型偏微分方程;若在某點(diǎn)處中的λi一個(gè)是0，其余是1或是-1（特征二次型至少有一個(gè)零根），則稱方程在該點(diǎn)為拋物型偏微分方程。若在某點(diǎn)處的λi一個(gè)是1其余是-1或者一個(gè)是-1其余是1（特征二次型既不是退化的，也不是正定或負(fù)定且n-1個(gè)同號(hào)），則稱方程在該點(diǎn)為雙曲型偏微分方程;若在某點(diǎn)處的λi全不為零，但取1或-1的個(gè)數(shù)超過一個(gè)，這時(shí)稱方程在該點(diǎn)為超雙曲型偏微分方程。上述分類并不完全，只包含了一部分特殊情況，其他的情況我們可以都?xì)w為雜類偏微分方程。類似于兩個(gè)自變量的情形，我們可以得到在某個(gè)區(qū)域內(nèi)為橢圓型，拋物型以及混合型的定義。

分類只和二階偏微分方程的主部的系數(shù)（即二階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)）有關(guān)，與低階項(xiàng)的系數(shù)無關(guān)。一般地，方程包含自變量個(gè)數(shù)越多，方程的特征值越復(fù)雜，分類情況也越多。所以對(duì)于其他情形，我們都把這些歸為雜類偏微分方程。

課程學(xué)習(xí)中的n+1個(gè)變量的波動(dòng)方程屬于雙曲型偏微分方程、n+1個(gè)變量的熱傳導(dǎo)方程屬于拋物型偏微分方程、多個(gè)自變量Laplace方程屬于橢圓型偏微分方程。

結(jié)語

對(duì)于多變量的偏微分方程，該分類方法和兩個(gè)自變量的偏微分方程非常類似，只是這里換成了特征值的符號(hào)。我們可以讓學(xué)生理解不變量的重要性，進(jìn)而鞏固線性代數(shù)和解析幾何的知識(shí)，也對(duì)偏微分方程這門課程有整體的理解。另外不同于以前的知識(shí)，這里的分類更復(fù)雜，而且會(huì)涉及更復(fù)雜類型的微分方程。

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Abstract： The role of the analogy thinking method in the teaching of university mathematics cannot be underestimated. The main method is to solve new problems with existing knowledge and skills， so as to accelerate students understanding of new knowledge and promote their understanding of new laws. Finding problems， exploring problems and solving problems help develop and extend ideas， methods and skills， which is necessary to improve teaching effect and cultivate students innovation consciousness， and is also advocated by curriculum reform. This paper first introduces the basic concept of analogy teaching， and then introduces the use of analogy teaching methods with two categories of basic subject and applied subject courses of university mathematics， respectively. A good use of the analogy teaching method helps students better understand mathematics courses and form a systematic and comprehensive knowledge system.

Key words： analogy teaching; university mathematics; basic mathematics; applied mathematics